1、2020-2021 学年高二年级第一学期期末考试数学试题一单项选择题（每小题5分，共40分） 1. 设p:，则p是q的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先化简命题，再根据集合的关系判断得解.【详解】由得.设，因为,所以p是q的充分不必要条件.故选：A【点睛】方法点睛：判断充分必要条件常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择合适的方法判断得解.本题选择的是集合法判断充分必要条件的.2. 两直线与(其中a为不为零的常数)的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分
2、析】化简两直线的方程为斜截式方程，得到两直线的斜率为同号，结合选项，即可求解.【详解】直线方程可化为，可得直线斜率为，直线方程可化为，可得直线的斜率为，由此可知两直线的斜率为同号，结合选项可得，只有选项B适合.故选：B.3. 若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】圆心到直线的距离小于半径解不等式即可.【详解】解：圆的标准方程为，圆心，半径，直线与圆相交，解得或，故选：D.4. 中国的华为公司是全球领先的（信息与通信）基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界.其中华为的智能手机是全世界很
3、多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额（单位：万元），得到如下的折线图，则下列说法正确的是（ ）A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在内B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知乙店的月营业额极差比甲店小D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知7、8、9月份的总营业额甲店比乙店少【答案】ABD【解析】【分析】计算出甲店的月营业额的平均值即可判断A；由图可直接判断B；分别计算出甲、乙两店的月营业额极差和7、8、9月份的总营业额即可判断CD
4、.【详解】对于A，根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值为，故A正确；对于B，根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势，故B正确；对于C，可得甲店的月营业额极差为，乙店的月营业额极差为，故C错误；对于D，甲店7、8、9月份的总营业额为，乙店7、8、9月份的总营业额为，故D正确.故选：ABD.5. 据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为 ：男、子、伯、候、公，共五级.现有每个级别的诸侯各一人，共五人要把80个橘子分完且每人都要分到橘子，级别每高一级就多分个（为正整数），若按这种方法分橘子，“公”恰好分得30个橘子的概率是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解
5、析】分析：先根据等差数列列关于m以及首项的不定方程，根据正整数解确定m可能取法，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：设首项为，因为和为80，所以因为，所以因此“公”恰好分得30个橘子的概率是，选B.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.6. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，直线为双曲线的一条渐近线，关于直线的对称点在以
6、为圆心，以半焦距为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】根据对称性可得，可得，渐近线的倾斜角为，即可得，即可求离心率【详解】解：如图，根据对称性可得，所以渐近线的倾斜角为60，则双曲线的离心率为.故选:C.【点睛】本题考查了双曲线的性质、离心率，考查转化能力7. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，由已知条件可判断出在R上单调递减，所求不等式可整理得，即，由单调性即可得到结果.【详解】构造函数，则，因为，所有，可得在R上单调递减，又，则，不等式即得，即，因
7、为在R上单调递减，故得，故选：A【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，构造函数是解题的关键，考查运算能力，属于中档题.8. 已知抛物线：的焦点为，为上一点且在第一象限，以为圆心，为半径的圆交的准线于，两点，且，三点共线，则（ ）A. 16B. 10C. 12D. 8【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，利用抛物线的定义，可得，所以【详解】解：因为，三点共线，所以为圆的直径，由抛物线定义知，所以因为到准线距离为6，所以故选：【点睛】本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题二多项选择题（每小题5分，共20分） 9. 变量x，y之间的一组数据如下表所示: x13678y12
