1、第二章2.42.4.2基础练习1直线yx1被抛物线y24x截得的线段的中点坐标是()A(1,2)B(2,1)C(2,3)D(3,2)【答案】D【解析】将yx1代入y24x，整理，得x26x10.由根与系数的关系，得x1x26，3.2.所求点的坐标为(3,2)2已知抛物线y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216相切，则p的值为()A2B4C6D8【答案】A【解析】由已知可知抛物线的准线x与圆(x3)2y216相切，圆心为(3,0)，半径为4，圆心到准线的距离d34.解得p2.3.(2020年湖北五校联考)直线l过抛物线y22px(p0)的焦点，且与该抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8
2、，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是()A.y212x B.y28xC.y26x D.y24x【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线的定义可知|AB|(x1x2)p8.又AB的中点到y轴的距离为2，2，x1x24，p4，所求抛物线的方程为y28x.故选B.4已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点若|FA|2|FB|，则k的值为()ABCD【答案】D【解析】C的准线为l：x2，直线yk(x2)过定点P(2,0)过点A，B分别作AMl于点M，BNl于点N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点连接
3、OB，则|OB|AF|，|OB|BF|.点B(1，2)k.故选D5(2019年山西临汾期末)已知抛物线C1：x22py(p0)的准线与抛物线C2：x22py(p0)交于A，B两点，C1的焦点为F，若FAB的面积等于1，则C1的方程是_【答案】x22y【解析】由题意得F，不妨设A，B，SFAB2pp1，则p1，即抛物线C1的方程是x22y.6.(2020年辽宁沈阳质量监测)已知抛物线x24y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PAl于点A，当AFO30(O为坐标原点)时，|PF|.【答案】【解析】设l与y轴的交点为B，在RtABF中，AFB30，|BF|2，所以|AB|.设P(x0，y
4、0)，则x0，代入x24y中，得y0，从而|PF|PA|y01.7斜率为1的直线经过抛物线y24x的焦点且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长解：如图，由抛物线的标准方程可知焦点F(1,0)，准线方程为x1.由题意，直线AB的方程为yx1，代入抛物线方程y24x，整理得x26x10.(方法一)由x26x10，得x1x26，x1 x21，|AB|x1x2|8.(方法二)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|AA1|x11，|BF|BB1|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.8设抛物线C：y22px(p0)上有两动点A，B(AB不垂直于x轴)，F为焦点且|A
5、F|BF|8，线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0)，求抛物线C的方程解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，则x1x28p.又|QA|QB|，(x16)2y(x26)2y，即(x1x212)(x1x2)2p(x2x1)x1x2，x1x2122p.122p8p.解得p4.所求抛物线C的方程为y28x.能力提升9过抛物线y24x的焦点，作一条直线与抛物线交于A，B两点，若它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A有且仅有一条B有两条C有无穷多条D不存在【答案】B【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|x1x2p527.又直线AB过焦点且垂直于x轴的直线被
6、抛物线截得的弦长最短，且|AB|min2p4，这样的直线有两条故选B10.(多选题)如图，AB为过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率存在，则()A.|AB|x1x2pB.x1x2C.y1y2p2D.以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ABCD【解析】由抛物线的定义知|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p，A正确.设直线AB的方程为yk，联立抛物线方程，消x得y2yp20，y1y2p2，x1x2，B，C正确.设AB的中点为M，M到准线的距离为d，则d，以AB为直径的圆与准线相切，D正
7、确.综上，ABCD全选.11.(2020年湖南永州模拟)已知点M，N是抛物线y4x2上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足MFN135，弦MN的中点P到直线l：y的距离为d，若|MN|2d2，则的最小值为.【答案】2【解析】抛物线y4x2的焦点F，准线为y.设|MF|a，|NF|b，由MFN135，得|MN|2|MF|2|NF|22|MF|NF|cos MFNa2b2ab.由抛物线的定义得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，由梯形的中位线定理得d(|MF|NF|)(ab).由|MN|2d2，得111，得2，当且仅当ab时，取得最小值2.12已知过抛物线y22px(p0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点且|AB|p，求AB所在的直线方程解：焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)若ABx轴，则|AB|2pp，不合题意所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为yk(k0)由消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数的关系，得y1y2，y1y2p2.|AB|y1y2|2pp.解得k2.AB所在直线方程为y2或y2.
