1、二面角练习课 教学目标1使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；2使学生掌握求二面角平面角的基本方法，不断提高分析问题和解决问题的能力教学重点和难点重点：使学生能够作出二面角的平面角；难点：根据题目的条件，作出二面角的平面角教学设计过程重温二面角的平面角的定义（本节课设计的出发点：空间图形的位置关系是立体几何的重要内容解决立体几何问题的关键在于做好：定性分析，定位作图，定量计算，其中定性是定位、定量的基础，而定量则是定位，定性的深化在面面关系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量归结为平面上角的度量，一般说来，对其平面角的定位是问题解决的关键一步可是学生往往把握不住其定位的基本思路而
2、导致思维混乱，甚至错误地定位，使问题的解决徒劳无益这正是本节课要解决的问题）教师：二面角是怎样定义的？学生：从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角教师：二面角的平面角是怎样定义的？学生：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角教师：请同学们看下图如图1：，是由l出发的两个半平面，O是l上任意一点，OC ，且OCl；OD ，且ODl这就是二面角的平面角的环境背景，即COD是二面角-l-的平面角从中我们可以得到下列特征：（1）过棱上任意一点，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面与其两个半平面均垂直；另外，如果在OC上任取一
3、点A，作ABOD，垂足为B，那么由特征（2）可知AB突出l，OC，OD，AB，这便是另一特征（3）体现出一完整的三垂线定理（或逆定理）的环境背影教师：请同学们对以上特征进行剖析学生：由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成，所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题教师：特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“点”耐人寻味的是这一点可以随便取，但又总是不随便取定的，它必须与问题背影互相沟通，给计算提供方便（上面的引入力争符合练习课教学的特点练习是形成技能的重要途径，练习课主要是训练学生良好的数学技能，同时伴随着巩固知识，发展智能和培育情感特别要注意做到第一，知识的激活激活知识有两个
4、目的，一是突出了知识中的重要因素；二是强化知识中的基本要素第二，思维的调理练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现因此，准备阶段安排一些调理思维的习题，确保学生思维的启动和运作请看下面两道例题）例1 已知：如图2，四面体V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH面ABC，垂足为H，求侧面与底面所成的角的大小分析：由已知条件可知，顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以连结CH交AB于O，且OCAB，由三垂线定理可知，VOAB，则VOC为侧面与底面所成二面角的平面角（图2）正因为此四面体的特性，解决此问题，可以取AB的中点O为其平面角的
5、顶点，而且使得题设背影突出在面VOC上，给进一步定量创造了得天独厚的条件特征（2）指出，如果二面角-l-的棱l垂直某一平面，那么l必垂直与，的交线，而交线所成的角就是-l-的平面角（如图3）由此可见，二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把ABD折起，使点A在平面BCD上的射影A落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题，解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”如果在平面图形中过A作AEBD交BD于O、交BC于E，则折叠后OA，OE与BD的垂直关系不变但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面
6、，此平面必与棱垂直由特征（2）可知，面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角，即为所求二面角的平面角另外，A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上，又题设射影落在BC上，所以E点就是A，这样的定位给下面的定量提供了可能在RtAAO中，AAO=90，通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算，特征（2）从另一角度告诉我们：要确定二面角的平面角，我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”，然后，在棱上选取一适当的垂线段，即可确定其平面角“平面图形”与“立体图形”相映生辉，不仅便于定性、定位，更利于定量特征（3）显示，如果二面角-l-的两个半平面之一，存在垂线段AB，那么过垂足B作l的垂线交
7、l于O，连结AO，由三垂线定理可知OAl；或者由A作l的垂线交l于O，连结OB，由三垂线定理的逆定理可知OBl此时，AOB就是二面角-l-的平面角（如图6）由此可见，二面角的平面角的定位可以找“垂线段”课堂练习1在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E为BC的中点，求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值练习1的环境背景表明，面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角，由特征（2）可知，这两个二面角的大小必定互补为创造一完整的三垂线定理的环境背景，线段C1D1会让我们眼睛一亮，我们只须由C1（或D1）作B1E的垂线交B1E于O，然后连结OD1（或OC1）即得面D1B1
