1、福建省莆田第一中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题试卷满分 150分 考试时间 120分钟一、 选择题(本大题共有8小题，每小题5分，共40分，每小题在给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的)1.抛物线的焦点坐标是（ ）ABCD2.已知，若共面，则实数的值为（ ）ABCD3.如图，在四面体中，是的重心，是上的一点，且，若，则为（ ）A. B. C. D.4.在一平面直角坐标系中，已知，现沿轴将坐标平面折成60的二面角，则折叠后，两点间的距离为（ ）ABCD5.抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线
2、反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）ABCD6.直三棱柱中，则异面直线和所成角的余弦值为（ ）ABCD7.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）ABCD8.已知水平地面上有一篮球，球的中心为，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆（如图），在平面直角坐标系中，椭圆中心O为原点，设椭圆的方程为，篮球与地面的接触点为H，则的长为（ ）A BCD二选择题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分，在每小题在给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5
3、分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9.设m，n是空间两条不同直线，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（ ）A当n时，“n”是“”成立的充要条件B当时，“m”是“”的充分不必要条件C当时，“n/”是“”必要不充分条件D当时，“”是“”的充分不必要条件10已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的是（ ）A点的坐标为B若，三点共线，则C若直线与的斜率之积为，则直线过点D若，则的中点到轴距离的最小值为211.已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点P为双曲线右支一点，I为的内心，若成立，则下列结论正确的有（ ）A当轴时，B离心率CD点I的横坐标为定值a12.在如图所示的棱长为1的正
4、方体中，点P在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为（ ）A若点P总满足，则动点P的轨迹是一条直线B若点P到点A的距离为，则动点P的轨迹是一个周长为的圆C若点P到直线的距离与到点C的距离之和为1，则动点P的轨迹是椭圆D若点P到直线与直线的距离相等，则动点P的轨迹是双曲线二:填空题(本大题共有4个小题，每题5分，共20分)13.已知命题p：，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是_.14.已知双曲线的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为_15.设A，B分别是直线y2x和y2x上的动点，满足|AB|4，则A的中点M的轨迹方程为_16.九章算术中，将四个面都为直角三角
5、形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑中，平面，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，_；点的轨迹的长度为_.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时要求写出必要的文字说明或推演步骤)17.（本小题满分10分）已知命题实数满足，实数满足曲线为双曲线.（1）若，且为假，求实数的取值范围；（2）若，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.（本小题满分12分）如图在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，,， (1) 求二面角的大小；(2) 求点到平面的距离19.（本小题满分12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.（1）求的方程；（2）设直线与交于另一点，为的中点，点
6、在轴上，.若，求直线的斜率.20.（本小题满分12分）正四棱锥的底面正方形边长是4，是P在底面上的射影，是上的一点，,过且与、都平行的截面为五边形（1） 在图中作出截面(写出作图过程）；（2） 求该截面面积21.（本小题满分12分）在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，（1） 求证：；（2） 若，是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由22.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆上一动点满足：，其中
7、是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.莆田一中2020-2021学年度上学期第一学段考试试卷高二 数学 选修2-1二、 选择题BBDDD CAB ABD BCD BCD ABD三、 填空题 13. 14. 15. 162 三、解答题17、解：（1）为假，为真， 解得；（2）由得由实数满足曲线为双曲线.得解之由且得，设，因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，故有，得.18. （1）以为原点，向量，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，由，得，令，则.所以，取平面的一个法向量为，设二
8、面角的大小为，由图可知为锐角.，即二面角的大小为（2）由（1）知平面的一个法向量为，又，点到平面的距离19.（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，所以的方程为（2）由题意，设直线方程为，由消去，得，设，则，所以，又因为为的中点，点的坐标为，直线的方程为，令，得，点的坐标为，所以，解得，所以直线的斜率为.20、解：（1）由题可知，是上的一点，过且与、都平行的截面为五边形，过作，交于点，交于点，过作，交于点，再过点作，交于点，过点作交于点，连接， ，所以共面，平面，平面，平面，同理平面.所以过且与、都平行的截面如下图：（2）由题意可知，截面，截面，
9、而是在底面上的射影，平面，且，所以平面，则，又， 为正四棱锥，故，于是，因此截面是由两个全等的直角梯形组成，因，则为等腰直角三角形，同理得，设截面面积为，所以，所以截面的面积为.21、（1）证明：，且为线段的中点，又，四边形为平行四边形，又平面，平面，平面，又平面平面，又，且平面平面，平面平面，平面，平面，又平面， .（2）存在，为的靠近点的三等分点，为线段的中点，又平面平面，平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，设，得，设平面的法向量为，则即令，可得为平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，于是有；得或（舍），所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，故为的靠近点的三等分点22.解：（1）抛物线的焦点为，过垂直于轴的直线截所得的弦长为所以，解得.所以又椭圆的离心率为，椭圆的方程为，.（2）设，则由，得，点在椭圆上，所以，故.设分别为直线的斜率，由题意知，因此所以.所以点是椭圆上上的点，.，又，.恰为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，为定值.
