1、江苏省连云港市六所四星高中2020届高三数学下学期模拟考试试题（含解析）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知集合，则集合中元素的个数为_【答案】4【解析】【分析】本题首先可以通过题意得出集合以及集合所包含的元素，然后利用并集定义写出，即可得出结果【详解】因为集合，所以.所以集合中元素的个数为4，故答案为4【点睛】本题考查并集中元素个数的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2.设复数，则_.【答案】1【解析】解法一：由题意可得：.解法二：3.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这
2、组数据的方差为_【答案】【解析】【分析】先计算平均数,再利用方差公式求解即可.【详解】该组数据平均数.故方差 .故答案为：【点睛】本题主要考查了方差的计算,属于基础题型.4.根据如图所示的伪代码，最后输出的的值为_.【答案】7【解析】【分析】根据当型循环的含义，知直到时，退出循环.【详解】第一次循环：；第二次循环：；第三次循环：；因，故退出循环，此时.故答案为：7【点睛】本题考查根据当型循环语句计算输出值的问题，此类题要做到认真通读语句，建议数据较小时可以采用列举出来的办法，是一道容易题.5.函数 的定义域为_.【答案】【解析】【分析】解不等式组可得函数的定义域.【详解】由题设有，故，故函数的
3、定义域为.【点睛】函数的定义域一般从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不为零；（2）偶次根号（，为偶数）中，；（3）零的零次方没有意义；（4）对数的真数大于零，底数大于零且不为1.6.从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于_.【答案】【解析】分析】分别求出即可【详解】从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即，可组成三角形的只有一种，因此，故答案为【点睛】本题考查事件的概念，求事件的个数解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得，列举法是我们常用的方法能组成三角形的判定关键是两个
4、较小的线段长之和大于最长的线段长度7.若双曲线的一条渐近线方程为，则_.【答案】【解析】【分析】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的一条渐近线方程为，可得 ，从而得到的值.【详解】双曲线的渐近线方程为.由由双曲线的一条渐近线方程为，即所以，即 故答案为：【点睛】本题考查根据双曲线的渐近线方程求参数的值,属于基础题.8.已知是等差数列的前项和，若，则_.【答案】【解析】【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得的值，再利用等差数列的通项公式，即可求求解.【详解】由题意，设等差数列的公差为，可得，解得，所以故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差
5、数列的通项公式和求和公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了计算能力.9.若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是_.【答案】或【解析】【分析】分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围.【详解】解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即.若，要使不等式的解集不是空集，则若，有，解得.若，则满足条件.综上所述，满足条件的的取值范围是或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.10.已知等边三角形的边长为，为边的中点，沿将折成直二面角，则三棱锥的外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】先证明AD平面BCD，利用二面角的定义
6、得知BDC90，利用勾股定理可得出BCD的外接圆直径为BC，设R为三棱锥ABCD的外接球的半径，得 ，再利用球体表面积公式可得出答案【详解】如图所示， 折叠前，由于ABC时等边三角形，D为BC的中点，则ADBC，折叠后，则有ADCD，ADBD，BDCDD，AD平面BCD，二面角BADC为直二面角，ADBD，ADCD，则二面角BADC的平面角为BDC90，且 ，RtBCD的外接圆直径为，所以，三棱锥ABCD的外接球半径为，因此，三棱锥ABCD的外接球的表面积为4R280故答案为80点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积计算，考查二面角的定义，同时也考查直线与平面垂直的判定定理，考查计算能力与推理能力
7、，属于中档题11.若，是方程的两个根，则_.【答案】【解析】【分析】由韦达定理得，再求出，即得解.【详解】由题得.所以，所以故答案为：【点睛】本题主要考查和角的正切公式的应用，考查正切函数的图象的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12.已知都是正实数，则的最小值是_.【答案】【解析】试题分析：考点：基本不等式.13.已知点，均位于同一单位圆上，且，若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】由整理可得：，即：，以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，由整理得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，由等价转化成，利用整理即可求解【详解】由可得：,所以，所以，即线
8、段BC为单位圆的直径.以圆心为原点，以BC所在直线为轴建立平面直角坐标系，如下图：则，设，则由可得：，所以点P在以原点为圆心，半径为2的圆上运动，因为，所以,又，所以，即：.【点睛】本题主要考查了数量积的运算及向量的坐标运算，还考查了向量垂直的数量积关系、转化思想及计算能力，考查了向量模的运算，属于难题14.已知函数，若有两个零点，则的取值范围_.【答案】【解析】【分析】先运用分段函数的解析式，得出的解析式，再利用导数求得函数的单调性区间,即可求得的取值范围.【详解】当时,当,综上可知：,则，有两个根，,(不妨设,当时,，当时,令,则，,设，,所以,，函数单调递减,值域为,取值范围为,故答案为
