1、陕西省咸阳市武功县普集高级中学2021届高三数学上学期第3次月考试题 理（含解析）出题范围：集合，函数，导数，三角函数，平面向量，数列，不等式，立体几何考试时间：120分钟 试题分值：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）A. B. C. D. C分析：联立，解方程组，即可求出与的交点个数，即中元素的个数.解答：联立，解得或.即与相交于两点，故中有两个元素.故选：C点拨：本题考查集合的元素个数，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2. 复数满足，则（ ）A. B. C. D. 2C分
2、析：先由条件有，求出复数，再求复数模.解答：由，则所以故选：C点拨：本题考查复数的运算，复数的模，是基础题.3. 已知，则的值是（ ）A. B. C. D. D分析：利用同角三角函数的基本关系可得，进而可求解.解答：由，得，则.故选：D点拨：本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了基本运算能力，属于基础题.4. 在等差数列中，已知，则该数列前2019项的和等于（ ）A. 2019B. 2020C. 4040D. 4042A分析：直接利用等差数列的前n项和公式求.解答：由题得.故选：A5. 已知，则A. B. C. D. B分析：运用中间量比较，运用中间量比较解答：则故选B点拨：本题考查指数和对
3、数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题6. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为A. B. C. D. B分析：本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角解答：因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B点拨：对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为7. 若变量满足约束条件则的最大值为（ ）A. 1B. 3C. D. 5C分析：直接根据约束条件表
4、示的平面区域为以为顶点的三角形区域(包含边界)，将三个顶点与原点连线的斜率求出，进行比较即可得到答案。解答：不等式组表示平面区域是以为顶点的三角形区域(包含边界).表示平面区域内的点与原点的连线的斜率，由题意得点与原点的连线斜率最大，即的最大值为故选：C点拨：本题考查线性约束条件下，求斜率型目标函数的最值，考查数形结合思想和运算求解能力。8. 如图所示，矩形OABC是水平放置一个平面图形的直观图，其中OA=6，OC=2，则原图形是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四边形C解答：将直观图还原得平行四边形OABC，则ODOC2(cm)，OD2OD4(cm)，CDOC2(cm)，C
5、D2(cm)，OC6(cm)，OAOA6(cm)OC，故原图形为菱形9. 若关于x的不等式 的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是( )A. (3,4)B. (2,1) (3,4)C. (3,4D. 2,1) (3,4D分析：把不等式化为 ,讨论时，分别求出不等式的解集,再根据不等式的解集中恰有两个整数，求出的取值范围.解答：原不等式可化为.当时，由可得，若原不等式的解集中恰有两个整数，则这两个整数为2，3，此时；当时，原不等式的解集为空集，不合题意；当时，由可得，若原不等式的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，此时.综上，实数的取值范围是，故选D.点拨：本题主要考查一元二次不等式的解法
6、、分类讨论思想的应用，属于中档题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.10. 九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A. B. C. D. B分析：依题意画出直观图，求出外接球的直径，即可得解
7、；解答：解：如图所示，该几何体为四棱锥底面为矩形，其中底面，则该阳马的外接球的直径为该阳马的外接球的体积：故选：11. 形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）(参考数据: lg20.3010 )A. 9B. 10C. 11D. 12B分析：,设,两边取常用对数估算的位数即可.解答：,设，则两边取常用对数得.，故的位数是10，故选：B点拨：解决对数运算问题的常用方法：(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简(2)将同底对数的和、差、倍合并(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，
8、要注意换底公式的正用、逆用及变形应用(4)利用常用对数中的简化计算.12. 已知函数，则（）的图象上关于坐标原点对称的点共有（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对C分析：把问题转化为两个函数图像交点的个数问题.解答：由题意得的图象上关于原点对称的点的对数等价于函数与 的图像在上的交点的个数，在平面直角坐标系内画出两函数在 上的图像如图所示：由图得两函数图象有两个不同的交点， 的图像上关于原点对称的点共有2对故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数（）在处取得最小值，则a等于_.3分析：将化成，使，然后利用基本不等式可求出最小值，注意等号成立的条件，可求出
9、的值解答：解：当时，即时等号成立处取最小值，故答案为：3点拨：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误14. _解答：因，而，应填答案15. 已知数列的前n项和，其中，则_.分析：在中令得到，再由，得到，进一步说明是等比数列，再由等比数列的通项公式运算即可.解答：由题意得，所以，又，故，.由，得，即.由，得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是故答案为：点拨：关键点睛：已知与的关系求通项时要注意与的 下标及n的范围区别.16. 以下命题中（1）若a，b是两条直线，且，那么a平行于经过
