1、成都外国语学校高2014级4月月考试题理科数学命题人：李斌审题人：刘丹一、 选择题1、已知集合，则（）DA. B. C. D. 2、已知复数满足为虚数单位），则（）CA. B. C. D. 甲0.80.41.99乙xyO3、甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（）AA. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均左右C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D. 甲类水果的平均质量4、将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴是（
2、）CA B C D5、已知的三个顶点及平面内一点满足，则点与的关系为（）DA在内部B在外部C在边所在直线上D是边的一个三等分点6、如图，正方体的棱长为，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和等于( )AA B C D【解析】由题得, 圆弧在以B为圆心,半径为BG的圆上，而圆弧在以A为圆心,半径为AE=2的圆上.故=,由于,故,则,所以+=.故选A.7、执行如图的程序框图，若程序运行中输出的一组数是，则的值为（ ）BA. B. C. D. 8、已知是正实数，且，当时，下列不等式成立的是（）AABCD 9、如果关于的不等式和的解集分别为和，那么称这两个不
3、等式为对偶不等式，如果不等式与不等式为对偶不等式，且为钝角，那么等于（）CABCD 10、已知分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线的左支上的任意一点，当取得最小值时，双曲线的离心率为（）DA2BC3D511、已知是数列的前项和，若数列是以2为公比的等比数列，则的值为（）AABCD12、若函数有个解，则称函数为“复合解”函数。已知函数（其中为自然对数的底数，），且函数为“复合5解”函数，则的取值范围为（）DABCD二、 填空题13、若二直线与两坐标轴所围成的四边形有外接圆，则实数的取值集合为_答案：14、当实数，满足不等式组时，恒有成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】满足不等式组的平面区域如
4、图所示，由于对任意的实数，不等式恒成立，根据图形，可得斜率或，解得，则实数的取值范围是15、过双曲线的左焦点作圆的切线交双曲线的右支于点，切点为，的中点在第一象限，为坐标原点，则与的大小关系为_答案:16、设函数（为实常数）为奇函数，函数且）当时，对所有的及恒成立，则实数的取值范围_.【答案】【解析】由得，当，即时，在上为增函数，最大值为当，即时，在上为减函数，最大值为由（2）得在上的最大值为，即在上恒成立，令， 即 所以考点：（1）函数的奇函数（2）指数函数的性质（3）恒成立问题及函数思想三、 解答题17、在中，所对的边分别为函数在处取得最大值（1）当时，求函数的值域；（2）若且,求的面积【
5、答案】（1）；（2）【解析】（1）因为函数在处取得最大值，所以，得所以因为，所以，则函数值域为(2）因为所以，则所以，由余弦定理得所以，又因为，所以则面积18、近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重。大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病。为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机对头入院的50人进行问卷调查，得到了如下的列联表：患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050（1） 用分层抽样的方法在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽多少人？（2） 在上述抽取的6人中选2人，求恰好有1名女性的概率；（3） 为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算
6、出统计量，你有多大把握认为心肺疾病与性别有关？（结果保留三个有效数字）下面的临界值表供参考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.879 10.828参考公式:，其中解：（1）在患心肺疾病的人群中抽6人，其中男性抽4人；（2） 设4男分为：；2女分为：，则6人中抽出2人的所有抽法：AB、AC、AD、AM、AN、BC、BD、BM、BN、CD、CM、CN、DM、DN、MN共15种抽法，其中恰好有1个女生的抽法有8种所以恰好有1个女生的概率为（3） 由列联表得，查临界值表知：有把握认为心肺疾病与性别有关19、如图，在四棱
7、锥中，平面平面（）求棱锥的体积；（）求证：平面平面；（）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）存在，【解析】试题分析：（I）在在中，可得，由于平面，可的棱锥的高，利用体积公式求解几何体的体积；（II）由平面，可得，进而得到平面，即可证明平面平面；（III）在线段上存在一点，使得平面，设F为线段DE上的一点，且，过F作，由线面垂直的性质可得，可得四边形ABMF是平行四边形，于是，即可证明平面试题解析：（）在中，因为平面，所以棱锥的体积为（）证明：因为 平面，平面，所以又因为，所以平面又因为平面，所以平面平面（）结论：在线段
8、上存在一点，且，使平面解：设为线段上一点， 且，过点作交于，则因为平面，平面，所以又因为所以，所以四边形是平行四边形，则又因为平面，平面，所以平面20、 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点，交抛物线于两点，线段的中点为，直线交椭圆于两点，记直线的斜率为，满足。（1）求椭圆的方程；（2）记的面积为，的面积为，设，求实数的最大值及取得最大值时直线的方程。【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意设出直线l的方程为y=kx+1，与椭圆方程联立，求出D的坐标，利用中点坐标公式求得M的坐标，得到OM的斜率结合已知求得a值，则椭圆方程可求；（2）由（1），知
9、点D的坐标为（），又F（0，1），可得|DF|由，利用弦长公式求得|AB|求出直线OM的方程为y=由，求得P、Q的坐标，由点到直线的距离公式求得点P到直线kxy+1=0的距离，点Q到直线kxy+1=0的距离代入三角形面积公式，整理后利用基本不等式求得实数的最大值及取得最大值时直线l的方程【解答】解：（1）由题意可设直线l的方程为y=kx+1，联立，得（1+a2k2）x2+2a2kx=0解得：，M（，），则k=，由，得a2=4则椭圆C的方程为；（2）由（1），知点D的坐标为（），又F（0，1），|DF|=由，得x24kx4=0=16k2+160恒成立设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+
10、x2=4k，x1x2=4因此=由题意，直线OM的方程为y=由，得（1+4k2）x216k2=0显然，=4（1+4k2）（16k2）0恒成立，且x=不妨设，则点P的坐标为（），而点Q的坐标为（）点P到直线kxy+1=0的距离，点Q到直线kxy+1=0的距离=S1S2=。=，=当且仅当3k2=k2+1，即k=时，等号成立实数的最大值为，取最大值时的直线方程为21已知函数在处的切线与直线垂直。（1）求函数的导函数）的单调递增区间；（2）记函数，设是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值。解：（1）由题意可得：，可得：；而，则，所以；当时，单调递增；当时，单调递减；故函数的单调增区间为.（2）
11、，因为是的两个极值点，故是方程的两个根，由韦达定理可知：，可知，则令，可证在递减，由，从而可证.所以令所以在上单调减，故，所以，即.请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分22、（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线的极坐标方程；（）若直线l：与曲线相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求的最大值解：（I）曲线C的普通方程为，-2分由，得；-5分（II）解法1：联立和，得，-6分设、，则，-8分由， 得，-9分当时，|OM|取最大值-10分【解法2：由（I）知曲线C是以点P为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线的方程为，则，-6分，-8分当时，当且仅当，即时取等号，,即的最大值为-10分】23、（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数（）当时，解不等式；（）设，当时，求证：解：（I）当时，不等式即 当时，得，-1分当时，得，-2分当时，得，与矛盾，-3分综上得原不等式的解集为=-5分（II）-6分，-7分，-9分当时取“=”，得证 -10分