9、：.【点睛】本题考查分段函数的零点问题，关键在于讨论自变量的范围得出函数的表达式，再运用导函数得出函数的图象趋势，得出的函数解析式，属于难度题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数（1）当时，求的值域；（2）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式变形，整理后化为一个角的余弦函数，利用余弦函数的值域确定出求的值域即可；（2）由，及第一问确定出的解析式，求出的度数，再由
10、的值，利用余弦定理列出关系式，整理后利用基本不等式求出的最大值，即可确定出三角形面积的最大值【详解】解：（1）因为所以即，所以的值域为；（2）由，得，又，在中，由余弦定理，得，把，代入得：，当且仅当时取等号，的面积，则面积的最大值为【点睛】本题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键16.如图，四棱锥中，底面为矩形，为上一点（1）求证：平面平面；（2）若平面，求证：为的中点【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】【详解】试题分析：（1）证面面垂直，关键证线面垂直，由于，又底面为矩形，因此平面，进而平面平面；（2）先根据线
11、面平行性质定理，将转化为线线平行：连接，交于，连接，平面，再根据中位线性质得为的中点.试题解析：（1）底面为矩形，又，平面，又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，底面为矩形，是的中点，即，为的中点.考点：面面垂直判定定理，线面平行性质定理17.如图，在宽为的路边安装路灯，灯柱高为，灯杆是半径为的圆的一段劣弧路灯采用锥形灯罩，灯罩顶到路面的距离为，到灯柱所在直线的距离为设为灯罩轴线与路面的交点，圆心在线段上（1）当为何值时，点恰好在路面中线上?（2）记圆心在路面上的射影为，且在线段上，求的最大值【答案】(1)当为时，点在路面中线上；（2）【解析】【分析】（1）以O为原点，以OA所
12、在直线为y轴建立平面直角坐标系，求出PQ的方程，设C（a，b），根据CACPr列方程组可得出a，b的值，从而求出r的值；（2）用a表示出直线PQ的斜率，得出PQ的方程，求出Q的坐标，从而可得出|HQ|关于a的函数，根据a的范围和基本不等式得出|HQ|的最大值【详解】（1）以O为原点，以OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），直线PQ的方程为2x+y140设C（a，b），则，两式相减得：a+b100，又2a+b140，解得a4，b6，当时，点Q恰好在路面中线上（2）由（1）知a+b100，当a2时，灯罩轴线所在直线方程为x2，此时HQ0当a2时，灯罩轴
13、线所在方程为：y10（x2），令y0可得x12，即Q（12，0），H在线段OQ上，12a，解得2a10|HQ|12a12（+a）1212，当且仅当a即a时取等号|HQ|的最大值为（12）m【点睛】本题考查了直线方程，圆的方程，考查基本不等式与函数最值的计算，属于中档题18.如图，椭圆：（）和圆：，已知圆将椭圆的长轴三等分，椭圆右焦点到右准线的距离为，椭圆的下顶点为，过坐标原点且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点、（1）求椭圆的方程；（2）若直线、分别与椭圆相交于另一个交点为点、.求证：直线经过一定点；试问：是否存在以为圆心，为半径的圆，使得直线和直线都与圆相交？若存在，请求出实数的范围；若不
14、存在，请说明理由【答案】（1）；（2）详见解析；存在，.【解析】试题分析：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，可得，及a2=b2+c2即可得出；（2）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx-1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径即（i），（ii）得出m的取值范围存在即可试题解析：（
15、 ）依题意，则，又，则，椭圆方程为（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则：，由得或，用去代，得，方法1：，：，即，直线经过定点方法2：作直线关于轴的对称直线，此时得到的点、关于轴对称，则与相交于轴，可知定点在轴上，当时，此时直线经过轴上的点，、三点共线，即直线经过点，综上所述，直线经过定点由得或，则直线：，设，则，直线：，直线：，假设存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，则由（）得对恒成立，则，由（）得，对恒成立，当时，不合题意；当时，得，即，存在圆心为，半径为的圆，使得直线和直线都与圆相交，所有的取值集合为解法二：圆，由上知过定点，故；又直线过原点，故，从而得考
16、点：1.直线与圆锥曲线的关系；2.椭圆的标准方程19.已知函数（a，）.（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若，试讨论是否存在，使得.【答案】（1）（2）存在；a的值为（3）答案不唯一，具体见解析【解析】【分析】（1），讨论和两种情况，分别计算函数的单调性，再根据零点个数得到参数.（2），根据题意，计算得到，计算得到答案.（3），故必须在上有解，解方程得到答案.【详解】（1）若，则，若，则在，则，则在上单调递增，又，故在上无零点，舍；若，令，得，在上，在上单调递减，在上
17、，在上单调递增，故，若，则，在上无零点，舍；若，则，在上恰有一零点，此时；若，则，则在和上有各有一个零点，舍；故a的值为.（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设，故，则，故，.此时，故存在三个不同的零点.故符合题意的a的值为.（3）若，若存在，使得，必须在上有解.，方程的两根为：，只能是，依题意，即，即，又由，得，故欲使满足题意的存在，则，当时，存在唯一的满足，当时，不存在使.【点睛】本题考查了函数的零点问题，解方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.设数列（任意项都不为零）的前项和为，首项为，对于任意，满足.（1）数列的通项公式；（2）是否存在使得成等比数列，且成等差
