1、简解一类“恒成立”高考题定理 (1)若函数在处可导，且时恒成立，则；(2) 若函数在处可导，且时恒成立，则初步感知 若，所以函数在处右侧附近的图像是减函数又函数在处可导，所以同理，可得其他结论也成立严格证明 若，由函数在处可导及导数的定义，得同理，可证得其他结论也成立题1 (1)(2006年高考全国卷II理科第20题)设函数若对所有的，都有成立，求实数的取值范围(2)(2014年高考陕西卷理科第21(2)题)设函数，其中是的导函数.若恒成立，求实数的取值范围解 (1)设，得由定理(1)得，即由导数易证，所以所求实数的取值范围是(2)可得题设即“恒成立”由(1)知，所求答案也为题2 (2007年
2、高考全国卷I理科第20(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围解 同上可求得答案为题3 (2008年高考全国卷II理科第22(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围解 设，得由定理(1)得，即下证当时，只需证： 当且时，欲证成立当且时，得还须证明时，欲证成立即证设，因为用导数易证，所以所以是增函数，得，即欲证成立所以所求实数的取值范围是题4 (2010年高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数，若当时，都有，求的取值范围解 题设即，也即，还即用以上方法可求得答案为题5 (2009年高考陕西卷理科第20(3)题)已知函数，其中.若的最小值为1，求的取值范围解 设，得题设
3、即.由定理(1)得，即当且时，还可证，即证设，得设，得，所以是增函数，得，即是增函数，所以，得欲证成立所以当时，得所求的取值范围是题6 (2013年高考辽宁卷文科第21题)(1)证明：当时，；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围解 (1)略(2)设，得，所以由定理3(1)可得即当且时，还可得：得所求实数的取值范围是题7 (2013年高考辽宁卷理科第21题)已知函数当时：(1)求证：；(2)若求实数的取值范围解 (1)欲证的左边等价于.设，得得，所以当时，恒成立，所以是增函数，得，所以是增函数，得，即欲证成立可得欲证的右边等价于，这用导数极易证得(2)设，得题设即由定理(1)可得即当且时，还
4、可得：设，得用导数可证得在0,1上是减函数，所以，即在0,1上是减函数，所以，进而可得：当时，恒成立得所求实数的取值范围是 题8 (2014年高考北京卷理科第18题)已知函数(1)求证：；(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值解 (1)略(2)设，得(由(1)得)，所以是减函数，得是减函数，所以所求的最大值是设，由题设得恒成立，即用导数易证，即所以所求的最小值是1练习 1.若恒成立，求实数的取值范围2.设R).(1)讨论函数的单调性；(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围.答案：1.2.(1)得.当时，可得恒成立,所以函数在上是增函数.当时，可得函数在上是增函数，在上是减函数.(2)可得题设即恒成立.令,得题设即恒成立.可得函数在附近是减函数，由定理3(1)得.当时，是减函数，所以.所以是减函数,得恒成立.所以所求实数a的取值范围是.
