1、第2讲平面向量一、选择题 1.(2019河南新乡二模)已知a=(1,2),b=(m,m+3),c=(m-2,-1),若ab,则bc=()A.-7B.-3C.3D.7答案B若ab,则1(m+3)-2m=0,m=3,bc=m(m-2)-(m+3)=-3.故选B.2.(2019安徽江淮十校5月联考)已知向量a,b满足|b|=2|a|=1,a(a-b),则|2a+b|=()A.3B.3C.6D.6答案B由a(a-b)且|b|=2|a|=1,得a(a-b)=a2-ab=14-ab=0,所以ab=14,|2a+b|=4a2+4ab+b2=4122+414+12=3.故选B.3.已知向量a=(1,1),2a
2、+b=(4,2),则向量a,b的夹角的余弦值为()A.31010B.-31010C.22D.-22答案C因为向量a=(1,1),2a+b=(4,2),所以b=(2,0),则向量a,b的夹角的余弦值为12+1022=22.4.(2019广东六校第一次联考)在ABC中,D为AB的中点,点E满足EB=4EC,则ED=()A.56AB-43ACB.43AB-56ACC.56AB+43ACD.43AB+56AC答案A因为D为AB的中点,点E满足EB=4EC,所以BD=12BA,EB=43CB,所以ED=EB+BD=43CB+12BA=43(CA+AB)-12AB=56AB-43AC,故选A.5.如图,在
3、圆C中,点A,B在圆上,则ABAC的值()A.只与圆C的半径有半B.既与圆C的半径有关,又与弦AB的长度有关C.只与弦AB的长度有关D.是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值答案C如图,过圆心C作CDAB,垂足为D,则ABAC=|AB|AC|cosCAB=12|AB|2.所以ABAC的值只与弦AB的长度有关.6.已知在平面直角坐标系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量OP3与向量a=(1,-1)共线,若OP3=OP1+(1-)OP2,则=()A.-3B.3C.1D.-1答案D设OP3=(x,y),则由题意知x+y=0,于是OP3=(x,-x).已知OP3
4、=OP1+(1-)OP2,则有(x,-x)=(3,1)+(1-)(-1,3)=(4-1,3-2),即4-1=x,3-2=-x,所以4-1+3-2=0,解得=-1.7.已知AB=(2,1),点C(-1,0),D(4,5),则向量AB在CD方向上的投影为()A.-322B.-35C.322D.35答案C因为点C(-1,0),D(4,5),所以CD=(5,5),又AB=(2,1),所以向量AB在CD方向上的投影为|AB|cos=ABCD|CD|=1552=322.8.(2019湖南湘潭模拟)在ABC中,|AB+AC|=|AB-AC|,AB=2,AC=1,E,F为BC的三等分点,则AEAF=()A.8
5、9B.109C.259D.269答案B由|AB+AC|=|AB-AC|知ABAC,以A为坐标原点,AB,AC的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C(0,1),不妨设E43,13,F23,23,则AEAF=43,1323,23=89+29=109.9.(2019广东揭阳模拟)已知O是ABC内一点,OA+OB+OC=0,ABAC=2且BAC=60,则OBC的面积为()A.33B.3C.32D.23答案AOA+OB+OC=0,O是ABC的重心,于是SOBC=13SABC.ABAC=2,|AB|AC|cosBAC=2,BAC=60,|AB|AC|=4.SAB
6、C=12|AB|AC|sinBAC=3,OBC的面积为33,故选A.10.(多选)已知等边三角形ABC内接于O,D为线段OA的中点,则BD=()A.23BA+16BCB.43BA-16BCC.BA+13AED.23BA+13AE答案AC如图所示,设BC的中点为E,则BD=BA+AD=BA+13AE=BA+13(AB+BE)=BA-13BA+1312BC=23BA+16BC.故选AC.二、填空题11.已知点A(-1,2),B(2,8),AC=13AB,DA=-13BA,则CD的坐标为.答案(-2,-4)解析设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意得AC=(x1+1,y1-2)
7、,AB=(3,6),DA=(-1-x2,2-y2),BA=(-3,-6).因为AC=13AB,DA=-13BA,所以有x1+1=1,y1-2=2和-1-x2=1,2-y2=2.解得x1=0,y1=4和x2=-2,y2=0.所以点C,D的坐标分别为(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4).12.(2019山东师大附中二模改编)已知向量a,b,其中|a|=3,|b|=2,且(a-b)a,则向量a和b的夹角是,a(a+b)=.答案66解析由题意,设向量a,b的夹角为.因为|a|=3,|b|=2,且(a-b)a,所以(a-b)a=|a|2-ab=|a|2-|a|b|cos =3-23cos
8、=0,解得cos =32.又因为0,所以=6.则a(a+b)=|a|2+|a|b|cos =3+2332=6.13.如图,在正方形ABCD中,M是BC的中点,若AC=AM+BD,则+=.答案53解析AC=AB+AD,AM=AB+BM=AB+12AD,BD=AD-AB,所以AC=AM+BD=AB+12AD+(AD-AB)=(-)AB+2+AD,所以-=1,2+=1,解得=43,=13.所以+=53.14.在如图所示的平面图形中,已知OM=1,ON=2,MON=120,BM=2MA,CN=2NA,则BCOM的值为.答案-6解析解法一:连接OA.BC=AC-AB=3AN-3AM=3(ON-OA)-3
9、(OM-OA)=3(ON-OM),BCOM=3(ON-OM)OM=3(ONOM-|OM|2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6.解法二:在ABC中,不妨设A=90,取特殊情况ONAC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系.因为MON=120,ON=2,OM=1,所以O2,32,C0,332,M52,0,B152,0.故BCOM=-152,33212,-32=-154-94=-6.命题拓展预测1.在ABC中,E,F分别为AB,AC的中点,P为线段EF上的任一点,实数x,y满足PA+xPB+yPC=0.设ABC,PBC,PCA,PAB的面积
10、分别为S,S1,S2,S3,记SiS=i(i=1,2,3),则23取到最大值时,2x+y的值为()A.-1B.1C.-32D.32答案D由题意,可得EF是ABC的中位线,P到BC的距离等于ABC中BC边上的高的一半,可得S1=12S=S2+S3,2+3=12,由此可得232+322=116,当且仅当S2=S3,即P为EF的中点时,等号成立,此时PE+PF=0.由向量加法的平行四边形法则可得,PA+PB=2PE,PA+PC=2PF,两式相加,得2PA+PB+PC=0.PA+xPB+yPC=0,根据平面向量基本定理,得x=y=12,从而得到2x+y=32.综上所述,当23取到最大值时,2x+y的值为32.2.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,1)在以原点O为圆心的圆上.已知圆O与y轴正半轴的交点为P,延长AP到点B,使得AOB=90,则BPOA=,|BP+OA|=.答案223解析由题可得圆O的半径r=3+1=2,所以P(0,2),则AP所在直线方程为y-2=2-10-3(x-0),即y=-33x+2.设Bx,-33x+2,则OA=(3,1),OB=x,-33x+2.由AOB=90可得OAOB=0,所以3x-33x+2=233x+2=0,解得x=-3,所以B(-3,3),所以BP=(3,-1),所以BPOA=33+1(-1)=2,|BP+OA|=|(23,0)|=23.
