1、第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.下列语句是真命题的是()A.这是一棵大树B.x+y+z=3C.函数f(x)=x2是单调增函数D.素数不一定是奇数解析选项A和B不是命题,选项C是假命题,2是素数,但不是奇数,故选项D正确.答案D2.命题“若x0,则ln(x+1)0”的否命题是()A.若x0,则ln(x+1)0B.若x0,则ab,则在命题p的逆命题、否命题和逆否命题中,错误命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析原命题p为真,故其逆否命题为真;p的逆命题为假,故其否命题也为假,因此错误命题个数为2.答案C4.(原创题)命题“x
2、0,0”的否定是()A.x0,00,0D.x0,01,条件q:1,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析p:x1,q:1,-10,0,即x1,或x0,于是,由p能推出q,反之不成立.所以p是q充分不必要条件,故选A.答案A6.已知命题p:函数y=loga(x-1)+1的图象恒过定点(2,2);命题q:若函数y=f(x-1)为偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,则下列命题为真命题的是()A.pqB.pqC.pqD.pq解析函数y=loga(x-1)+1的图象可看作把y=logax的图象先向
3、右平移1个单位,再向上平移1个单位得到,而y=logax的图象恒过(1,0),所以函数y=loga(x-1)+1恒过(2,1)点,所以命题p假,则p真;函数f(x-1)为偶函数,则其对称轴为x=0,而函数f(x)的图象是把y=f(x-1)向左平移了1个单位,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,所以命题q假,则命题q真.综上可知,四个选项只有命题pq为真命题.故选B.答案B7.下列命题的否定为假命题的是()A.xR,x2+2x+20B.xR,lg x0,所以xR,x2+2x+20是假命题,其否定为真命题.选项B中,当x10时,lg
4、x1,所以xR,lg x0,若p是真命题,则实数a的取值范围为()A.(-,e)B.(-,eC.(e2,+)D.e2,+)解析因为p是真命题,所以p为假命题,所以x(1,2),有ex-a0,即aex,又y=ex在(1,2)上的最大值为e2,所以ae2.答案D9.已知p:xR,mx2+10,q:xR,x2+mx+10,若pq为假命题,则实数m的取值范围为()A.m2B.m-2C.m-2或m2D.-2m2解析由p:xR,mx2+10,可得m0,可得=m2-40,解得-2m0,a恒成立,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分
5、也不必要条件解析由p:函数f(x)=(x-a)2在(-,1)上是减函数,得a1.所以p:a0,a恒成立,得a2,所以p是q的充分不必要条件.答案A11.(原创题)已知函数f(x)=,设命题p:aR,函数f(x)的值域不可能是(0,+);命题q:aR,使函数f(x)的单调递增区间是(-,-2.那么下列命题为真命题的是()A.pqB.p(q)C.(p)qD.(p)(q)解析当a=0时,f(x)=的值域为(0,+),故命题p为假命题;要使函数f(x)的单调递增区间是(-,-2,只需
6、y=ax2+2x-1的单调递减区间是(-,-2,这时只要满足解得a=,因此命题q为真命题,故(p)q为真.答案C12.(改编题)若“x1”是“不等式2xa-x成立”的必要不充分条件,则实数a的取值范围是()A.a3B.a4D.aa-x,则2x+xa,设f(x)=2x+x,该函数为增函数.由题知2x+xa成立,即f(x)a成立能得到x1,并且反之不成立.因为x1时,f(x)3,所以a3.答案A二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.命题“x0R,sin x0+2cos x0”的否定为.解析因为x0R,sin x0+2cos x0,所以其否定为xR,sin x+
