1、第5讲两角和与差及二倍角的三角函数最新考纲1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)知 识 梳 理1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_.cos()cos_cos_sin_sin_.tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_.cos 2cos2sin22cos2
2、112sin2.tan 2.3有关公式的逆用、变形等(1)tan tan tan()(1tan_tan_)(2)cos2，sin2.(3)1sin 2(sin cos )2,1sin 2(sin cos )2，sin cos sin.4函数f()asin bcos (a，b为常数)，可以化为f()sin()或f()cos().诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)精彩PPT展示(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式sin()sin sin 成立()(3)公式tan()可以变形为tan tan tan()(1tan tan )，且对任意角，都成立()
3、(4)存在实数，使tan 22tan .()解析(3)变形可以，但不是对任意的，都成立，k，kZ.答案(1)(2)(3)(4)2(2016全国卷)若tan ，则cos 2()A B C. D.解析cos 2cos2sin2.答案D3(2015重庆卷)若tan ，tan()，则tan 等于()A. B. C. D.解析tan tan()，故选A.答案A4(2017宝鸡调研)已知sin cos ，则sin2()A. B. C. D.解析由sin cos 两边平方得1sin 2，解得sin 2，所以sin2，故选B.答案B5(必修4P118练习3(2)改编)sin 347cos 148sin 77c
4、os 58_.解析sin 347cos 148sin 77cos 58sin(27077)cos(9058)sin 77cos 58(cos 77)(sin 58)sin 77cos 58sin 58cos 77cos 58sin 77sin(5877)sin 135.答案考点一三角函数式的化简【例1】 (1)(2016合肥模拟)cos()cos sin()sin ()Asin(2) Bsin Ccos(2) Dcos (2)化简：(0)_.解析(1)cos()cos sin()sin cos()cos .(2)原式.因为0，所以00，所以原式cos .答案(1)D(2)cos 规律方法三角函
5、数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】 (1)2的化简结果是_(2)化简：_.解析(1)原式22|cos 4|2|sin 4cos 4|，因为4，所以cos 40，且sin 4cos 4，所以原式2cos 42(sin 4cos 4)2sin 4.(2)原式cos 2.答案(1)2sin 4(2)cos 2考点二三角函数式的求值【例2】 (1)2sin 50sin 10(1tan 10)_.(
6、2)已知cos，则的值为_(3)已知，(0，)，且tan()，tan ，则2的值为_解析(1)原式sin 80(2sin 502sin 10)cos 102sin 50cos 10sin 10cos(6010)2sin(5010)2.(2)sin 2sin 2tan.由得0，又(0，)，00，02，tan(2)1.tan 0，20，2.答案(1)(2)(3)规律方法(1)已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值(2)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函
7、数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好【训练2】 (1)4cos 50tan 40()A. B.C. D21(2)已知sinsin ，0，则cos 的值为_(3)已知cos ，cos()(0)，则tan 2_，_.解析(1)原式4sin 40，故选C.(2)由sinsin ，得sin cos ，sin.又0，所以，于是cos.所以cos cos.(3)cos ，0，sin ，tan 4，tan 2.0，0，sin()，cos cos()cos cos()sin sin()，.答案(1)C(
8、2)(3)考点三三角变换的简单应用【例3】 已知ABC为锐角三角形，若向量p(22sin A，cos Asin A)与向量q(sin Acos A,1sin A)是共线向量(1)求角A；(2)求函数y2sin2Bcos的最大值解(1)因为p，q共线，所以(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)，则sin2A.又A为锐角，所以sin A，则A.(2)y2sin2 Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos1cos 2Bcos 2Bsin 2Bsin 2Bcos 2B1sin1.因为B，所以2B，所以当2B时，函数y取得最大值，此时B，ymax2.规律方
9、法解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】 (2017合肥模拟)已知函数f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4x.(1)求f(x)的最小正周期及单调减区间；(2)若(0，)，且f，求tan的值解(1)f(x)(2cos2x1)sin 2xcos 4xcos 2xsin 2xcos 4x(sin 4xcos 4x)sin，f(x)的最小正周期T.令2k4x2k
10、，kZ，得x，kZ.f(x)的单调减区间为，kZ.(2)f，即sin1.因为(0，)，所以，故.因此tan2.思想方法1重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等2在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形易错防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通2在(0，)范围内，sin 所对应的角
11、不是唯一的3在三角求值时，往往要借助角的范围求值.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A B. C D.解析sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 30.答案D2(1tan 17)(1tan 28)的值是()A1 B0 C1 D2解析原式1tan 17tan 28tan 17tan 281tan 45(1tan 17tan 28)tan 17tan 28112.答案D3(2017西安二检)已知是第二象限角，且tan ，则sin 2()A B. C
12、D.解析因为是第二象限角，且tan ，所以sin ，cos ，所以sin 22sin cos 2，故选C.答案C4(2016河南六市联考)设acos 2sin 2，b，c，则有()Aacb Babc Cbca Dcab解析由题意可知，asin 28，btan 28，csin 25，cab.答案D5(2016铜川三模)已知sin 且为第二象限角，则tan()A B C D解析由题意得cos ，则sin 2，cos 22cos21.tan 2，tan.答案D二、填空题6(2016安庆模拟)若cos，则sin(2)的值是_解析sinsincos 22cos2121.答案7(2017南昌一中月考)已知
13、，且cos，sin，则cos()_.解析，cos，sin，sin，sin，又，cos，cos()cos.答案8已知，且sin，则tan 2_.解析sin，得sin cos ，平方得2sin cos ，可求得sin cos ，sin ，cos ，tan ，tan 2.答案三、解答题9(2017淮海中学模拟)已知向量a(cos ，sin )，b(2，1)(1)若ab，求的值；(2)若|ab|2，求sin的值解(1)由ab可知，ab2cos sin 0，所以sin 2cos ，所以.(2)由ab(cos 2，sin 1)可得，|ab|2，即12cos sin 0.又cos2sin21，且，所以sin
14、 ，cos .所以sin(sin cos ).10设cos ，tan ，0，求的值解法一由cos ，得sin ，tan 2，又tan ，于是tan()1.又由，0可得0，因此，.法二由cos ，得sin .由tan ，0得sin ，cos .所以sin()sin cos cos sin .又由，0可得0，因此，.能力提升题组(建议用时：20分钟)11(2016陕西统一检测)coscoscos()A B C. D.解析coscoscoscos 20cos 40cos 100cos 20cos 40cos 80.答案A12(2017上饶调研)设，0，且满足sin cos cos sin 1，则si
15、n(2)sin(2)的取值范围为()A，1 B1，C1,1 D1，解析sin cos cos sin 1，sin()1，0，由，sin(2)sin(2)sinsin(2)cos sin sin，1sin1，即所求的取值范围是1,1，故选C.答案C13已知cos4sin4，且，则cos_.解析cos4sin4(sin2cos2)(cos2sin2)cos 2，又，2(0，)，sin 2，coscos 2sin 2.答案14(2016西安模拟)如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.(1)求S关于的函数关系式(2)求S的最大值及相应的角解(1)分别过P，Q作PDOB于D，QEOB于E，则四边形QEDP为矩形由扇形半径为1 m，得PDsin ，ODcos .在RtOEQ中，OEQEPD，MNQPDEODOEcos sin ，SMNPDsin sin cos sin2，.(2)由(1)得Ssin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin，因为，所以2，sin.当时，Smax(m2).特别提醒：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见创新设计高考总复习光盘中内容.
