1、山东省实验中学2013年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2011湖南）设集合M=1，2，N=a2，则“a=1”是“NM”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件考点：集合关系中的参数取值问题.专题：压轴题分析：先由a=1判断是否能推出“NM”；再由“NM”判断是否能推出“a=1”，利用充要条件的定义得到结论解答：解：当a=1时，M=1，2，N=1有NM当NM时，a2=1或a2=2有所以“a=1”是“NM”的充分不必要条件故选A点评：本题考查利用充要条件的定义判
2、断一个命题是另一个命题的条件问题2（5分）下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是（）Af（x）=Bf（x）=Cf（x）=2x2xDf（x）=tanx考点：奇偶性与单调性的综合.专题：函数的性质及应用分析：根据函数的解析式及基本初等函数的性质，逐一分析出四个函数的单调性和奇偶性，即可得到答案解答：解：A中，f（x）=是奇函数，但在定义域内不单调；B中，f（x）=是减函数，但不具备奇偶性；C中，f（x）2x2x既是奇函数又是偶函数；D中，f（x）=tanx是奇函数，但在定义域内不单调；故选C点评：本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，熟练掌握基本初等函数的性质，及函数奇偶性和单调性的定义
3、是解答的关键3（5分）（2007江西）若，则cot等于（）A2BCD2考点：三角函数中的恒等变换应用.分析：用两角差的正切公式变形，整理，得到关于tan的一元一次方程，解方程，得到正切值，根据正切和余切之间的关系，求出余切值解答：解：由得，cot=2，故选A点评：在三角函数中除了诱导公式和作八个基本恒等式之外，还有两角和与差公式、倍角公式、半角公式、积化和差公式、和差化化积公式，此外，还有万能公式，在一般的求值或证明三角函数的题中，只要熟练的掌握以上公式，就能解决我们的问题4（5分）函数f（x）=（x+1）lnx的零点有（）A0个B1个C2个D3个考点：函数的零点.专题：函数的性质及应用分析：
4、函数f（x）=（x+1）lnx的零点即方程f（x）=0的解，可转化为方程解的个数问题解答：解：f（x）=（x+1）lnx的定义域为（0，+）令（x+1）lnx=0，则x=1，所以函数f（x）=（x+1）lnx的零点只有一个故选B点评：本题考查函数的零点问题，属基础题，往往与方程的解互相转化5（5分）已知两条直线y=ax2和3x（a+2）y+1=0互相平行，则a等于（）A1或3B1或3C1或3D1或3考点：两条直线平行的判定.专题：计算题分析：应用平行关系的判定方法，直接求解即可解答：解：两条直线y=ax2和3x（a+2）y+1=0互相平行，所以解得 a=3，或a=1故选A点评：本题考查两条直线
5、平行的判定，是基础题6（5分）（2009海珠区二模）设命题p：曲线y=ex在点（1，e）处的切线方程是：y=ex；命题q：a，b是任意实数，若ab，则则（）A“p或q”为真B“p且q”为真Cp假q真Dp，q均为假命题考点：复合命题的真假.专题：常规题型分析：先求出曲线y=ex在点（1，e）处的切线方程，判定命题p的真假，然后利用列举法说明命题q是假命题，最后根据复合命题的真值表可得结论解答：解：命题p：y=ex则y|x=1=e曲线y=ex在点（1，e）处的切线方程是ye=e（x+1）即y=ex故命题p为真命题命题q：22而，故命题q是假命题根据复合命题的真假的真值表可知“p或q”为真，“p且q
6、”为假故选A点评：本题主要考查了复合命题的真假，以及曲线的切线和不等式的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题7（5分）已知函数f（x）=x2+sinx，则y=f（x）的大致图象是（）ABCD考点：函数的单调性与导数的关系.专题：计算题分析：求出函数的导函数，求出导函数在x=0处的函数值f（0），根据f（0）的符号判断出选项A错；求出f（x）的二阶导数，根据二阶导数的符号判断出导函数的单调性，判断出选项C错；根据二阶导数的单调性，判断出导函数在上递增的快慢，判断出B对D错解答：解：f（x）=x+cosxf（0）=1选项A错f（x）=1sinx0f（x）递增选项C错在上，f（x）=1sinx
7、递减增的越来越慢选项B对D错故选B点评：解决已知函数的解析式选择图象的题目，一般先研究函数的性质，性质有：特殊点、单调性、对称性、周期性等，再根据性质选择图象8（5分）在等差数列an中，a1=2013，其前n项和为Sn，若，则S2013的值等于（）A2012B2013C2012D2013考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质.专题：计算题；等差数列与等比数列分析：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn，根据=An+B，可知成等差数列，然后求出的值，从而可求出S2013的值解答：解：设等差数列前n项和为Sn=An2+Bn则=An+B，成等差数列，=a1=2013，是首项为2013，公差为1的等
