1、1设函数f(x)sin (x)2sin2(0)，已知函数f(x)的图象的相邻对称轴的距离为.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c(其中bc)且f(A)，ABC的面积为S6，a2，求b，c的值解(1)f(x)sin xcos x1cos xsin xcos x1sin (x)1.函数f(x)的图象的相邻两对称轴间的距离为.函数f(x)的周期为2.1.函数f(x)的解析式为f(x)sin (x)1.(2)由f(A)，得sin (A).又A(0，)，A.Sbcsin A6.bcsin 6，bc24.由余弦定理，得a2(2)2b2c22bccos b2c
2、224.b2c252.又bc，解得b4，c6.2为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为123，其中第2小组的频数为12.(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选3人，设X表示体重超过55千克的学生人数，求X的数学期望解(1)设该校随机抽查的部分男生的总人数为n，前3个小组的频率分别为P1、P2、P3，则解得因为P20.25，所以n48.(2)由(1)可得，一个男生体重超过55千克的概率为PP3(0
3、.037 50.012 5)5.所以XB(3，)，所以P(Xk)C()k()3k，k0,1,2,3.随机变量X的分布列为(可不写)：X0123P则E(X)0123.(或：E(X)3)3已知数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tnb1b2bn，求Tn.解(1)Sn，nN*，当n1时，S1，a11.由得，2an2(SnSn1)aaanan1，(anan1)(anan11)0，anan10，anan11(n2)，数列an是等差数列，ann.(2)由(1)知Sn，bn，Tn，2Tn1，两式相减，得3Tn1，Tnn.4已知斜三棱柱ABCA1B
4、1C1中，BCA90，AA1ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.(1)求证：BA1AC1；(2)求二面角AA1BC的余弦值(1)证明取AB的中点E，连接DE，则DEBC.BCAC，DEAC.A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，A1D平面ABC.分别以DE，DC，DA1所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，)，C1(0,2，)，(0,3，)，(2，1，)0，BA1AC1.(2)解设平面A1AB的法向量为n(x1，y1，z1)(0,1，)，(2,2,0)，由得，令z11，得x1，y1
5、，n(，1)设平面A1BC的法向量为m(x2，y2，z2)(0，1，)，(2,0,0)，由得令z21，得y2，m(0，1)故cos m，n.易知二面角AA1BC为锐二面角，二面角AA1BC的余弦值为.5已知点P(1，)在椭圆C：1(ab0)上，过椭圆C的右焦点F2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点(1)求椭圆C的方程；(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，W.试判断W是否为定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由解(1)椭圆C的右焦点坐标为(1,0)，c1，椭圆C的左焦点坐标为(1,0)，可得2a4，解得a2，b2a2c2413，椭圆C的标准方程为1.(2)当
6、直线斜率不存在时，|AB|2(2b)24b2，|MN|，W2a4.当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)(k0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)由得，(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，|MN|x1x2|.设直线AB的方程为ykx(k0)，由消去y，并整理得：x2，设A(x3，y3)，B(x4，y4)，则|AB|x3x4|4，W4.由可得，W为定值4.综上所述，W为定值1.6已知函数f(x)axbxln x，其图象经过点(1,1)，且在(e，f(e)处的切线斜率为3(e为自然对数的底数)(1)求实数a、b的值；(2)若kZ，且k对任意x1恒成立，求k的最大值
7、；(3)证明：2ln 23ln 3nln n(n1)2(nN*，n1)(1)解因为f(1)1，所以a1，此时f(x)xbxln x，f(x)1b(1ln x)，依题意，f(e)1b(1ln e)3，所以b1.(2)解由(1)知：f(x)xxln x，当x1时，设g(x)，则g(x).设h(x)x2ln x，则h(x)10，h(x)在(1，)上是增函数因为h(3)1ln 30，h(4)2ln 40，所以，存在x0(3,4)，使h(x0)0.当x(1，x0)时，h(x)0，g(x)0，即g(x)在(1，x0)上为减函数；同理g(x)在(x0，)上为增函数，从而g(x)的最小值为g(x0)x0，因为x0(3,4)，所以k的最大值为3.(3)证明由(2)知，当x1时，3，所以f(x)3x3，即xxln x3x3，xln x2x3，所以2ln 23ln 3nln n(223)(233)(2n3)2(23n)3(n1)23n3n22n1(n1)2(nN*，n1).
