1、第二节两条直线的位置关系一、教材概念结论性质重现1两条直线的位置关系(1)利用斜率关系判断对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.l1l2k1k2l1l2k1k21特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1l2.当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1l2.(2)利用方程判断l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A2，B2，C2均不为0)，l1l2l1l2A1A2B1B20l1与l2重合特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断(3)两直线相交交点：直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的公共点的坐标与方程组的解一一对应相
2、交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行方程组无解；重合方程组有无数个解(1)与直线AxByC0(A2B20)垂直的直线可设为BxAym0；(2)与直线AxByC0(A2B20)平行的直线可设为AxByn0.2三种距离(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d.(3)两条平行直线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：(1)将方程化为最简的一般形式(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等二、基本技
3、能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1()(3)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为()2两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A B C7 DD解析：由题意知a6，直线3x4y120可化为6x8y240，所以两平行直线之间的距离为.3若直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A2 B3 C2或3 D2或3C解析：若直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则有，故m2或3.4圆(x1)2y22的圆心到直线yx3
4、的距离为()A1 B2 C D2C解析：圆(x1)2y22的圆心坐标为(1,0)由yx3得xy30，则圆心到直线的距离d.5已知P(2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线xy10，则m_.1解析：由题意知1，所以m42m，所以m1.考点1直线的平行与垂直基础性1已知直线l1：(a1)x(a1)y20和l2：(a1)x2y10互相垂直，则a的值为()A1 B0 C1 D2A解析：(方法一)a1时，方程分别化为x10,2y10，此时两条直线相互垂直，因此a1满足题意a1时，由于两条直线相互垂直，可得1，解得a1(舍去)综上a1.(方法二)由l1l2得(a1)(a1)2(a1)0，整理得a22
5、a10，解得a1.2经过两条直线2x3y10和3xy40的交点，并且平行于直线3x4y70的直线方程是_3x4y0解析：联立直线的方程得到两直线的交点坐标.设平行于直线3x4y70的直线方程为3x4yc0，则34c0，解得c，所以直线的方程为3x4y0.3过点的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为_2x4y50解析：设点A，过坐标系原点O作OBl于点B，连接OA，如图，则OB为原点O到直线l的距离在直角三角形AOB中，OA为斜边，所以有OB0且a1)恒过点A(m，n)，则点A到直线xy30的距离为_解析：由题意，可知曲线yax(a0且a1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)所以
6、点A到直线xy30的距离d.2直线l过点P(1,2)且到点A(2,3)和点B(4，5)的距离相等，则直线l的方程为_x3y50或x1解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，解得k.所以直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意(方法二)当ABl时，有kkAB，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过AB的中点时，AB的中点为(1,4)所以直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.考点3对称问题应用性考向1中心对称问题过点P(0,1)作直线l
7、，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点P平分，则直线l的方程为_x4y40解析：设l1与l的交点为A(a,82a)由题意知，点A关于点P的对称点B(a，2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.中心对称问题的解法(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P(x，y)，则(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决考向2轴对称问题(1)直线2xy30关于直线xy20对称的直线方程是()Ax2y30 Bx2y30Cx2y10 Dx2y10A解析：设所求直线上任意一点P(x，
8、y)，点P关于xy20的对称点为P(x0，y0)由得因为点P(x0，y0)在直线2xy30上，所以2(y2)(x2)30，即x2y30.(2)已知点A的坐标为(4,4)，直线l的方程为3xy20，则点A关于直线l的对称点A的坐标为_(2,6)解析：设点A的坐标为(x，y)，由题意可知解得所以点A的坐标为(2,6)轴对称问题的解法(1)若点A(a，b)关于直线AxByC0(B0)的对称点为A(m，n)，则有(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决1直线axy3a10恒过定点N，则直线2x3y60关于点N对称的直线方程为()A2x3y120B2x3y120C2x3y120D2x3y120B解析：由axy3a10可得a(x3)y10.令可得x3，y1，所以N(3，1)设直线2x3y60关于点N对称的直线方程为2x3yc0(c6)，则，解得c12或c6(舍去)故所求直线方程为2x3y120.故选B.2如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是()A2 B6 C3 D2A解析：由题意知直线AB的方程为xy4.设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，则解得即Q(4,2)又P关于y轴的对称点为T(2,0)，所以|QT|2.
