1、数学选修2-2导数及其应用综合测试第卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的.)1、已知函数的图象上一点(1,2)及邻近一点,则等于( )A. B. C. D.2、设则等于( )3、曲线在点处的切线的斜率是( )A. B. C. D.不存在4、如果曲线在点处的切线方程为,那么( )A. B. C. D.不存在5、下列函数在点处没有切线的是( )A. B. C. D.6、函数的的单调递增区间是 ( )A. B. C. D.和7、若函数是定义在R上的可导函数,则是为函数的极值点的( )A.充分不必要条件 B.必要
2、不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8、下列各式中值为1的是 ( )A. B. C. D.9、若函数的图象的顶点在第四象限,则函数的图象是( )10、曲线在点处的切线方程为,则的值分别为 ( )A. B. C. D.11、设函数在上的导函数为,在上的导函数为,若在上,恒成立,则称函数函数在上为“凸函数”.已知当时,在上是“凸函数”.则在上 ( )A.既有极大值,也有极小值 B.既有极大值,也有最小值C.有极大值,没有极小值 D.没有极大值,也没有极小值12、如图,曲线上任一点的切线交轴于,过作垂直于轴于,若的面积为,则与的关系满足 ( )A. B. C. D.第卷(非选择题 共90
3、分)二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上.)13、函数的单调递增区间是_14、曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 .15、已知函数在x=2处取得极值9,则 16、已知函数的图象如图所示,它与直线在原点处相切,此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为,则的值为 .三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)17、(12分)求由曲线及围成的平面图形面积.18、(12分)已知函数的图象关于原点成中心对称.(1)求的值;(2)求的单调区间及极值.19、(12分)某厂生产产品x件的总成本(万元),已知
4、产品单价P(万元)与产品件数x满足:,生产100件这样的产品单价为50万元.(1)设产量为件时,总利润为(万元),求的解析式;(2)产量定为多少件时总利润(万元)最大?并求最大值(精确到1万元).20、(12分)设函数. (1)对于任意实数,恒成立,求的最大值;(2)若方程有且仅有一个实根,求的取值范围. 21、(12分)已知函数,其中(1)若在x=1处取得极值,求a的值; (2)求的单调区间;(3)若的最小值为1,求a的取值范围。 22、(14分)已知函数f(x)=alnx+x2(a为实常数).(1)若,求证:函数f(x)在(1,+)上是增函数; (2)当时,求函数f(x)在1,e上的最小值
5、及相应的x值;(3)若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求实数a的取值范围.参考答案1.D 2.A ,.3.B .4.B 由切线的斜率即5.D 在处不可导.6.C 由得.7.B 如,但不是函数的极值点.8.C .9.A 对称轴为,的图象是斜率为正,在y轴上的截距为负,也即直线过第一、三、四象限.10.A 方程可化为.当时,.又,于是解得11.C 因,对于恒成立.,又当时也成立,有.而,.于是,由得或(舍去),在上递增,在上递减,只有C正确12.D ,根据导数的几何意义,.13. ,令,解得14. 曲线和在它们的交点坐标是(1,1),两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1,它们与轴所
6、围成的三角形的面积是.15.24 ,由已知,解得,16.3 由图知方程有两个相等的实根,于是,有,.又,得.17.解:由,得,又由,得所求平面图形面积为:.18.解:(1)函数f(x)的图象关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数,得=,于是恒成立,解得;(2)由(1)得,令,得,令,得,令,得或.的递减区间为,递增区间为和,.19.解:(1)由题意有解得,总利润=;(2)由(1)得,令,令,得,于是,则,所以当产量定为25时,总利润最大.这时.答:产量定为件时总利润最大,约为万元.20.解:(1) , 因为, 即 恒成立, 所以 , 得,即的最大值为 (2) 因为当时,;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或.21.解:(1)在x=1处取得极值,解得(2) 当时,在区间的单调增区间为当时,由(3)当时,由(2)知,当时,由(2)知,在处取得最小值综上可知,若得最小值为1,则a的取值范围是22.解:(1)当时,当,故函数在上是增函数;(2),当,当时,在上非负(仅当,x=时,),故函数在上是增函数,此时.当时,的最小值为1,相应的x值为1.(3)不等式,可化为., 且等号不能同时取,所以,即,因而(),令(),又,当时,从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,故的最小值为,所以a的取值范围是.
