1、河北武邑中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题一选择题(本卷共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 全集，集合，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先利用补集运算求得集合A的补集，再利用交集运算求解.【详解】因为全集，集合，所以，又，所以集合故选：D2. 已知命题，命题p的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解即可【详解】命题，的否定是：，故选：D3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B
2、【解析】【分析】根据初等函数的奇偶性和单调性的定义对各个选项逐一进行判断即可【详解】A.函数在区间上是减函数，不满足条件；B.函数既是奇函数又在区间上是增函数，满足条件；C.是偶函数，不满足条件；D.是非奇非偶函数，不满足条件；故选B【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题.4. 已知=，则的表达式是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由已知有=，我们利用凑配法可以求出的解析式.【详解】由=所以故选：A【点睛】本题考查利用凑配法求函数解析式，属于基础题.5. 当时，函数和的图象只可能是（ ）A. B. C. D.
3、【答案】A【解析】【分析】由分析函数的单调性以及二次函数图象的开口方向与对称轴，由此可得出合适的选项.【详解】当时，指数函数为增函数，二次函数的图象开口向上，且函数图象的对称轴为轴，因此，函数和的图象只可能是A选项中的图象.故选：A.6. 已知：，且，则取到最小值时，（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据，且，利用“1”的代换，将转化为，再利用基本不等式求解.【详解】因为，且，所以，当且仅当 ，即时，取等号，所以，故选：B7. 函数是定义在上的偶函数且在上减函数，则不等式的解集（ ）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用偶函数的性质将所求不等式转化为，再
4、利用的单调性解不等式即可.【详解】因为是偶函数，所以，又在上是减函数，所以，解得或故选：D【点睛】关键点睛：本题解题关键是利用偶函数的性质将转化为解不等式.8. 设，那么（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由结合指数函数的单调性得出，再由单调性得出且，即可得出答案.【详解】，.且，故：，故选：C.二、多项选择题：全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，共计20分.9. 下列说法错误的是（ ）A. 在直角坐标平面内，第一三象限的点的集合为B. 方程的解集为C. 集合与是相等的D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据集合定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项
5、A，因为或，所以集合表示直角坐标平面内第一、三象限的点的集合，故A正确；对选项B，方程的解集为，故B错误；对选项C，集合表示直线上的点，集合表示函数中x的取值范围，故集合与不相等，故C错误；对选项D，所以，故D错误.故选：BCD10. 对于函数选取的一组值去计算和所得出的正确结果可能为（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】ABD【解析】分析】令，易知是奇函数，则，再由判断.【详解】令，又因为，所以是奇函数，所以，因为，所以为偶数，故选：ABD11. 已知命题，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】首先求得命题的等价条件
6、，由此求得命题成立的充分不必要条件.【详解】依题意命题，所以，解得.即命题的等价条件是，命题成立的一个充分不必要条件是的真子集，所以AD选项符合，BC选项不符合.故选：AD【点睛】本小题主要考查充分不必要条件，属于基础题.12. 定义一种运算：，设，则下面结论中正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的值域是C. 函数的单调递减的区间是和D. 函数的图象与直线有三个公共点.【答案】ABCD【解析】【分析】根据运算的定义，作出的图象，数形结合，对每个选项逐一分析即可.【详解】由题意，作出函数的图象如图所示，由图象可知，函数的图象关于直线对称，A正确；函数的值域是，B正确；函数的单调递
7、减的区间是和，C正确；函数的图象与直线有三个公共点，D正确.故选：ABCD【点睛】关键点睛：本题解题关键是化简得解析式以及作出函数的图象，考查学生数形结合思想.三填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. _.【答案】【解析】【分析】直接利用指数运算法则求解.【详解】，故答案为：14. 已知，那么_【答案】2【解析】【分析】根据分段函数的解析式得出，再求可得解.【详解】由,因为，所以，故填：2.【点睛】本题考查根据分段函数的解析式求函数值，关键在于判断自变量在分段函数的相应范围代入相应的解析式可求得函数值，属于基础题.15. 若幂函数的图象与轴无交点，则实数的值为_.【答案】【解析
8、】【分析】根据函数是幂函数，由求得m，再根据函数图象与轴无交点确定即可.【详解】因为函数是幂函数，所以，即，解得 或 ，当 时，图象与轴有交点，当 时，图象与轴无交点，所以实数的值为-1，故答案为：-116. 几何原本中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”设，称为a，b的调和平均数如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD过点C作OD的垂线，垂足为E则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，