8、345甲、乙两位同学给出的回归直线方程分别为 和 ，通过分析得出的拟合效果更好，则下列分析理由正确的是（ ）参考公式：A. 的残差和大于的残差和，所以的拟合效果更好B. 的残差平方和大于的残差平方和，所以的拟合效果更好C. 的 R2小于的 R2，所以的拟合效果更好D. 残差图中直线的残差点分布的水平带状区域比的残差点分布的水平带状区域更窄，所以的拟合效果更好【答案】BCD【解析】【分析】根据所给的两条直线的方程和五个坐标点，求出用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和，用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和，比较分析，的正误，再求得的与的分析的正误【详解】解：用作为拟
9、合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和为：残差和为用作为拟合直线时，所得的实际值与的估计值的差的平方和为：残差和为，的残差和大于的残差和，的残差平方和大于的残差平方和，则的拟合效果更好，故错误，正确；残差图中直线残差点分布的水平带状区域比的残差点分布的水平带状区域更窄，所以直线拟合效果更好，故正确；，的，的，的小于的，拟合效果更好，故正确故选：BCD10. 已知抛物线的准线过双曲线()的左焦点，且与双曲线交于两点，为坐标原点，的面积为，则下列结论正确的有（ ）A. 双曲线的方程为B. 双曲线的两条渐近线的夹角为60C. 点到双曲线的渐近线的距离为D. 双曲线的离心率为2【答案】ABD【解
10、析】【分析】根据抛物线准线过双曲线()的左焦点，得到，再根据与双曲线交于两点，且的面积为，求得双曲线的方程，再逐项验证.【详解】因为抛物线的准线过双曲线()的左焦点，所以，又与双曲线交于两点，所以，所以的面积为，即，解得，所以双曲线的方程为，故A正确；双曲线的渐近线方程为，所以两渐近线的的夹角为60，故B正确；点到双曲线的渐近线的距离为，故C错误；双曲线的离心率为，故正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查双曲线和抛物线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11. 已知点和，若某直线上存在点 P，使得|PM|PN|4，则称该直线为“椭型直线”，下列直线是“椭型直线”的是（ ）A. x-
11、2y+6=0B. x-y=0C. 2x-y+1=0D. x+y-3=0【答案】BC【解析】【分析】先确定P点的轨迹为椭圆，再考虑各选项中直线与椭圆的是否有公共点后可得答案.【详解】由，根据椭圆定义可得P点的轨迹为焦点在x轴上对称轴为坐标轴椭圆，且，所以，所以椭圆方程为，由“椭型直线”定义可知，要为“椭型直线”此直线必与椭圆由公共点，对于A，整理得，所以，方程组无解，所以不是“椭型直线”；对于B，x-y=0是过原点的直线，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；对于C，因为直线2x-y+1=0过点，且，所以点在椭圆内部，必与椭圆相交，所以是“椭型直线”；对于D，x+y-3=0与椭圆方程联立，整理得，所
12、以，不是“椭型直线”.故选：BC.【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题一般是联立直线与椭圆方程，消去一个变量后通过判断方程解的个数来判断位置关系，属于基础题.12. 已知函数在R上可导且，其导函数满足，若函数满足，下列结论正确的是（ ）A. 函数在上为增函数B. 是函数的极小值点C. 时，不等式恒成立D. 函数至多有两个零点【答案】ABD【解析】【分析】求出函数的单调性即得选项正确；，故选项错误；对分类讨论即得选项正确.【详解】，则，时，故在递增，选项正确；时，故在递减，故是函数的极小值点，故选项正确；由在递减，则在递减，由，得时，故，故，故选项错误；若（2），则有2个零点，若（2
13、），则函数有1个零点，若（2），则函数没有零点，故选项正确故选：ABD【点睛】方法点睛：函数的零点问题常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令得到，再分析得解）.三填空题（每小题5分，共20分） 13. 已知点P(x， y)在圆C : x2 + y2 - 6x - 6y +14 = 0 上，则x + y的最大值为 _.【答案】【解析】【分析】由题可得直线与圆C有公共点，建立不等关系即可求出m范围，得出最大值.【详解】圆化为，由题可得直线与圆C有公共点，则，解得，故x + y的最大值为.故答案为：.14. 函数的极小值为_.
