1、11.2余弦定理内容标准学科素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理2.能用余弦定理解决简单的三角形问题.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象授课提示：对应学生用书第4页基础认识知识点余弦定理(1)如果已知一个三角形的两条边及其所夹的角(如已知a，b及角C)，这个三角形大小、形状完全确定吗？可以用a，b及C表示边c吗？提示：完全确定三角形，可以用a、b及C表示c.(2)如果C90，边c如何表示？提示：c2a2b2.(3)如果C是任意角，C(0，)，如图设a，b，c，如何运用向量求|?提示：cab，|c|2(ab)2|a|2|b|22aba2b22abcos C，即c2a2b2
2、2abcos C 余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言a2b2c22bccos_A，b2c2a22accos_B，c2a2b22abcos_C变形探究：已知三边求角：cos A，cos B，cos C.思考(1)勾股定理c2a2b2与余弦定理c2a2b22abcos C有什么关系提示：前者是后者的特例(C90)(2)ABC中，B60，ac，ABC一定是直角三角形吗？提示：b2a2c22accos Bc2c22c2c2.a2b2c2c2c2，故C90，ABC为直角三角形自我检测1在ABC中，已知a4，b6，C120，则边c的值
3、是()A8B2C6D2答案：D2在ABC中，若a2c2b2ab，则cos C_.答案：授课提示：对应学生用书第5页探究一已知两边及夹角解三角形阅读教材P7例3方法步骤：(1)先用余弦定理求a2.(2)用正弦定理求较小的角C.(3)由ABC180求角B.例1(1)在ABC中，已知a2，b2，C15，求A.解析cos 15cos(4530)，由余弦定理，得c2a2b22abcos C482()84，c.cos A.又0A180，A30.(2)在ABC中，已知b3，c3，B30，求A，C和a.解析法一：由余弦定理b2a2c22accos B，得32a2(3)22a3cos 30，即a29a180，解
4、得a3或a6.当a3时，A30，C120；当a6时，由正弦定理，得sin A1.A90，C60.法二：由bc，B30，bcsin 303知本题有两解由正弦定理，得sin C，C60或120.当C60时，A90，由勾股定理，得a6；当C120时，A30，ABC为等腰三角形，a3.方法技巧已知三角形的两边及其夹角解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出第三边，其他角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求解；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解(2)若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，)上，余弦值对应的角是唯一的)，故用余弦定理求解较好跟踪探究1.
5、在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，b2，cos(AB)，则c()A4B.C3 D.答案：D2在ABC中，若a2，bc7，cos B，则b_.解析：bc7，c7b.由余弦定理得b2a2c22accos B，即b24(7b)222(7b)()，解得b4.答案：4探究二已知三边解三角形阅读教材P7例4方法步骤：(1)用余弦定理变式求某角的余弦值(2)用余弦定理变式求另一角的余弦值(3)结合ABC180，求第三个角例2ABC中，a2，b2，c，解该三角形解析法一：cos A，A60，cos B，B45，C75.法二：由余弦定理得cos A，A60，由正弦定理得sin B，ab，B
6、45，C180AB75，A60，B45，C75.延伸探究1.将本例改为：若三角形三边长之比是12，则其所对角之比是()A123 B12C1 D.2解析：设三角形三边长分别为m，m,2m(m0)，最大角为A，则cos A0，A90.设最小角为B，则cos B，B30，C60.故三角形三角之比为123.答案：A方法技巧已知三边解三角形的方法及注意事项(1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值非负，角为锐角或直角；值为负，角为钝角，思路清晰，结果唯一(2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内
7、角和为180确定第三个角的大小(3)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解探究三已知三边关系解三角形教材练习P25B组3题研究一下，一个三角形能否具有以下两个性质：(1)三边是连续的三个自然数；(2)最大角是最小角的2倍解析：设ABC的三边分别为an1，bn，cn1(n2，且nN)，同时C2A.由得2cos A.又cos A，2，n5适合题意故存在这个三角形，三边分别为4,5,6.例3在ABC中，已知a2c2b2ac，且sin Asin C(1)2，求角C.解析a2c2b2ac，a2c2b22accosB2accos Bac，cos B.0B180，B60，
8、AC120.，2sin A(1)sin C.2sin(120C)(1)sin C.2sin 120cos C2cos 120sin C(1)sin C，sin Ccos C，tan C1，C45.延伸探究2.将本例条件变为：在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2b2c2ac，则角B的大小是()A45 B60C90 D135解析：因为a2b2c2ac，所以a2c2b2ac.由余弦定理得cos B，又0B180，所以B45.答案：A3将本例条件改为：“在ABC中，sin2Asin2C(sin Asin B)sin B”，求角C.解析：由sin2Asin2Csin Asin Bsi
9、n2B，结合正弦定理得a2c2abb2，即a2b2c2ab，cos C，C(0，)，C.方法技巧在三角形的边角关系中，含有a2，b2，c2或ab，bc，ca等形式的等式条件，可以变形为余弦定理的形式，求角或求边探究四用余弦定理判定三角形的形状教材P10B组第2题在ABC中，如果有性质acos Abcos B，试问这个三角形的形状具有什么特点？用余弦定理如何判定？解析：由于cos A，cos B，ab，即a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)c2(a2b2)0，ab或c2a2b2.ABC为等腰三角形或直角三角形例4在ABC中，acos Abcos Bccos C，试判断三角形的形
10、状解析由余弦定理cos A，cos B，cos C和acos Abcos Bccos C得abc，(a2b2c2)(a2b2c2)0，a2b2c2或b2a2c2.ABC是直角三角形方法技巧判断三角形形状的基本思想和两条思路跟踪探究3.在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D不能确定解析：由正弦定理，原式变为a2b2c2，又结合余弦定理变形得cos C0，所以角C为钝角，ABC为钝角三角形答案：A授课提示：对应学生用书第6页课后小结余弦定理的特点(1)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中的三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有
11、四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量(2)适用的三角形的条件：主要适用于已知三角形的两边及一角或三边已知三角形的两边及一角解三角形的方法：已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边(也可以两次应用正弦定理求出第三边)已知三边解三角形的方法：先用余弦定理的变式求两个内角的余弦值，再求角，最后用内角和为180求第三角(3)判断三角形的形状时，经常用到以下结论：ABC为直角三角形a2b2c2或c2a2b2或b2a2c2.AB
12、C为锐角三角形a2b2c2，且b2c2a2，且c2a2b2.ABC为钝角三角形a2b2c2或b2c2a2或c2a2b2.若sin 2Asin 2B，则AB或AB.素养培优忽视分类讨论及三角形中的隐含条件致误在钝角三角形ABC中，a1，b2，求边c的取值范围易错分析此题易出现两个错误：一是只考虑了角C是钝角的情况，事实上角B也可能是钝角；二是没有考虑到在三角形中“两边之和大于第三边”的隐含条件考查了分类讨论思想、逻辑推理、数学运算、直观想象的学科素养自我纠正因为a1，b2，所以1c3.若角B是钝角，则cos B0，即0，解得1c；若角C是钝角，则cos C0，即0，解得c3.综上，边c的取值范围是(1，)(，3)
