1、陕西省咸阳市高新一中2021届高三数学上学期第三次质量检测试题 理（含解析）一、选择题1. 若集合A=x|-1x2，xN，集合B=2，3，则AB等于（ ）A. -1，0，1，2，3B. 0，1，2，3C. 1，2，3D. 2【答案】B【解析】【分析】根据并集的定义，即可得出结果.【详解】因为集合A=x|-1x2，xN，集合B=2，3,即集合A=0,1,2，所以AB=0，1，2，3.故选：B.【点睛】本题考查并集的定义及运算，属于基础题.2. 向量，满足条件，则A. B. C. D. 【答案】C【解析】向量，则， 故解得.故答案为：C。3. 设是等差数列的前项和，已知，则等于（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】C【解析】试题分析：依题意有，解得，所以.考点：等差数列的基本概念.【易错点晴】本题主要考查等差数列的基本概念. 在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为和等基本量，通过建立方程(组)获得解即等差数列的通项公式及前项和公式，共涉及五个量，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量、，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算4. 若向量，相互垂直，则的最小值为（ ）A. 6B. C. D. 12【答案】A【解析】【分
3、析】首先利用向量互相垂直，求得，再利用基本不等式求最小值.【详解】因为，所以，即，所以则，当且仅当，取等号，所以最小值为6，故选：A【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5. 设、分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为（ ）A.
4、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题首先可根据线段的中点在轴上得出轴，然后根据得出，再然后根据得出，最后根据以及即可得出结果.【详解】设点坐标为，因为线段的中点在轴上，所以，点与横坐标相等，轴，因为，所以，因为，所以，则，化简得，故，故选：A.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，考查中点性质的应用，能否根据题意得出轴是解决本题的关键，考查椭圆定义的应用，椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，考查计算能力，是中档题.6. 已知曲线，则下列说法正确的是（ ）A. 把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲线B. 把上各点横坐标伸长到原来的倍，再把得到的曲线向右平移，得到曲
5、线C. 把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线D. 把向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，得到曲线【答案】B【解析】对于，对于,对于，,对于，故选B.【方法点晴】本题主要考查诱导公式、函数三角函数函数图象的性质及变换，属于中档题.函数图象的确定除了可以直接描点画出外，还常常利用基本初等函数图象经过“平移变换”“翻折变换”“对称变换”“伸缩变换”得到，在变换过程中一定要注意变换顺序.本题是先对函数图象经过“放缩变换”再“平移变换”后，根据诱导公式化简得到的.7. 九章算术卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍
6、：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为丈），那么该刍甍的体积为（ ）A. 立方丈B. 立方丈C. 立方丈D. 立方丈【答案】B【解析】由已知可将刍甍切割成一个三棱柱和一个四棱锥，三棱柱的体积为3，四棱锥的体积为2，则刍甍的体积为5.故选B.8. 曲线上一动点处的切线斜率的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：当且仅当时，即时，时，斜率考点：1、切线的斜率；2、求导运算；3、基本不等式9. 已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上，若，则球的直径为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为三棱柱ABCA1B1C1的
7、6个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，ABC的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC，其中点是球心，即侧面B1BCC1，经过球球心，球的直径是侧面B1BCC1的对角线的长，因AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，所以球的直径为：13故答案为：A10. 设满足约束条件，若目标函数的取值范围恰好是 的一个单调递增区间，则的一个值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：则z的几何意义为区域内的点D（2，0）的斜率，由图象知DB的斜率最小，DA的斜率最大，
8、由 ，即A（1，2），则DA的斜率kDA=2，由 即B（1，2），则DB的斜率kDB=-2，则2z2，故的取值范围是2，2，故2，2是函数的一个单增区间，故 故得到答案为C点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形11. 已知、是双曲线的左右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为
9、直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线=1的渐近线方程为y=x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（xc），与y=x联立，可得交点M（，），点M在以线段F1F2为直径的圆外，|OM|OF2|，即有+c2，3，即b23a2，c2a23a2，即c2a则e=2双曲线离心率的取值范围是（2，+）故选A点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12
10、. 对于函数和，设，若存在、，使得，则称与互为“零点关联函数”若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求得函数的零点为，进而可得的零点满足，由二次函数的图象与性质即可得解.【详解】由题意，函数单调递增，且，所以函数的零点为，设的零点为，则，则，由于必过点，故要使其零点在区间上，则或，即或，所以，故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是将题目条件转化为函数零点的范围，再由二次函数的图象与性质即可得解.二、填空题13. 曲线与轴围成的平面图形面积为_【答案】2【解析】【分析】直接利用定积分表示曲边梯形的面积.【详解】由图可知，
11、曲线与轴围成平面图形面积 故答案为：214. 有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说“是乙或丙获奖.”乙说：“甲、丙都未获奖.”丙说：“我获奖了”.丁说：“是乙获奖.”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是_【答案】丙【解析】若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，可知获奖的歌手是丙考点：反证法在推理中的应用.15. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是_若，则或.若，则或.若，则或与相交.若，则或.【答案】【解析】若lm，m，则l或 l，故错；由面面垂直的性质定理知，若l，则l或 l，故对；若l，m，则lm或