10、b的任何平面（2）若直线a和平面满足，那么a与内的任何直线平行（3）平行于同一条直线的两个平面平行（4）若直线a，b和平面满足，则正确的是_.（4）分析：由线面平行的判断和平面的基本性质可判断；由线面平行的定义可判断；由面面的位置关系可判断；由线面平行的性质和判定，可判断解答：解：若，是两条直线，且，那么平行于经过的平面或，在一个平面内，故（1）错；若直线和平面满足，那么与内的直线平行或异面，故（2）错；平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故（3）错；若直线，和平面满足，过的平面与的交线，可得，又，则，故（4）对故答案为：（4）三、解答题：共70分.17题分值为10分，18-22分值为12分
11、，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 中，角A，B,C的对边分别是且满足（1）求角B的大小；（2）若的面积为为且，求的值；(1). ac解答：试题分析：（1）又A+B+C=，即C+B=-A，sin（C+B）=sin（-A）=sinA，将（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在ABC中，0A，sinA0，cosB=，又0B，则；（2）ABC的面积为，sinB=sin=，S=acsinB=ac=，ac=3，又b=，cosB=cos=，由
12、余弦定理b2=a2+c2-2accosB得：a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=（a+c）2-9=3，（a+c）2=12，则a+c=考点：考查主要考查正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值点评：中档题，本题综合考查了正弦、余弦定理的应用，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值其中（2）将sinB及已知面积代入求出ac的值，利用余弦定理得到b2=a2+c2-2accosB，再利用完全平方公式整理后，按整体思想求出a+c的值18. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2
13、）设，数列前项和，求使成立的最大正整数的值.，；分析：（1）利用得到，解出可得通项公式（2）利用裂项相消法求后解不等式可得最大正整数的值解答：（1）由题意知，即，解得，故，（2）由，得， ，由，解得故所求的最大正整数为5点拨：数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19. 设函数，且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，()求的值；()求在区间上的最大值和最小值.()()，.解答：试题分析：（1）本
14、小题中的函数是常考的一种形式，先用降幂公式把化为一次形式，但角变为，再运用辅助角公式化为形式，又由对称中心到最近的对称轴距离为，可知此函数的周期为，从而利用周期公式易求出；（2）本小题在前小题的函数的基础上进行完成，因此用换元法只需令，利用求出u的范围，结合正弦函数图像即可找到函数的最值.试题解析：（1）因为图象的一个对称中心到最近的对称轴距离为，又，所以，因此.（2）由（1）知当时，所以，因此故在区间上的最大值和最小值分别为考点：降幂公式，辅助角公式，周期公式，换元法，正弦函数图像，化归思想.20. 已知函数，（）（1）若函数的值域为，求x的取值范围；（2）若函数在上单调递减，求a的取值范围
15、（1）；（2）分析】（1）由，解不等式即可；（2）由h(x)在1，4上单调递减，可得当x1，4时，恒成立，则恒成立，构造函数，求出其最大值即可解答：（1）因为函数值域为，所以，得 ；（2）h(x)ln xax22x，x0. h(x)ax2，由h(x)在1，4上单调递减，当x1，4时，恒成立，则恒成立，设，所以aG(x)max又，x1，4，因为x1，4，所以，所以G(x)max(此时x4)，所以a，又当a时，x1，4， ，当且仅当x4时等号成立，h(x)在1，4上为减函数，故实数a的取值范围是点拨：方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：（1）函数法：讨论参数范围，借助函
16、数单调性求解；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解21. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F.（1）详见解析（2）详见解析解答：试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需
17、要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.试题解析：证明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，所以，于是，又因为DE平面平面，所以直线DE/平面.（2）在直三棱柱中，因为平面，所以，又因为，所以平面.因为平面，所以.又因为，所以.因为直线，所以【考点】直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系【名师点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直；（4）证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.22. 设函
18、数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.（），；（2）的单调递增区间为.解答：试题分析：（）根据题意求出，根据求a,b的值即可；（）由题意判断的符号，即判断的单调性，知g(x)0，即0，由此求得f(x)的单调区间.试题解析：（）因为，所以.依题设，即解得.（）由（）知.由及知，与同号.令，则.所以，当时，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增.故是在区间上的最小值，从而.综上可知，.故的单调递增区间为.【考点】导数的应用；运算求解能力【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点
