1、数学思想专项训练(二)转化与化归思想方法概述适用题型转化与化归思想方法在研究、解决数学问题中，当思维受阻时考虑寻求简单方法或从一种情形转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式.常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于
2、解决的等价命题，达到化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.一、选择题1已知奇函数f(x)在R上单调递增，且f(x2x)f(2)0，则实数x的取值范围为()A(2，)B(1，)C(2,1) D(1,2)解析：选C依题意，由f(x2x)f(2)0可得f(x2x)f(2)，由f(x)在R上单调递增，即x2x2，得2x1.2已知数列an的前n项和Sn4nt(t是实数)，下列结正确的是()At为任意实数，an均是等比数列B当且仅当t1时，an是等比数列C当且仅当t0时，an是等比数列D当且仅当t4时，an是等比数列解析：选BSn4nt，S14
3、t，S216t，S364t，a14t，a2S2S112，a3S3S248，若an是等比数列，则aa1a3，12248(4t)，t1.3关于x的不等式x216mx在x1,10上恒成立，则实数m的取值范围为()A(1,8) B.(1,8C(，8) D(，8解析：选D由于x1,10，原不等式可化为mx.又x2 8，当x4时，等号成立所以m8，即m的取值范围是(，84如图所示，在棱长为5的正方体ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF2，点Q是A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则四面体PQEF的体积()A是变量且有最大值B是变量且有最小值C是变量有最大值和最小值D是常量解析
4、：选D点Q到棱AB的距离为常数，所以EFQ的面积为定值由C1D1EF，可得棱C1D1平面EFQ，所以点P到平面EFQ的距离是常数于是四面体PQEF的体积为常数5如果实数x，y满足等式(x2)2y23，那么的最大值是()A. B.C. D解析：选D原题即为：在圆(x2)2y23上求一点P，使直线OP的斜率最大如图，显然当直线OP为圆的切线时斜率最大，设此时OP与x轴的夹角为，则有sin ，所以tan .6已知双曲线C：1的右支上存在一点P，使得点P到双曲线右焦点的距离等于它到直线x(其中c2a2b2)的距离，则双曲线C的离心率的取值范围是()A(1， B.，)C(1，1 D1，)解析：选C若离心
5、率e2，设双曲线为x21，P(x，y)，则右焦点为(2,0)，依题意有2(x2)2y2，联立双曲线方程，消去y，得12x220x30，该方程有实根，所以离心率可以取2，排除A，D.若离心率e3，设双曲线为x21，双曲线上不存在点P使P点到双曲线右焦点(3,0)的距离等于它到直线x的距离，所以离心率不可以取3，排除B，D，选C.二、填空题7设为第四象限的角，若，则tan 2_.解析：借助三角变换转化求cos 2、sin 2，sin 3sin(2)sin 2cos cos 2sin ，2cos2cos 21cos 2cos 2.cos 2.又2k2k(kZ)，4k24k(kZ)，sin 2.tan
6、 2.答案：8若f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x都有f(x3)f(x)3和f(x2)f(x)2，且f(1)1，则f(2 014)_.解析：f(x1)f(x3)2f(x)32f(x)1，f(x1)f(x4)3f(x2)23f(x)43f(x)1，f(x)1f(x1)f(x)1，f(x1)f(x)1，数列f(n)为首项为1，公差为1的等差数列f(2 014)f(1)2 01312 014.答案：2 0149给定kN，设函数f：NN满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)nk.已知命题：k3，当n3且nN时，2f(n)3为真命题，则不同的函数f的个数为_解析：由题可知k3，n3时，f(n)n
7、3，(n3)N，而n3时，2f(n)3，即f(n)2,3，即n1,2,3，f(n)2,3，一一列举可知，三对一的有2种，二对一的有6种，不同的函数f的个数为8.答案：810若椭圆C的方程为1，焦点在x轴上，与直线ykx1总有公共点，那么m的取值范围为_解析：由椭圆C的方程及焦点在x轴上，知0m5.又直线与椭圆总有公共点，直线恒过点(0,1)，则定点(0,1)必在椭圆内部或边界上则1，即m1.故m的取值范围为1,5)答案：1,5)三、解答题11对于满足|p|2的所有实数p，求使不等式x2px12xp恒成立的x的取值范围解：构造函数f(p)(x1)px22x1，|p|2.当即时，亦即当(*)时，f(p)0(|p|2)恒成立，由(*)式得x3或x1.当x3或x1时，f(p)0(|p|2)恒成立即：x2px12xp恒成立12设P是双曲线y21右支上的一个动点，F是双曲线的右焦点，已知A点的坐标是(3,1)，求|PA|PF|的最小值解：若设出P点坐标，把|PA|PF|表示出来，再求最值相当困难画出图形，联想双曲线的定义，则可使问题迎刃而解设F为双曲线的左焦点，则|PF|PF|2，|PF|PF|2，|PA|PF|PA|PF|2，原问题转化成了求|PA|PF|的最小值问题，(如图)(|PA|PF|)min|AF|.(|PA|PF|)min(|PA|PF|)min22.