8、差数列，=2013+（20131）1=1，即S2013=2013故选B点评：本题主要考查了等差数列的性质，以及构造法的应用，同时考查了转化的思想，属于基础题9（5分）（2011甘肃一模）已知点P（x，y）是直线kx+y+4=0（k0）上一动点，PA，PB是圆C：x2+y22y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A3BCD2考点：直线和圆的方程的应用.专题：计算题；转化思想分析：先求圆的半径，四边形PACB的最小面积是2，转化为三角形PBC的面积是1，求出切线长，再求PC的距离也就是圆心到直线的距离，可解k的值解答：解：圆C：x2+y22y=0的圆心（0，
9、1），半径是r=1，由圆的性质知：S四边形PACB=2SPBC，四边形PACB的最小面积是2，SPBC的最小值=1=rd（d是切线长）d最小值=2圆心到直线的距离就是PC的最小值，k0，k=2故选D点评：本题考查直线和圆的方程的应用，点到直线的距离公式等知识，是中档题10（5分）已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）ABCD考点：数列的应用.专题：综合题；等差数列与等比数列分析：确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论解答：解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1
10、q=d2q，b3=b1q2=d2q2=是正整数，q是小于1的正有理数令=t，t是正整数，则有q2+q+1=q=对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意故选C点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，特别是等比数列混合题，两者的内在联系很重要11（5分）（2007江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f（x），f（0）0，对于任意实数x都有f（x）0，则的最小值为（）A3BC2D考点：导数的运算.专题：综合题；压轴题分析：先求导，由f（0）0可得b0，因为对于任意实数x都有f（x）0，所以结合二次函数的图象可得a0且b24ac0，又因为，利用均值不等式即可求解解答：
11、解：f（x）=2ax+b，f（0）=b0；对于任意实数x都有f（x）0，a0且b24ac0，b24ac，c0；，当a=c时取等号故选C点评：本题考查了求导公式，二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强12（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（c，0），F2（c，0），若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A（0，）B（）C（0，）D（，1）考点：正弦定理；椭圆的简单性质.专题：压轴题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：由“”的结构特征，联想到在PF1F2中运用由正弦定理得：两者结合起来，可得到，再由焦点半径公式，代入可得到：a（a+ex0）=c（aex0）解出x0，由椭圆的范
12、围，建立关于离心率的不等式求解要注意椭圆离心率的范围解答：解：在PF1F2中，由正弦定理得：则由已知得：，即：aPF1=cPF2设点P（x0，y0）由焦点半径公式，得：PF1=a+ex0，PF2=aex0则a（a+ex0）=c（aex0）解得：x0=由椭圆的几何性质知：x0a则a，整理得e2+2e10，解得：e1或e1，又e（0，1），故椭圆的离心率：e（1，1），故选D点评：本题主要考查椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分13（4分）若焦点在x轴上的椭圆的
13、离心率为，则m=考点：椭圆的简单性质.专题：计算题分析：依题意，2m0，由e=即可求得m解答：解：焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率为，2m0，e=，m=故答案为：点评：本题考查椭圆的简单性质，利用离心率得到关于m的关系式是关键，属于基础题14（4分）（2004湖南）若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是0a考点：指数函数的图像与性质；指数函数综合题.专题：作图题；压轴题；数形结合分析：先分：0a1和a1时两种情况，作出函数y=|ax1|图象，再由直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点，作出直线，移动直线，用数形结合求解解答
14、：解：当0a1时，作出函数y=|ax1|图象：若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点由图象可知02a1，0a：当a1时，作出函数y=|ax1|图象：若直线y=2a与函数y=|ax1|（a0且a1）的图象有两个公共点由图象可知02a1，此时无解综上：a的取值范围是0a故答案为：0a点评：本题主要考查指数函数的图象和性质，主要涉及了函数的图象变换及函数的单调性，同时，还考查了数形结合的思想方法15（4分）若不等式组的解集中所含整数解只有2，求k的取值范围3，2）考点：简单线性规划.专题：不等式的解法及应用分析：解二次不等式x2x20可得x（，1）（2，+），由2x2+（
