1、安徽省名校2020-2021学年高二数学下学期5月第二次联考试题 理（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分每小题的四个选项中，只有一项是正确的）1已知集合，则（ ）A B C D2已知复数x满足，则复数z的虚部为（ ）A B C D.13抛物线的焦点坐标为（ ）A B C D4设曲线在处的切线为，则实数（ ）A B2 C1 D5如图是某校调查高一年级文理分科男女生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢理科的频率假设参加调查的男生有600人，女生有400人，现从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为（ ）A8
2、B12 C16 D246函数的图像如图所示，则函数的解析式为（ ）A BC D7设函数在上可导，且为奇函数，则（ ）A B C D8已知幂函数的图像关于原点对称，则满足成立的实数a的取值范围为（ ）A B C D9设，已知，则a，b，c的大小关系为（ ）A B C D10已知且则的值为（ ）A BC D11如图，正方体的棱长为2，点O为下底面的中心，点E在棱上运动，则下列四个结论：；当点E运动到B处时，平面；四棱锥的体积不变；的最小值为；其中正确结论的个数是（ ）A4个 B3个 C2个 D1个12过圆内一点做直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（ ）A
3、B C D 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13已知单位向量、互相垂直，则向量的模为_14设各项为正的等比数列的首项为1，且，成等差数列，则_15如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形，则三棱锥的外接球的表面积为_16已知是双曲线的左右焦点，过点斜率为的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B若点在线段的垂直平分线上，则双曲线C的离心率为_三解答题（共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本题满分10分）锐角中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知（1）求角C的大小；（2）若，求的面积18（本题满分12分）已知数列是各项为正的等差数列，数列为等比数列，
4、设数列的前n项和为，且（1）求数列和的通项公式；（2）设数列的前n项和为，且，求19（本题满分12分）2020年初的新冠疫情对零售业造成严重冲击，随着疫情逐步得到控制，各地经济逐渐得到恢复，以下是某地一超市2020年6月某星期的营业收入统计情况星期：x12345营业收入：y（单位；万元）57.5910.513（1）根据数据可知y与x之间存在较强线性关系，求出y关于x的线性回归方程；（2）该超市为鼓励员工努力工作，制定如下奖励方案：若当天营业收入达到或超过8万元，则当天上班的每一位员工可获得一个50元的红包，若当天营业收人达到或超过12万元，则当天上班的每一位员工可获得一个100元的红包假设某员
5、工这5天中上了3天班，每天上班的可能性都一样，求该员工5天中获得红包奖励不少于100元的概率附：20.（本题满分12分）如图，已知是正四棱锥，其所有棱长均为2，过点P作，且，连接，.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值21（本题满分12分）已知椭圆的长轴长为，且经过点（1）求C的方程；（2）过点斜率互为相反数的两条直线，分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）求证：直线过定点，并求定点的坐标22（本题满分12分）已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）设时，函数的图象始终在x轴的上方，求实数a的取值范围安徽名校20202021学年下期第二次联考高二数学（理）
6、参考答案一选择题（共12小题，每小题5分，共60分每小题的四个选项中，只有一项是正确的）题号123456789101112答案BCBCBACDABBA1B 【解析】因为，所以，又因为，所以2C 【解析】，虚部为3C 【解析】把抛物线化为标准方程，所以焦点坐标为4C 【解析】由题意得：，所以，解得5B 【解析】由图得喜欢理科的男生人数为人，喜欢理科的女生人，男女生人数之比为，所以从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为6A 【解析】由图可知，所以又，所以，所以7C 【解析】因为为奇函数，所以8D 【解析】由题意得：，得或当时，图像关于y轴对称，不成立；当时，是奇函数，
7、成立；所以不等式转化为，解得9A 【解析】因为，所以，于是，因为，所以，综上可得10B 【解析】因为，又所，又，所以11B 【解析】对于，因为，则，故错误；对于，设，则，故正确；对于，因为平面，所以点E到平面的距离不变，故正确；对于，如图展开图中，当，E，C共线时，有最小值为，故正确12A 【解析】设，则以为直径的圆，即 因为是圆O的切线，所以，所以A，B在圆M上，所以是圆O与圆M的公共弦，又因为圆 ，所以由-得直线的方程为：，又点满足直线方程，所以，即二填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13 【解析】因为14 【解析】设的公比为q，则，即，（舍去）或所以15 【解析】如图，设三棱锥的外
8、接球球心为O，半径为R，为的外接圆圆心，因为边长为2的正三角形，所以，因为底面，所以，所以，所以外接球表面积为16 【解析】设，则过作，则如图：在中，在中，解得三解答题（共6小题，共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）（1）由得，整理得，因为是锐角三角形，所以，所以，所以， 5分（2）由余弦定理得：，即，即，解得或（舍），所以 10分18【解析】 （1）设正项等差数列的公差为d，则由，得，解得（舍）或，所以，即， 3分设等比数列的公比为q，则由，得，解得，所以，综上所述， 6分（2）由（1）得， 7分所以， 8分两式相减得：所以， 12分19【解析】 （1）由条件得y关于x的线性回归方
9、程：， 6分（2）设事件A：“红包奖励不少于100元”，则5天中上了3天班有，共10种事件A包含，共8种所以， 12分20【解析】 （1）证明：设，取中点为E，又O为中点，所以，且，又由条件知，所以，且，所以四边形为平行四边形，从而，又为正四棱锥，故平面，所以平面，因为平面，所以平面平面， 6分（2）由题意知为正方形，所以，如图，以点O为坐标原点，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，则，取，得平面的一个法向量为， 9分由（1）易得平面，又因为所以平面的一个法向量为， 10分所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为 12分21【解析】 （1）由题意得，得，所以椭圆方程为：，将代入椭圆方程得：，解得，故椭圆C的方程为 4分（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得设A，B的坐标分别为，则，且，因为直线，斜率互为相反数，即，所以，则，即，即，所以，化简得，所以直线的方程为，故直线过定点 12分22【解析】 （1）当时，函数，所以所以所以，时，增区间是，减区间是时，减区间是，无增区间；时，增区间是，减区间是， 6分（2）由函数的图像始终在x轴的上方，可得：即，所以，可得：所以恒成立，令所以在区间上单调递增，上单调递，所以，所以，综上可得，实数a的取值范围为 12分
