1、第三节空间点、直线、平面之间的位置关系考纲传真(教师用书独具)1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题(对应学生用书第109页)基础知识填充1平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线2空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言aba相交关系图形语言符号语言abAaAl独有
2、关系图形语言符号语言a，b是异面直线a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(2)范围：.知识拓展1唯一性定理(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直2异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内
3、不经过该点的直线互为异面直线基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合()(4)若直线a不平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)如图731所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为()图731A30 B45 C60 D90C连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1EF，故D1B1C为所求
4、的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3在下列命题中，不是公理的是()A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线AA不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基本性质公理4已知直线a和平面，l，a，a，且a在，内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是()A相交或平行B相交或异面C平行或异面D相交、平行或异面D依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面5(2016山东高考)已
5、知直线a，b分别在两个不同的平面，内，则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A由题意知a，b，若a，b相交，则a，b有公共点，从而，有公共点，可得出，相交；反之，若，相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面因此“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件故选A(对应学生用书第110页)平面的基本性质及应用如图732，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点求证：图732(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明(1)如图，连接EF，CD1，A1BE，
6、F分别是AB，AA1的中点，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F四点共面(2)EFCD1，EFCD1，CE与D1F必相交，设交点为P，则由P直线CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直线DA，CE，D1F，DA三线共点规律方法1.证明线共面或点共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面.(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内.(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面，重合.2.证明点共线问题的常用方法(1)基本性质法：一般转化为
7、证明这些点是某两个平面的公共点，再根据基本性质3证明这些点都在这两个平面的交线上.(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上.3.证明三线共点问题常用的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.跟踪训练如图733，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BGGCDHHC12.图733(1)求证：E，F，G，H四点共面；(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线证明(1)因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EFBD在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，F，G，H四点共面(2)因为EGFHP，P
8、EG，EG平面ABC，所以P平面ABC同理P平面ADC所以P为平面ABC与平面ADC的公共点又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三点共线空间两直线的位置关系(1)(2018东北三省三校二联)是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点若m，n，且Am，A，则m，n的位置关系不可能是() 【导学号：97190231】A垂直B相交C异面D平行(2)(2017河北邯郸调研)如图734，在三棱锥SABC中，G1，G2分别是SAB和SAC的重心，则直线G1G2与BC的位置关系是()图734A相交B平行C异面D以上都有可能(1)D(2)B(1)由于Am，A，m，则有m与相交，而n，那么m，n
9、的位置关系只可能是相交(包括垂直)或异面，不可能平行，故选D(2)连接SG1并延长交AB于M，连接SG2并延长交AC于N，连接MN(图略)由题意知SM为SAB的中线，且SG1SM，SN为SAC的中线，且SG2SN，在SMN中，G1G2MN，易知MN是ABC的中位线，MNBC，因此可得G1C2BC，即直线G1G2与BC的位置关系是平行故选B规律方法跟踪训练如图735，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：图735直线AM与CC1是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确的结论的序号为_直
10、线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以错误点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线同理AM，DD1也是异面直线异面直线所成的角(1)(2017全国卷)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()ABCD(2)(2018南京、钦州第二次适应性考试)已知底面是边长为2的正方形的四棱锥PABCD中，四棱锥的侧棱长都为4，E是PB的中点，则异面直线AD与CE所成角的余弦值为()ABCD(1)C(2)A(1)法一：将直三棱柱ABCA1B1C1补形为直四棱柱ABCDA1B1C1D
11、1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD图由题意知ABC120，AB2，BCCC11，所以AD1BC1，AB1，DAB60.在ABD中，由余弦定理知BD22212221cos 603，所以BD，所以B1D1.又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角，所以cos .故选C法二：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示图由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(1，1)，则(1,0，1)，(1，1)所以cos，.所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.故选C(2)因为四
12、边形ABCD是正方形，所以ADBC，则异面直线AD和CE所成角为BC和CE所成角，即BCE.在PBC中，PBPC4，BC2，所以由余弦定理得cosPBC，则在BCE中，CE2BE2BC22BEBCcosPBC448cosPBC6，故cosBCE，故选A规律方法求异面直线所成角的2种方法1.平移法(1)作：通过作平行线得到相交直线.(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角).(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.2.向量法：利用向量的内积求所成角的余弦值.跟踪训练如图736，E、F分别是三棱锥PABC的棱AP、BC的中点，PC10，AB6，EF7，则异面直线AB与PC所成的角为_【导学号：97190232】图73660取AC的中点D，连接DE、DF(图略)，则DEPC，DFAB，EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角，利用余弦定理可求得EDF120，所以异面直线AB与PC所成的角为60.