15、5+2k）x+5k=（2x+5）（x+k），分类讨论k与的大小关系，综合讨论结果，可得答案解答：解：x2x20的解集为（，1）（2，+）2x2+（5+2k）x+5k=（2x+5）（x+k）0当k时，2x2+（5+2k）x+5k0的解集为（，k），此时若不等式组的解集中所含整数解只有2则，2k3，即3k2当k=时，2x2+（5+2k）x+5k0的解集为，不满足要求当k时，2x2+（5+2k）x+5k0的解集为（k，），不满足要求综上k的取值范围为3，2）故答案为：3，2）点评：本题考查的知识点是不等式的综合应用，集合的运算，熟练掌握集合运算的结果，是解答的关键16（4分）当实数x，y满足约束条件
16、（a为常数）时z=x+3y有最大值为12，则实数a的值为12考点：简单线性规划的应用.专题：压轴题；数形结合分析：画出 的可行域，将目标函数变形，画出其相应的直线，当直线平移至固定点时，z最大，求出最大值列出方程求出a的值解答：解：画出 的平面区域，将目标函数变形为y=x+z，画出其相应的直线，由 得 当直线y=x+z平移至A（3，3）时z最大为12，将x=3，y=3代入直线2x+2y+a=0得：6+6+a=0a=12故答案为：12点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、结合图求目标函数的最值、考查数形结合的数学数学方法三、解答题：本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
17、17（12分）记f（x）=ax2bx+c，若不等式f（x）0的解集为（1，3），试解关于t的不等式f（|t|+8）f（2+t2）考点：一元二次不等式的解法.专题：不等式的解法及应用分析：由已知不等式的解集及二次函数的性质，得到f（x）=a（x1）（x3），且a小于0，二次函数在2，+）是增函数，由所求不等式自变量都大于等于2，利用增函数的性质列出关于t的不等式，求出不等式的解集即可得到t的范围解答：解：由题意知f（x）=a（xx1）（xx2）=a（x1）（x3），且a0，二次函数在区间2，+）是减函数，又因为|t|+88，2+t22，故由二次函数的单调性知不等式f（|t|+8）f（2+t2），
18、等价于|t|+82+t2，|t|2|t|60，即（|t|3）（|t|+2）0，解得：0|t|3解得：3t3，且t0点评：此题考查了一元二次不等式的解法，涉及的知识有：二次函数的性质，以及其他不等式的解法，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键18（12分）（2010海淀区二模）在ABC内，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，a，b，c成等差数列，且a=2c（1）求cosA的值；（2）若，求b的值考点：余弦定理的应用；等差数列的性质.专题：计算题分析：（I）根据a，b，c成等差数列及a=2c求得b=c代入余弦定理求得cosA的值（II）由（I）cosA，求出sinA根据正弦定理及求得c，进而求出
19、b解答：解：（I）因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b又a=2c，可得b=ccosA=（II）由（I）cosA=，A（0，），sinA=因为若，SABC=bcsinA，SABC=bcsinA=得c2=4，即c=2，b=3点评：本题主要考查余弦定理的应用利用余弦定理，可以判断三角形形状解三角形时，除了用到余弦定理外还常用正弦定理，故应重点掌握，灵活运用19（12分）设函数（）写出函数的最小正周期及单调递减区间；（）当x时，函数f（x）的最大值与最小值的和为，求f（x）的解析式；（）将满足（）的函数f（x）的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数g（x），求
20、g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换.专题：三角函数的图像与性质分析：（I）利用和差角公式，可将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据可得函数的周期，将相位角代入正弦函数的单调递减区间，求出x的范围，可得函数f（x）的单调递减区间（II）由x的范围，可求出相位角的范围，进而根据正弦函数的图象和性质，可求出函数的最值，进而得到a值，求出函数的解析式（III）根据函数图象的平移变换法则，伸缩变换法则，求出g（x）的解析式，代入积分公式，可得g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积解答：解（）函数=sin（2x+）
