1、第九章解三角形9.1正弦定理与余弦定理9.1.2余弦定理课后篇巩固提升基础巩固1.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b=3,c=2,cos A=13,则a=()A.5B.7C.4D.3解析由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A=9+4-23213=9,解得a=3.故选D.答案D2.在ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于()A.1B.2C.2D.4解析bcos C+ccos B=ba2+b2-c22ab+cc2+a2-b22ac=2a22a=a=2.答案C3.在ABC中,已知b2=ac且c=2a,则cos B等于()A.14B.34C.24D.23解析
2、因为b2=ac,c=2a,所以b2=2a2,b=2a.所以cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a22a2a=34.答案B4.在ABC中,已知三个内角A,B,C满足sin Asin Bsin C=654,则cos B=()A.916B.34C.5716D.74解析根据正弦定理可知sin Asin Bsin C=abc=654,所以设a=6k,b=5k,c=4k.所以由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=(6k)2+(4k)2-(5k)226k4k=916.故选A.答案A5.已知a,b,c为ABC的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则C的大小为()A.60
3、B.90C.120D.150解析因为(a+b-c)(a+b+c)=ab,所以a2+b2-c2=-ab,即a2+b2-c22ab=-12,所以cos C=-12,所以C=120.答案C6.在ABC中,sin2A2=c-b2c(a,b,c分别为角A,B,C的对应边),则ABC的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形解析因为sin2A2=1-cosA2=c-b2c,所以cos A=bc=b2+c2-a22bca2+b2=c2,符合勾股定理.故ABC为直角三角形.答案B7.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin Asin Bsin C=357,那么这个
4、三角形最大角的度数是()A.135B.90C.120D.150解析因为sin Asin Bsin C=357,设a=3k(k0),则b=5k,c=7k.由大边对大角定理可知,角C是最大角,由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=-12,因为0C0,所以a12,最大边为2a+1.因为三角形为钝角三角形,所以a2+(2a-1)2(2a+1)2,化简得0a2a+1,所以a2,所以2a8.答案(2,8)12.在ABC中,求证:a2-b2c2=sin(A-B)sinC.证明右边=sinAcosB-cosAsinBsinC=sinAsinCcos B-sinBsinCcos A=aca2+c2-b
5、22ac-bcb2+c2-a22bc=a2+c2-b22c2-b2+c2-a22c2=a2-b2c2=左边.所以a2-b2c2=sin(A-B)sinC.能力提升1.在ABC中,已知c=3,b=2,a=10,则()A.cos A=14B.SABC=3154C.cos B=-104D.ABAC=-32解析因为ABAC=|AB|AC|cos ,由向量模的定义和余弦定理可以得出|AB|=3,|AC|=2,则cos =AB2+AC2-BC22ABAC=14,即cos A=14,故A正确;sin A=154,则cos B=32+(10)2-222310=104.故C错误;则SABC=12bcsin A=
6、1223154=3154.故B正确;ABAC=3214=32.故D错误.综上,AB正确.答案AB2.ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.若C=120,c=2a,则()A.abB.ab2,所以ab.故选A.答案A3.在ABC中,已知2A=B+C,且a2=bc,则ABC的形状是()A.两直角边不等的直角三角形B.顶角不等于90或60的等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析解法1:由2A=B+C,知A=60.又cos A=b2+c2-a22bc,所以12=b2+c2-bc2bc.所以b2+c2-2bc=0.即(b-c)2=0,所以b=c.故ABC为等边三角形.解法2:验证四个选
7、项知C成立.答案C4.在ABC中,已知AB=3,BC=13,AC=4,则边AC上的高为()A.322B.332C.32D.33解析如图,在ABC中,BD为AC边上的高,且AB=3,BC=13,AC=4.因为cos A=32+42-(13)2234=12,所以sin A=32.故BD=ABsin A=332=332.答案B5.已知ABC中,A,B,C的对边的长分别为a,b,c,A=120,a=21,ABC的面积为3,则c+b=()A.4.5B.42C.5D.6解析由三角形的面积公式可得SABC=12bcsin A=12bc32=34bc=3,bc=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos
8、A,即b2+c2-24-12=21,得b2+c2=17.所以(b+c)2=b2+c2+2bc=17+24=25,因此,c+b=5.故选C.答案C6.如果将直角三角形的三边都增加1个单位长度,那么新三角形()A.一定是锐角三角形B.一定是钝角三角形C.一定是直角三角形D.形状无法确定解析设原直角三角形C为直角,三边都增加1后 .cos C=(a+1)2+(b+1)2-(c+1)22(a+1)(b+1)=2a+2b-2c+12(a+1)(b+1)0,所以最大角为锐角,所以三角形为锐角三角形.故选A.答案A7.在ABC中,AB=2,AC=6,BC=1+3,AD为边BC上的高,则AD的长是.解析因为c
9、os C=BC2+AC2-AB22BCAC=22,所以sin C=22.所以AD=ACsin C=3.答案38.在ABC中,sin B2=255,AB=5,BC=1,则AC=.解析由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B,又cos B=1-2sin2B2=1-245=-35.故AC2=25+1-251-35=32,所以AC=42.答案429.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=7,c=5,A=600.(1)求cos C;(2)求ABC的面积.分析(1)利用余弦定理可构造方程求得b;利用余弦定理求得cos C;(2)根据三角形面积公式可直接求得结果.解(1)由
10、余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得b2+25-5b=49,解得b=-3(舍)或b=8.故由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=49+64-25278=1114.(2)由(1)得SABC=12bcsin A=1285sin 60=103.10.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=3,a+c=35,sin C=2sin A.(1)求a,c的值;(2)求sin2B+4的值.分析(1)利用正弦定理可得c=2a,从而可求出a,c.(2)利用余弦定理可计算出cos B,再利用同角的三角函数的基本关系式可求sin B,利用二倍角公式可求2B的正弦与余弦,最后利用两角和的正弦公式可求sin2B+4.解(1)由正弦定理csinC=asinA及sin C=2sin A,得c=2a.因为a+c=35,所以a=5,c=25.(2)因为由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以cos B=45.因为B是三角形内角,所以0B,所以sin B=1-cos2B=35,所以sin 2B=2sin Bcos B=2425,cos 2B=2cos2B-1=725,所以sin2B+4=sin 2Bcos 4+cos 2Bsin 4=22sin 2B+22cos 2B=31250.
