1、12.2同角三角函数的基本关系内容标准学科素养1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式2.理解同角三角函数的基本关系式3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明.发展逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第13页基础认识知识点同角三角函数的基本关系式阅读教材P1819，思考并完成以下问题利用三角函数定义：sin y，cos x，tan .可发现sin2与cos2之间、tan 与sin 、cos 间有什么关系？(1)计算sin230cos230，sin290cos290.提示：值都是1.(2)利用三角函数的定义，可得出sin2cos2_提示：x2y21.
2、(3)利用三角函数线，可得出sin2cos2_提示：|PM|2|OM|2|OP|21.(4)利用三角函数定义，可得出tan 与sin 、cos 的关系提示：tan .知识梳理同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21(2)商数关系：tan_(k，kZ)(3)由sin2cos21，可得sin21cos2，cos21sin2(4)由tan 可得sin tan_cos_，cos .自我检测1若sin ，且是第二象限角，则tan 的值为()AB.CD答案：A2已知sin ，tan ，则cos ()A B. C D.答案：A授课提示：对应学生用书第13页探究一利用同角三角函数的关系式求值
3、教材P19例6方法步骤：(1)确定所在象限；(2)代入公式计算角度1已知角的某一三角函数值及所在象限，求角的其余三角函数值例1(1)已知tan ，且，则sin 的值是()AB.C.D解析tan ，即cos 2sin .又sin2cos21，sin24sin21，即sin2，又，sin 0，sin .答案A(2)若sin cos ，(0，)，则sin2cos2_解析sin cos ，(sin cos )2，sin cos .(0，)，cos 0，cos 0.所以sin ，cos .所以tan .法二：(方程思想)：解方程组得或(舍)故tan .答案：角度2已知角的某一三角函数值，未给出所在象限，
4、求角的其余三角函数值例2已知cos ，求13sin 5tan 的值解析法一：(平方关系)cos 0，是第二或第三象限角(1)若是第二象限角，则sin ，tan ，故13sin 5tan 1350.(2)若是第三象限角，则sin ，tan ，此时，13sin 5tan 1350.综上，13sin 5tan 0.法二：(切化弦)tan ，13sin 5tan 13sin 13sin 0.方法技巧利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出的终边可能在的象限，再分类求解跟踪探究1.已知tan ，求sin ，cos 的值解析：，sin .当在第二象限时
5、，sin ，cos ；当在第四象限时，sin ，cos .探究二齐次式求值问题教材P22第3题已知tan 2，求的值解析：3.例3已知tan 2，求下列代数式的值(1)；(2)sin2sin cos cos2.解析(1)原式.(2)原式.方法技巧已知角的正切求关于sin ，cos 的齐次式的方法(1)关于sin ，cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin ，cos 的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cos 的n次幂，其式子可化为关于tan 的式子，再代入求值(2)若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2cos2来代换，将分子、分母同除以cos2，可化为关于tan
6、的式子，再代入求值延伸探究3.此题改为：若已知.求(1).(2)sin23sin cos 1.(3).解析：由得tan 2.(1).(2)sin23sin cos 1.(3)2tan22222210.探究三三角函数式的化简与证明教材P19例7方法步骤：从左证到右例4(1)化简：；解析原式1.(2)求证：.法一：(“1”的代换)左边右边，等式成立法二：(切化弦)右边左边等式成立方法技巧1.三角函数式的化简技巧(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的(3)对于化简含高次的三角
7、函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的2证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法(1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简(2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)(3)比较法：即证左边右边0或1(右边0)(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪探究2.(1)化简：；解析：原式1.(2)求证：.证明：右边左边，原等式成立授课提示：对应学生用书第15页课后小结1同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22cos221，tan 8等都成立，理
8、由是式子中的角为“同角”2已知角的某一种三角函数值，求角的其余三角函数值，要注意公式的合理选择一般是先选用平方关系，再用商数关系在应用平方关系求sin 或cos 时，其正负号是由角所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式3在三角函数的变换求值中，已知sin cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解素养培优忽略角度范围，开方时忽略符号，造成增解或丢解典例若tan sin 0，化简 .易错分析开方时不注意正、负，致错解或增解自我纠正解析由于tan sin 0，则tan ，sin 异号，在第二或第三象限，cos 0，原式.
