1、【新教材】5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 教学设计（人教A版）本节内容是三角恒等变形的基础，是正弦线、和等知识的延伸，同时，它又是两角和、差、倍、等公式的“源头”。两角和与差的正弦、余弦、正切是的重要内容，对于变换、的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有着重要的支撑作用。 课程目标1、能够推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式并能应用; 2、掌握二倍角公式及变形公式，能灵活运用二倍角公式解决有关的化简、求值、证明问题数学学科素养1.数学抽象：两角和与差的正弦、余弦和正切公式； 2.逻辑推理： 运用公式解决基本三角函数式的化简、证明等问题；3.数学运算：运用公式解决基本三
2、角函数式求值问题.4.数学建模：学生体会到一般与特殊，换元等数学思想在三角恒等变换中的作用。. 重点：两角和与差的正弦、余弦、正切公式的探究及公式之间的内在联系； 难点：求值过程中角的范围分析及角的变换. 教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。一、 情景导入我们在初中时就知道，由此我们能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本215-218页，思考并完成以下问题1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式是什么（共六组）？ 2. 二倍角公式是什么？升幂公式是？降幂公式
3、是？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin()sin_cos_cos_sin_；cos()cos_cos_sin_sin_；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2_sin2_2cos2_112sin2_；tan 2.提醒：1必会结论(1)降幂公式：cos2 ，sin2 .(2)升幂公式：1cos 22cos2 ，1cos 22sin2 .(3)公式变形：tan tan tan()(1tan tan )(4)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中
4、sin ，cos .2常见的配角技巧2()()，()，等四、典例分析、举一反三题型一 给角求值例1 利用和（差）角公式计算下列各式的值. 【答案】（1）（2）0（3）.解题技巧：（利用公式求值问题）在利用公式解含有非特殊角的三角函数式的求值问题时,要先把非特殊角转化为特殊角的差(或同一个非特殊角与特殊角的差),利用公式直接化简求值,在转化过程中,充分利用诱导公式,构造出两角差的余弦公式的结构形式,正确地顺用公式或逆用公式求值. 跟踪训练一1.cos 50=() A.cos 70cos 20-sin 70sin 20 B.cos 70sin 20-sin 70cos 20 C.cos 70cos
5、 20+sin 70sin 20 D.cos 70sin 20+sin 70cos 20 【答案】C【解析】cos 50=cos(70-20)=cos 70cos 20+sin 70sin 20. 2.cos512cos6+cos12sin6的值是()A.0 B.12C.22D.32【答案】C【解析】cos512cos6+cos12sin6=cos512cos6+sin512sin6=cos512-6=cos4=22.3.求值：(1)tan75；(2).【答案】（1）2；（2）1.【解析】(1)tan75tan(4530)2.(2)原式tan(6015)tan451.题型二 给值求值例2 【答
6、案】例3 【答案】见解析.解题技巧：(给值求值的解题策略)(1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,适当地拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有: =(-)+;=+2+-2;2=(+)+(-);2=(+)-(-).跟踪训练二1.(1)已知为锐角,sin =35,是第四象限角,cos =45,则sin(+)=.(2)若sin(-)cos +cos(-)sin =35,且2,则tan-34 =.【答案】（1）0；（2）17【解析】 (1)为锐角,sin =35,cos =
7、45.是第四象限角,cos =45,sin =-35.sin(+)=sin cos +cos sin =3545+45-35=0.(2)由已知得sin (-)+=35,即sin =35,又因为2,所以cos =-45,于是tan =-34,故tan-34=tan-tan 341+tantan 34=-34-(-1)1+-34(-1)=17.题型三 给值求角例4已知tan，sin，且，为锐角，求2的值【答案】.【解析】tan1且为锐角，0.又sin且为锐角0，02.由sin，为锐角，得cos，tan.tan().tan(2)1.由可得2.解题技巧：(解决三角函数给值求角问题的方法步骤)(1)给值
8、求角问题的步骤求所求角的某个三角函数值确定所求角的范围(范围讨论得过大或过小，会使求出的角不合题意或漏解)，根据范围找出角(2)选取函数的原则已知正切函数值，选正切函数已知正余弦函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是，选正弦或余弦函数均可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是，选正弦较好 跟踪训练三1.若tan =12,tan =13,且,32,0,2,则+的大小等于()A.4B.54C.74D.94【答案】B .【解析】由已知得tan(+)=tan+tan1-tantan=12+131-1213=1.又因为,32,0,2,所以+(,2),于是+=54.题型四 二倍角公式应用例5 【
9、答案】见解析.解题技巧：(二倍角公式应用)应用二倍角公式化简(求值)的策略:化简求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异跟踪训练四1.(1)已知，sin，则sin2_，cos2_，tan2_；(2)已知sin，0x，求cos2x的值【答案】（1），；（2）.【解析】(1)因为，sin，所以cos，所以sin22sincos2，cos212sin2122，tan2，故填，.(2)因为x，所以x，又因为sin，所以cos，所以cos2xsin2sincos2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、六组公式 例1 例2 二、二倍角公式 例3 例4 七、作业课本228页习题5.5.本节课的教学目标是通过复习,进一步理解两角和与差的正弦、余弦正切公式;利用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行三角函数式的化简、求值;通过复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式,自觉地利用联系变化的观点来分析问题,提高学生分析问题解决问题的能力.教学的重点是两角和与差的正弦、余弦和正切公式的应用.难点是求值过程中角的范围分析及角的变换。
