1、第3讲直接证明与间接证明知 识 梳 理1直接证明(1)综合法定义：从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明这样的思维方法称为综合法(2)框图表示：(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)(3)分析法定义：从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等这样的思维方法称为分析法(4)框图表示：.2间接证明(1)反证法定义：在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推
2、出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这种证明方法叫作反证法(2)反证法的证题步骤是：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()感悟提升两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知
3、”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.考点一综合法的应用【例1】 (2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即
4、abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.【训练1】 (1)设a0，b0，ab1，求证：8.(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：3.证明(1)ab1，11222248.当且仅当ab时等号成立(2)a，b，c全不相等，且都大于0与，与，与全不相等，2，2，2，三式相加得6，3，即3.考点二分析法的应用【例2】 已知a0，求证：a2.审题路线从结论出发观察不等式两边的符号移项(把不等式两边都变为正项)平方移项整
5、理平方移项整理可得显然成立的结论证明(1)要证a2，只需要证2a.a0，故只需要证22，即a244a2222，从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证【训练2】 已知m0，a，bR，求证：2.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)即证m(a22ab
6、b2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列规律方法 用反证法证明不等
7、式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数根证明假设三个方程都没有实数根，则a1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题
8、的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的答题模板13反证法在证明题中的应用【典例】 (14分)(2013北京卷)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形规范解答(1)因为四边形OABC为菱形，所
9、以AC与OB相互垂直平分(2分)所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2.(5分)(2)假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240.(7分)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.(9分)因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.(11分)因为k1，所以AC与OB不垂直(13分)所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证
10、法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去答题模板用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.【自主体验】设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l
11、2的交点在椭圆2x2y21上证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，代入k1k220，得k20.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标为.从而2x2y22221，所以l1与l2的交点P(x，y)在椭圆2x2y21上.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014安阳模拟)若ab0，则下列不等式中成立的是_；ab；ba；.解析(特值法)取a2，b1，验证正确答案2用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设_成立解析由反证法的定义得，反设即否定结论答案a，b都
12、不能被5整除3(2014上海模拟)“a”是“对任意正数x，均有x1”的_条件解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案充分不必要4(2014张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是_ab0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)0.解析由题意知ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案5(2014天津模拟)p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小关系为_解析q p.答案pq6下列条件：ab0，ab0，b
13、0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案37已知a，b，m均为正数，且ab，则与的大小关系是_解析，a，b，m0，且ab，ba0，.答案8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填序号)答案二、解答题9若a，b，c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10(2014鹤岗模拟)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前
14、n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1数列Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c_.都大于2；都小于2；至少有
15、一个不大于2；至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案2已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为_解析，又f(x)x在R上是减函数，ff()f.答案ABC3(2014株洲模拟)已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1016，当且仅当a4，b12时等号成立，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，016.答案(0,16二、解答题4是否存在两个等比数列an，bn，使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0
16、的等差数列？若存在，求an，bn的通项公式；若不存在，说明理由证明假设存在两个等比数列an，bn使b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列设an的公比为q1，bn的公比为q2，则b2a2b1q2a1q1，b3a3b1qa1q，b4a4b1qa1q.由b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成等差数列得即q2得a1(q1q2)(q11)20，由a10得q1q2或q11.)当q1q2时，由，得b1a1或q1q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾)当q11时，由，得b10或q21，这时(b2a2)(b1a1)0，与公差不为0矛盾综上所述，不存在两个等比数列an，bn使得b1a1，b2a2，b3a3，b4a4成公差不为0的等差数列.
