1、题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.(2015天津高考)为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.(2015广东广州模拟)袋子中装有大小相同的白球和红球共7个,从袋子中任取2个球都是白球的概率为17,每个球被取到的机会均等.现从袋子中每次取1个球,如果取出的是白球则不再放
2、回,设在取得红球之前已取出的白球个数为X.(1)求袋子中白球的个数;(2)求X的分布列和数学期望.3.一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球,其中红球3个,白球6个,每次随机取1个,直到取出3次红球即停止.(1)从袋中不放回地取球,求恰好取4次停止的概率P1;(2)从袋中有放回地取球:求恰好取5次停止的概率P2;记5次之内(含5次)取到红球的个数为,求随机变量的分布列及数学期望.4.(2015四川高考)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生
3、中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛.设X表示参赛的男生人数,求X的分布列和数学期望.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现
4、,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495,(495,500,(500,505,(505,510,(510,515).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.参考答案1.解:(1)由已知,有P(A)=C2
5、2C32+C32C32C84=635.所以,事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=C5kC34-kC84(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X1234P1143737114随机变量X的数学期望E(X)=1114+237+337+4114=52.2.解:(1)设袋子中有n(nN*)个白球,依题意,得Cn2C72=17,即n(n-1)2762=17,化简,得n2-n-6=0,解得n=3或n=-2(舍去).故袋子中有3个白球.(2)由(1)得,袋子中有4个红球,3个白球.X的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=47;P(X=1)=3
6、746=27;P(X=2)=372645=435;P(X=3)=37261544=135.则X的分布列为X0123P4727435135故E(X)=047+127+2435+3135=35.3.解:(1)P1=C31C61A33A94=128.(2)P2=C4213223213=881.随机变量的取值为0,1,2,3.由n次独立重复试验的概率计算公式P(=k)=Cnkpk(1-p)n-k,得P(=0)=C501-135=32243;P(=1)=C51131-134=80243;P(=2)=C521321-133=80243;P(=3)=1-32+802243=1781.随机变量的分布列为012
7、3P3224380243802431781的数学期望是E()=032243+180243+280243+31781=13181.4.解:(1)由题意知,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为C33C43C63C63=1100.因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100.(2)根据题意,X的可能取值为1,2,3.P(X=1)=C31C33C64=15,P(X=2)=C32C32C64=35,P(X=3)=C33C31C64=15.所以X的分布列为X123P153515因此,X的数学期望为E(X)=1P(X=1)+2P
8、(X=2)+3P(X=3)=115+235+315=2.5.解:(1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=C311211-122=38;P(X=20)=C321221-121=38;P(X=100)=C331231-120=18;P(X=-200)=C301201-123=18.所以X的分布列为X1020100-200P38381818(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-183=1-1512=51
9、1512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)X的数学期望为E(X)=1038+2038+10018-20018=-54.这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解:(1)根据频率分布直方图可知,质量超过505 g的产品数量为(0.01+0.05)540=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C282C402=63130;P(X=1)=C281C121C402=2865;P(X=2)=C122C402=11130.则随机变量X的分布列为X012P63130286511130(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505 g的概率为1240=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505 g的产品数量,则YB(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=C520.320.73=0.308 7.