7、2x2cos x.答案xR,sin x+2x2cos x14.已知命题p:若a,bR,则ab=0是a=0的充分条件,命题q:函数y=的定义域是3,+),则“pq”“pq”“p”中是真命题的为.解析依题意知p假,q真,所以“pq”,“p”是真命题.答案pq,p15.(原创题)函数f(x)=有且只有一个零点的充分必要条件是.解析当x0时,x=1是函数的一个零点,要使函数有且只有一个零点,应使函数f(x)在(-,0上没有零点,即-2x+a=0无解,而当x0时,01.答案a0或a116.给出如下四个命题:若“pq”为假命题,则p,q均为假命题
8、;命题“若ab,则2a2b-1”的否命题为“若ab,则22b-1”;“xR,x2+10”的否定是“xR,x2+1B”是“sin Asin B”的充要条件.其中假命题的个数是.解析若“pq”为假命题,则p,q至少有一个为假命题,故是假命题;是真命题;“xR,x2+10”的否定是“xR,x2+1B,则ab,根据正弦定理可得sin Asin B;逆向推理同样成立,故是真命题.故假命题有2个.答案2三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)写出下列命题的逆命题、否命题以及逆否命题:(1)若-=,则sin =cos ;(2)已知a,b,c,d为实数,若ab,cd,则a+cb+d.解
9、(1)逆命题:若sin =cos ,则-=;否命题:若-,则sin cos ;逆否命题:若sin cos ,则-.(2)逆命题:已知a,b,c,d为实数,若a+cb+d,则ab,cd;否命题:已知a,b,c,d为实数,若a=b或c=d,则a+c=b+d;逆否命题:已知a,b,c,d为实数,若a+c=b+d,则a=b或c=d.18.(本小题满分12分)已知命题p:xR,使得4x2+(a-2)x+0,命题q:a2-7a+100,若命题p为假,命题q为真,求a的取值范围.解因为命题p为假,所以其否定:xR,4x2+(a-2)x+0恒成立为真,则=(a-2)2-44=a2-4a0,所以0a4,又由命题
10、q为真得2a5,所以a2,4).19.(本小题满分12分)已知命题:“x(-1,1),使等式x2-x-m=0成立”是真命题.(1)求实数m的取值集合M; (2)设不等式(x-a)(x+a-2)1时,a2-a,此时集合N=x|2-ax;当a1时,a2-a,此时集合N=x|ax2-a,则解得a或a0),求曲线C在x轴上所截线段长度为1的充要条件,并证明.解所求的充要条件是G2-4F=1.(1)必要性:令y=0,则x2+Gx+F=0.设x1,x2为此方程的根,若|x1-x2|=1,则G2-4F=1.(2)充分性:若G2-4F=1,x2+Gx+F=0有两根为x1,x2,且x1+x2=-G,x1x2=F
11、,|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2=G2-4F=1.21.(本小题满分12分)已知命题p:x2-3x+20,命题q:x2-2x+1-m20(m0).(1)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围;(2)若m=4,pq为真命题,pq为假命题,求实数x的取值范围.解(1)对于p:已知x2-3x+20,(x-1)(x-2)0,即1x2,x的取值范围为A=1,2,对于q:已知x2-2x+1-m20(m0),x-(1-m)x-(1+m)0,x的取值范围为B=1-m,1+m,p是q的充分条件,AB,即m1,+);(2)若p为真命题,则1x2;若q为真命题,则-3x5,pq为真命题,pq为假命题
12、,p,q一真一假.若p真q假,则此时无解;若p假q真,则即-3x1,或22+mx恒成立.(1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(2)若pq为假,pq为真,求实数m的取值范围.解(1)令f(x)=lo(x+1),则f(x)在(-1,+)上为减函数,因为x0,8,所以当x=8时,f(x)min=f(8)=-2,不等式lo(x+1)m2-3m恒成立,等价于-2m2-3m,解得1m2,故命题p为真命题时,实数m的取值范围为1,2.(2)若命题q为真命题,则m2x-+1,对x(-,-1)上恒成立,令g(x)=2x-+1,因为g(x)在x(-,-1)上为单调递增函数,则g(x)2.综上m的取值范围为(2,+).