12、 l与m相交，或l与m异面，故错；若l，则l或 l或l或l，或l与相交故错故答案为16. 在平面直角坐标系中，已知点P是函数的图象上的动点，该图象在P处的切线交y轴于点M，过点P作的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是_【答案】【解析】设切点，因，故切线的斜率，切线的方程为，令得；过点与切线垂直的直线方程为，令得，则中点的纵坐标为，因，故当时，函数单调递增；故当时，函数单调递减，故当时，函数，应填答案点睛：解答本题的关键是如何建构以切点的横坐标为变量的函数求解时先设切点坐标为切点，然后再依据题设条件建立关于线段的中点的纵坐标为的目标函数，最后再运用导数的知识求函数的最
13、大值，从而使得问题获解三、解答题17. 在中，角所对的边分别为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的面积的最大值.【答案】（1）.（2）.【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化边为角，利用两角和正弦公式可得结果；（2）利用余弦定理以及均值不等式求的面积的最大值.试题解析：（）由，及正弦定理可得,所以，又，所以,故.（）由余弦定理及（）得，由基本不等式得：,当且仅当时等号成立，所以所以点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转
14、化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 设数列的前n项和为.已知.（）求的通项公式；（）若数列满足，求的前n项和.【答案】（）; （）.【解析】【分析】（）利用数列前项和与通项的关系求解；（）结合第（）问的结果，利用关系式求出数列的通项公式，并结合其通项的结构特征，采用错位相减法求其前n项和.【详解】（）因为，所以，故当时，此时，即所以，（）因为，所以，当时，所以，当时，所以，两式相减，得所以，经检验，时也适合，综上可得：.【点睛】本题考查数列前项和与通项的关系，特殊数列的求和问题，关键在于运用错位相减法进行数列求和，注意考虑的
15、情况，属于中档题.19. 在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，且是的中点.（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值的大小.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】试题分析：（1）取AD的中点N，连接MN、NF由三角形中位线定理，结合已知条件，证出四边形MNFE为平行四边形，从而得到EMFN，结合线面平行的判定定理，证出EM平面ADF；（2）求出平面ADF、平面BDF的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角的大小.解析：（1）解法一：取的中点，连接.在中，是的中点，是的中点，所以，又因为，所以且.所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面平面，故平面.解法二：因为平面，故以为原点
16、，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，设平面的一个法向量是.由得令，则.又因为，所以，又平面，故平面.（2）由（1）可知平面的一个法向量是.易得平面的一个法向量是所以，又二面角为锐角，故二面角的余弦值大小为.【详解】20. 已知抛物线的准线与轴交于点，过点作圆的两条切线，切点为，且.(1)求抛物线的方程；(2)若直线是过定点的一条直线，且与抛物线交于两点，过定点作的垂线与抛物线交于两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，设与轴交于点，计算出 ，求出|CK|=6,最后求出p的值即得抛物线E的方程. (2)第(2)问，设直线的方程为，先根据条件求出
17、四边形面积表达式,再换元利用二次函数求函数的最小值.试题解析：（1）由已知得设与轴交于点，由圆的对称性可知， .于是，所以，所以，所以.故抛物线的方程为.（2）设直线的方程为，设，联立得，则. 设，同理得，则四边形的面积 令，则是关于的增函数，故，当且仅当时取得最小值.点睛：本题的难点在于计算出后，如何求这个复杂函数的值域.这里主要是通过观察发现，这个代数式导致函数比较复杂，所以可以考虑换元，再利用二次函数和复合函数的性质求函数的最小值.换元法是高中数学解题中常用的一种技巧，大家要理解掌握和灵活运用.21. 已知函数，记.（1）求证：在区间内有且仅有一个实数；（2）用表示中的最小值，设函数，若
18、方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为.求证：.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过解关于导函数的不等式，得到函数的单调性，结合零点存在定理证出结论即可；（2）问题转化为证明x1+x22x0，根据m（x）在（x0，+）上递减，即证明m（m2）m（2x0x1），根据函数的单调性证明即可解析：（1），定义域为，当时，在上单调递增，又，而在上连续，根据零点存在定理可得：在区间有且仅有一个实根.（2）当时，而，故此时有，由（1）知，在上单调递增，有为在内的实根，所以，故当时，即；当时，即.因而，当时，因而在上递增；当时，因而在上递减；若方程在有两不等
19、实根，则满足要证：，即证：，即证：，而在上递减，即证：，又因为，即证：，即证：记，由得：.，则，当时，；当时，.故，所以当时，,因此，即在递增.从而当时，即，故得证.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分选修4-4：坐标系与参数方程选修4-4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系中，直线的参数方程
20、为（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为.（1）求圆的直角坐标方程；（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标方程的转化，可直接求解，并将圆的一般方程化为标准方程即可.（2）将直线参数方程代入圆的方程，可得关于的一元二次方程.根据参数方程的几何意义，即可求得.【详解】（1）由，等式两边同时乘以，可得.，即.（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程.得，即.由于，故可设，是方程的两实根，所以.又直线过点，故由上式及的几何意义得.【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义及线段关系求法，属于中档题.选修45：不等式选讲23. 已知，函数的最小值为4（1）求的值；（2）求的最小值【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）首先根据函数含绝对值的三角不等式求函数的最小值，同时求出的值；（2）构造柯西不等式，利用求的最小值【详解】（1）因为，当且仅当时，等号成立又，所以，所以的最小值为又已知的最小值为4，所以（2）由（1）知，由柯西不等式得，即当且仅当，即，时等号成立故的最小值为【点睛】方法点睛：求含绝对值的函数最值时，常用的方法有：1.利用绝对值的几何意义；2.利用绝对值三角不等式，即；3.利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值