14、【答案】【解析】【分析】求导可得的解析式，令，解得，分别讨论和时，的正负，可得的单调性，即可求得的极小值.【详解】因为，所以，令，解得或（舍），当时，所以在上为单调递减函数，当时，所以在上为单调递增函数，所以的极小值为.故答案为：-115. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交椭圆于两点，直线与椭圆的另一个交点为，若，则椭圆的离心率为_【答案】 【解析】设椭圆的左、右焦点分别为,将代入椭圆方程可得，可设,由，可得，即有，即，可得，代入椭圆方程可得，由,即有，解得.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立
15、关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.16. 若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【详解】【分析】试题分析：由题意，得，令，则 ，当时 当时， ，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增又当 时，因为函数在上有两个零点，所以，故 考点：1、函数零点；2、利用导数研究函数的单调性四解答题（共70分） 17. 已知函数在处取得极大值1.（1）求函数的图象在处切线的方程；（2）若函数在上不单调，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）先对函数求导，利用题意列出方程组，从而求得函数解析式，之后利用导数的几何意义，结合直线方
16、程点斜式求得切线方程；（2）先令导数等于零，求得函数的极值点，函数在给定区间上不单调的等价结果是零点在区间上，得到参数的范围.【详解】（1）因为，由题意可得解得，所以；经检验，适合题意，又，所以函数图象在处切线的方程为，即.（2）因为，令，得或.当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，当时，函数为增函数.因为函数在上不单调，所以或，所以或.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，解决该题的思路如下：（1）对函数求导，利用题意，列出方程组，求得函数解析式；（2）利用导数的几何意义，结合直线方程点斜式求得切线方程；（3）函数在给定区间上不单调等价结果是极值点在区间内.18. 已知
17、在中，角 所对的边分别是，从以下三个条件中选取一个解答该题 ； （1）求角的大小； （2）若，求的面积 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】条件性选择见解析，（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对，利用正弦定理边角互化化简即可，对，利用三个角的关系求解关于的一元二次方程；（2）利用余弦定理求解出，再代入面积公式计算.【详解】（1）若选，根据正弦定理知， 即，即，因为，所以，又，解得，又，所以.若选，由题意可得，又，所以，所以，解得，又，所以；若选，由正弦定理及，得，又，所以，得.又，所以.（2）因为，所以，得，所以【点睛】解决三角形中边角互化的问题，一般利用正弦定理将条件化
18、为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式或者求角；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系或者求边，另外，在变形过程中要注意A，B，C三个角之间的关系，利用诱导公式转化.19. 某河蟹养殖场今年在临近收获前，随机抽取了只河蟹逐个称重，重量（单位：）数据经过整理得到如下的频率分布直方图规定重量不低于的为优等蟹，重量低于的为普通蟹.（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率；（2）估计今年河蟹重量的中位数；（3）该养殖场今年一共收获了只河蟹，根据市场行情，优等蟹按数量卖，价格为元一只，普通蟹按重量卖，价格为元，估计该养殖场今年的销售额.（每组数据以该组
19、区间的中点值为代表）【答案】（1）；（2）；（3）元.【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图计算出重量不低于的频率，即为所求；（2）设中位数为，根据中位数左边的矩形面积之和为列等式可解出的值，即为所求；（3）分别计算出优等蟹和普通蟹的销售额，相加可得结果.【详解】（1）估计今年的河蟹为优等蟹的概率为；（2）设中位数为，前三个矩形的面积之和为，前四个矩形的面积之和为，所以，由题意得，解得；（3）记今年优等蟹的数量为（只），普通蟹的总重量为，即，所以估计该养殖场今年的销售额为元.20. 已知数列满足（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析
20、】（1），当时，两式相减即得数列的通项公式；（2）先求出，再利用裂项相消法求和证明.【详解】（1）解：，当时，当时，由-，得，因为符合上式，所以（2）证明：因为，所以【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.21. 椭圆（）的半焦距为c，原点O到经过两点，的直线的距离为（）求椭圆E的离心率；（）如图，AB是圆的一条直径，若椭圆E经过A，B两点，求椭圆E的方程【答案】（）；（）【解析】【分析】（）根据原点到直线的距离，列式，求离心率；（）由（）可设椭圆方程，根据圆的圆心设直线方程为，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系表示弦长求.【详解】（）过点的直线
21、方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（）由（）知，椭圆的方程为（1） .依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.【点睛】关键点点睛：本题第二问，表面是圆与椭圆相交问题，但透过表明，发现本质就是过定点的直线与椭圆相交，已知弦长求参数，这样，问题就转化为比较熟悉的题型.22. 已知. （1）当时，求的单调性和极值; （2）若有解，求的取值范围.【答案】（1）当时，单调递减；当时，单调递增；极小值为1，无极大值；（2）.【解析】分析】（1）求导得，进而得函数的单调区间与极值；（2）根据题意在时有解，设，进而求函数的最大值即可得取值范围.【详解】解:(1)由题意，函数，则，当时，单调递减;当时，单调递增.的极小值为，无极大值.(2)，在时有解，即在时有解，令，则.令，得，当时，单调递增;当时，单调递减.，实数的取值范围是.【点睛】不等式恒成立或能成立，转化为函数的最值与参数的关系，设是定义域的子集，通常有：，.