8、E与面CC1B1E所成二面角的平面角C1OD1，2将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合，则吻合后的几何体呈现几个面？分析：这道题，考生答“7个面”的占99.9，少数应服从多数吗？从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色，它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”事实上，我们只要找到其中一个，另两个就接踵而来掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要本题如果能融合三个特征对思维的监控，可有效地克服、抑制思维的消极作用，培养思维的广阔性和批判性如图9，过两个几何体的高线VP，VQ的垂足P，Q分别作BC的垂线，则垂足重合于O，且O为BC的中点OP延长过A
9、，OQ延长交ED于R，考虑到三垂线定理的环境背影，AOR为二面角A-BC-R的平面角，结合特征（1），（2），可得VAOR为平行四边形，VABE，所以V，A，B，E共面同理V，A，C，D共面所以这道题的正确答案应该是5个面（这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题，或边练边评，或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评，达到练习的目的其间要以学生“练”为主，教师“评”为辅）为了提高“导练”质量，教师要力求解决好三个问题：1设计好练习设计好练习是成功练习的前提如何设计好练习是一门很深的学问，要注意：围绕重点，精选习题；由易到难，呈现题组；形式灵活，题型多变2组织好练习组织练习是“导练”的实质
10、，“导练”就是有指导、有组织的练习过程要通过一题多用、一题多变、一题多解等使学生举一反三，从而提高练习的效果有组织的练习还包括习题的临时增删、节奏的随时控制、要求的适时调整等3讲评好练习讲评一般安排在练习后进行，也可以在练习前或练习时练习前的讲评，目的是唤起学生的注意，提醒学生避免出错起到前馈控制的作用；练习时的讲评，属于即时反馈，即学生练习，教师巡视，从中发现共性问题及时指出来，以引起学生的注意；更多的是练习后的讲评，如果采用题组练习，那么最常用的办法是一组练习完毕后教师讲评，再进行下一组练习，以此类推教师：由例1、例2和课堂练习，我们已经看到二面角的平面角有三个特征，这三个特征互相联系，客
11、观存在，但在许多问题中却表现得含糊而冷漠，三个特征均藏而不露，在这种形势下，需认真探索学生：应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景，有了“垂线段”，便可以定位教师：请大家研究下面的例题例3 如图10，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在AA1上，且A1FFA=12，求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值分析：在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中，没有出现二面角的棱，我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点，则这两个公共点的连线即为二面角的棱，最后借助这条棱作出二面角的平面角略解：如图10在面BB1CC1内，作EHB1C1于H，连结HA1，
12、显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1延长EF，HA1交于G，过G，B1的直线为所求二面角的棱在平面A1B1C1D1内，作HKGB1于K，连EK，则HKE为所求二面角的平面角在平面A1B1C1D1内，作B1LGH于L，利用RtGLB1RtGKH，可求得KH又在RtEKH中，设EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值教师：有时我们也可以不直接作出二面角的平面角，而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小例如我们可以使用平移法由两平面平行的性质可知，若两平行平面同时与第三个平面相交，那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时，可利用此结论平移
13、二面角的某一个面到合适的位置，以便等价地作出该二面角的平面角略解：过F作AB的平行线交BB于G，过G作BC的平行线交BE于H，连FH显见平面FGH平面ABCD则二面角B-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数过G作GMHF，垂足为M，连BM，由三垂线定理知BMHF所以BMG为二面角B-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大小（练习课的一个重要特征是概括解题重要的不是统计做了多少题目，而是是否掌握了一类题的实质，即有无形成基本的解题模式，只有真正掌握了一类问题的解题思路，才算掌握了解答这类题目的基本规律当学生练习到一定程度就应不失时机地引导他们总结和概括出练习的基本经验和教训，获得有
14、意义的练习成果）例4 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线解：因为 ABCD，CD 平面CPD，AB 平面CPD所以 AB平面CPD又 P平面APB，且P平面CPD，因此 平面APB平面CPD=l，且Pl所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角因为 AB平面CPD，AB 平面APB，平面CPD平面APB=l，所以 ABl过P作PEAB，PECD因为 lABCD，因此 PEl，PFl，所以 EPF是二面角B-l-C的平面角因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，因为 E，F分别是AB，CD的中点，所以 EF=BC=a在EFP中，小结：二面角及其平面角的正确而合理的定位，要在正确理解其定义的基础上，掌握其基本特征，并灵活运用它们考察问题的背景我们已经看到，定位是为了定量，求角的大小往往要化归到一个三角形中去解，因此寻找“垂线段”，把问题化归是十分重要的作业1120二面角-l-内有一点P，若P到两个面，的距离分别为3和1，求P到l的距离2正方体ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1为棱，B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数