18、数列？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由；（3）设数列，若由的前项依次构成的数列是单调递增数列，求正整数的最大值.【答案】（1）；（2）存在，；（3）【解析】【分析】（1）代入求得，利用可验证出奇数项和偶数项分别成等差数列，由此得到和，进而得到；（2）假设存在满足题意，利用等差中项和等比中项的定义可构造方程组，得到，由可求得的范围，结合得到，进而求出；（3）将问题转化为当为偶数时，构造函数和，可利用导数说明与的单调性，进而确定的取值，同时得到的范围，从而求得结果.【详解】（1）数列是非零数列，.当时，；当且时，是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公差为的等差数列，.（2）设存在，满足题意
19、，成等比数列，；成等差数列，消去可得：，解得：，.（3）若是单调递增数列，则为偶数时，恒成立，两边取自然对数化简可得：，显然，设，则，当时，；当时，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，当时，是递减数列，又，是的最大值，；设，则，是递减数列，当时，当时，当时，存，使得恒成立；当时，不成立，至多前项是递增数列，即正整数的最大值是.【点睛】本题考查数列与函数导数知识的综合应用问题，涉及到数列通项公式的求解、根据等差数列和等比数列定义求解参数值、根据数列单调性求解参数值等问题；由数列单调性确定参数值的关键是能够将问题转化为恒成立问题，通过构造函数的方式来确定上下限，进而通过讨论得到结果，属于难
20、题.高三数学模拟试题附加题21.已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；（2）求.【答案】（1）特征值为，分别对应的特征向量为和，（2）.【解析】【分析】（1）根据特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量；（2），即可求【详解】（1）矩阵的特征多项式为，令，可求得特征值为，设对应的一个特征向量为，则由，得，可令，则，所以矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为，同理可得矩阵的一个特征值对应的一个特征向量为（2）所以【点睛】本题主要考查了矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平22.已知曲
21、线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是: （是参数）.若直线与曲线相交于、两点，且，试求实数值.设为曲线上任意一点，求的取值范围.【答案】或；.【解析】【分析】把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆心到直线的距离求出值；把曲线的普通方程化为参数方程，利用三角恒等变换求出的取值范围.【详解】解：曲线的极坐标方程是化为直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为：.圆心到直线的距离（弦心距）,圆心到直线的距离为 ：,或.曲线的方程可化为，其参数方程为： （为参数）为曲线上任意一点， 的取值范围是.【点睛】本题考查参数方程与极坐标的应用，
22、属于中档题.23. 已知：a2，xR求证：|x1a|xa|3【答案】详见解析【解析】试题分析：利用含绝对值不等式性质得|x1a|xa|最小值|2a1|，再根据a取值范围求最小值3最后根据不等式传递性得证.试题解析：证明：因为|m|+|n|mn|，所以|x1a|xa|x1a(xa)|2a1| 又a2，故|2a1|3所以|x1a|xa|3 考点：含绝对值不等式性质24.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点 （1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若点是棱上一点，且，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】试题分析：（1）依题意，可以以点为原点，、分别为轴、轴、
23、轴建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，由向量的夹角公式即可求得两异面直线所成角的余弦值；（2）可设，由和共线得到点坐标，求出其长度即可.试题解析：（1）以点为原点，、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，故，与所成角的余弦值为（2）解：设，则，即，又，即，故， 考点：空间向量求解空间角及在证明线线垂直中的应用.25.棋盘上标有第、站，棋子开始位于第站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第站或第站时，游戏结束.设棋子位于第站的概率为.（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币次后，求棋手所走步数之和的分布列与数学期望；（2）证明：；（3）求
24、、的值.【答案】（1）分布列见解析，随机变量的数学期望为；（2）证明见解析；（3），.【解析】【分析】（1）根据题意得出随机变量的可能取值有、，利用独立重复试验的概率公式计算出随机变量在相应取值时的概率，可列出随机变量的分布列，由此计算出随机变量的数学期望；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在该等式两边同时减去，可得出所证等式成立；（3）结合（1）、（2）可得，利用累加法求出数列的通项公式，从而可求出和的值.【详解】（1）由题意可知，随机变量的可能取值有、.，.所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，随机变量的数学期望为；（2）根据题意，棋子要到第站，由两种情况，由第站跳站得到，其概率为 ，也可以由第站跳站得到，其概率为，所以，.等式两边同时减去得；（3）由（2）可得，.由（2）可知，数列是首项为，公比为的等比数列，又，则，由于若跳到第站时，自动停止游戏，故有.【点睛】本题考查相互独立事件的概率乘法公式以及等比数列的判定与应用，同时也考查了累加法求数列通项，综合性较强，属于难题.
