1、高考资源网（） 您身边的高考专家8.6 圆锥曲线的应用巩固夯实基础 一、自主梳理 解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键,而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想. 二、点击双基1.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2 m时，水面宽4 m，若水面下降1 m时，则水面宽为（ ）A. m B.2 m C.4.5 m D.9 m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意知，抛物线过点（2，-2）,4=2p2. p=1.x2
2、=-2y. 当y0=-3时，得x02=6. 水面宽为2|x0|=2.答案：B2.某抛物线形拱桥的跨度是20 m，拱高是4 m，在建桥时每隔4 m需用一柱支撑，其中最长的支柱是（ ）A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为x2=-2py(p0),由题意知其过定点（10，-4），代入x2=-2py,得p=. x2=-25y.当x0=2时，y0=， 最长支柱长为4-|y0|=4-=3.84(m).答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是( )A.椭圆 B.圆 C.双曲线的一支 D.抛物线解析
3、：设旗杆高为m,华表高为n,mn.旗杆与华表的距离为2a,以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为x轴、垂直平分线为y轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M(x,y),由题意=，即(m2-n2)x2+(m2-n2)y2-2a(m2-n2)x+(m2-n2)a2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是60 cm,灯深40 cm,则光源到反射镜顶点的距离是_ cm.解析：设抛物线方程为y2=2px(p0),点（40，30）在抛物线y2=2px上， 900=2p40. p=. =.因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案：5.在相距1 4
4、00 m的A、B两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为_.解析：设M（x,y）为曲线上任一点，则|MA|-|MB|=3403=1 0201 400. M点轨迹为双曲线，且a=510,c=700. b2=c2-a2=(c+a)(c-a)=1 210190. M点轨迹方程为-=1.答案：-=1诱思实例点拨【例1】 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和m万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为和,求该彗星与地球的最近距离.剖析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思
5、路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a-c，这样把问题就转化为求a、c或a-c.解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F（-c,0）处，椭圆的方程为+=1, 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足xFA=(或xFA=). 作ABOx于B，则FB=FA=m, 故由椭圆的第二定义可得 两式相减得m=m,a=2c. 代入,得m=(4c-c)=c, c=m. a-c=c=
6、m. 答:彗星与地球的最近距离为m万千米.讲评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆,而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点,另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a-c,另一个是a+c. (2)以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维品质.【例2】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）.已知PA=100 m，PB=150 m,APB=60,试说明怎样运土最省工.
7、剖析：首先抽象为数学问题，半圆中的点可分为三类：（1）沿AP到P较近；（2）沿BP到P较近；（3）沿AP、BP到P同样远. 显然，第三类点是第一、二类的分界点，设M是分界线上的任意一点.则有MA+PA=MB+PB. 于是MA-MB=PB-PA=150-100=50. 从而发现第三类点M满足性质：点M到点A与点B的距离之差等于常数50，由双曲线定义知，点M在以A、B为焦点的双曲线的右支上，故问题转化为求此双曲线的方程.解：以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy,设M(x,y)是沿AP、BP运土同样远的点，则 MA+PA=MB+PB, MA-MB=PB-PA=50. 在PA
8、B中，由余弦定理得AB2=PA2+PB2-2PAPBcos60=17 500,且50AB.由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为-=1(a0,b0). 解之得 M点轨迹是-=1(x25)在半圆内的一段双曲线弧.于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工.讲评：（1）本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的集合性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域.（2）应用分类思想解题的一般步骤：确定分类的对象；进行合理的分类；逐类逐级讨论；归纳各类结果.【例3】 根据我国汽车制造的现实情况，一般卡车高3
9、m，宽1.6 m.现要设计横断面为抛物线形的双向二车道的公路隧道，为保障双向行驶安全，交通管理规定汽车进入隧道后必须保持距中线0.4 m的距离行驶.已知拱口AB宽恰好是拱高OC的4倍，若拱宽为a m，求能使卡车安全通过的a的最小整数值.剖析：根据问题的实际意义，卡车通过隧道时应以卡车沿着距隧道中线0.4 m到2 m间的道路行驶为最佳路线，因此，卡车能否安全通过，取决于距隧道中线2 m（即在横断面上距拱口中点2 m）处隧道的高度是否够3 m，据此可通过建立坐标系，确定出抛物线的方程后求得.解：如图，以拱口AB所在直线为x轴，以拱高OC所在直线为y轴建立直角坐标系，由题意可得抛物线的方程为x2=-2p(y-), 点A（-,0）在抛物线上, (-)2=-2p(0-),得p=. 抛物线方程为x2=-a(y-). 取x=1.6+0.4=2,代入抛物线方程,得 22=-a(y-),y=. 由题意,令y3,得3, a0,a2-12a-160. a6+2. 又aZ,a应取14，15，16，. 答:满足本题条件使卡车安全通过的a的最小正整数为14 m.讲评： 本题的解题过程可归纳为两步:一是根据实际问题的意义，确定解题途径，得到距拱口中点2 m处y的值;二是由y3通过解不等式，结合问题的实际意义和要求得到a的值，值得注意的是这种思路在与最佳方案有关的应用题中是常用的.- 5 - 版权所有高考资源网