9、线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段_的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用射影定理判断出调和平均数对应的线段，根据图象判断算术平均数、几何平均数与调和平均数的关系.【详解】依题意三角形是直角三角形，；在直角三角形中，.由射影定理得，由射影定理得，即，所以线段的长度是的调和平均数.在中，即，当时，重合，即，所以.故答案为：；【点睛】本小题主要考查基本不等式，考查中国古代数学文化.四解答题：(本大题满分70分，每题要求写出详细的解答过程否则扣分)17. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.（1）求集合、；（2）
10、若，求实数的取值范围【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）解不等式可得集合，求得的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得函数的值域；（2）由可得，由此可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.【详解】（1）对于函数，有，即，解得，即.，则，则，即；（2）由，得，所以，即，解得，因此，实数的取值范围是.18. 已知幂函数f（x）=（m25m+7）xm1（mR）为偶函数（1）求的值；（2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值【答案】（1）16（2）a=1或a=【解析】【分析】(1)根据幂函数定义求m，再根据偶函数性质进行取舍，最后求函数值，(2)根据幂函数定义域以及单调性列方
11、程组，解得结果.【详解】（1）函数f（x）=（m25m+7）xm1（mR）为幂函数，m25m+7=1，解得m=2或m=3；m=2时，f（x）=x3，不是偶函数，舍去；m=3时，f（x）=x4，为偶函数，满足题意；f（x）=x4，=16；（2）若f（2a+1）=f（a），则（2a+1）4=a4，即，解得a=1或a=点睛】本题考查幂函数定义以及性质，考查基本求解能力.19. 已知函数是奇函数，其中是常数.（1）求函数的定义域和的值；（2）若，求实数取值范围.【答案】（1）定义域为且，；（2）.【解析】【分析】（1）根据是奇函数，由恒成立求解.（2）由（1）得到，则，转化为求解.【详解】（1）由，解
12、得，所以函数的定义域为，又因为是奇函数，所以，解得.（2）由（1）知，由，即当时，不成立，当时，解得，所以实数x的取值范围是.20. 某造纸厂拟建一座底面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/平方米，水池所有墙的厚度忽略不计.（1）设计污水处理池的宽为，总造价为，求关于的表达式，并求出的最小值；（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.【答案】（1），总造价最低为38880元；（2）长为16
13、米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38882元.【解析】【分析】（1）污水处理池的底面积一定，设宽为米，可表示出长，从而得出总造价，利用基本不等式求出最小值；（2）由长和宽的限制条件，得自变量的范围，判断总造价函数在的取值范围内的函数值变化情况，求得最小值【详解】（1）设污水处理池的宽为，则长为米总造价(元)当且仅当，即时取等号当污水处理池的长为16.2米，宽为10米时总造价最低，总造价最低为38880元.（2）由限制条件知，设，在上是增函数，当时(此时)，有最小值，即有最小值，即为(元)当污水处理池的长为16米，宽为米时总造价最低，总造价最低为38882元21. 已知函数和的图象关于原点对
14、称，且.（1）求函数的解析式；（2）已知，若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据函数和的图象关于原点对称，在函数的图象上任一点，设关于原点的对称点为，由，求得，在根据点在上求解.（2）由（1）得到，时，满足条件；当时，利用二次函数的单调性求解.【详解】（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为，则，即，.因为点在上，即，故.（2）由（1）知当时，满足条件；当时，对称轴，且开口向上；令得综上：.【点睛】方法点睛：（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有
15、参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解22. 已知函数在区间上有最大值和最小值.（1）求；（2），若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，得到在区间上是减函数，在区间上是增函数求解.（2）由（1）得到，将在上恒成立，转化为在上恒成立，令，转化为在上恒成立求解.【详解】（1），因为，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数，在处取最小值，在处取最大值，故.解得.（2）由（1）可得.所以在上恒成立，可化为在上恒成立，化为在上恒成立，令，则在上恒成立，因为，故，记，所以的取值范围是.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间D上有最值，则（1）恒成立：；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；（2）能成立：；