21、+a+=2，T=由+2k2x+2k，得+kx+k，（kZ），故函数f（x）的单调递减区间是+k，+k，（kZ）（II）x2x+sin（2x+），1当x时，原函数的最大值与最小值的和+a+1+a+=，解得：a=0f（x）=sin（2x+）+（3）将满足（）的函数f（x）sin（2x+）+的图象向右平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的2倍，再向下平移，得到函数g（x）=sinx的图象=cosx=1，即g（x）图象与x轴的正半轴、直线所围成图形的面积为1点评：本题考查的知识点是三角函数的化简，三角函数的周期性，单调性，最值，及函数图象的变换，是三角函数问题的综合应用，难度中档20（12分）已知递增
22、等比数列an满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2和a4的等差中项，（） 求数列an的通项公式；（）若，Sn=b1+b2+bn，求使Sn+n2n+162成立的正整数n的最小值考点：数列与不等式的综合；等比数列的通项公式；数列的求和.专题：综合题分析：（I）由题意，得，由此能求出数列an的通项公式（），Sn=b1+b2+bn=（12+222+n2n），所以数列bn的前项和Sn=2n+12n2n+1，使Sn+n2n+162成立的正整数n的最小值解答：解：（I）由题意，得，（2分）解得（4分）由于an是递增数列，所以a1=2，q=2即数列an的通项公式为an=22n1=2n（6分）（）（8分
23、）Sn=b1+b2+bn=（12+222+n2n）则2Sn=（122+223+n2n+1），得Sn=（2+22+2n）n2n+1=2n+12n2n+1即数列bn的前项和Sn=2n+12n2n+1（10分）则Sn+n2n+1=2n+1262，所以n5，即n的最小值为6（12分）点评：本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化21（12分）（2010延庆县一模）已知矩形ABCD中，BC=1以AB的中点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系xoy（1）求以A，B为焦点，且过C，D两点的椭圆的标准方程；（2）过点P（0，2）的直线l与（1）中的椭圆交于M，
24、N两点，是否存在直线l，使得以线段MN为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由考点：椭圆的标准方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质；直线与圆锥曲线的综合问题.专题：计算题；压轴题分析：（1）由题意可得点A，B，C的坐标，设出椭圆的标准方程，根据题意知2a=AC+BC，求得a，进而根据b，a和c的关系求得b，则椭圆的方程可得（2）设直线l的方程为y=kx+2与椭圆方程联立，根据判别式大于0求得k的范围，设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）根据韦达定理求得x1+x2和x1x2，进而根据若以MN为直径的圆恰好过原点，推断则，得知x1x2+y1y2=0，
25、根据x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后检验看是否符合题意解答：解：（1）由题意可得点A，B，C的坐标分别为设椭圆的标准方程是则2a=AC+BC，即，所以a=2所以b2=a2c2=42=2所以椭圆的标准方程是（2）由题意知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为y=kx+2由得（1+2k2）x2+8kx+4=0因为M，N在椭圆上，所以=64k216（1+2k2）0设M，N两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）则，若以MN为直径的圆恰好过原点，则，所以x1x2+y1y2=0，所以，x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=0，即（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0，所以，即，得
26、k2=2，经验证，此时=480所以直线l的方程为，或即所求直线存在，其方程为点评：本题主要考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的关系在设直线方程时一定要看斜率的存在情况，最后还要检验斜率k是否符合题意22（14分）已知函数f（x）的导数f（x）=3x23ax，f（0）=ba，b为实数，1a2（）若f（x）在区间1，1上的最小值、最大值分别为2、1，求a、b的值；（）在（）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；（）设函数F（x）=（f（x）+6x+1）e2x，试判断函数F（x）的极值点个数考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线
27、上某点切线方程.专题：综合题；压轴题；分类讨论分析：（）由函数的导数可确定f（x）的表达式，先确定函数在区间1，1上的单调性，从而确定了最值建立了关于a，b的方程，即可求得其值（）由（）得到了函数的解析式，确定点P（2，1）的位置：在函数的图象上，对P是否为切点讨论，利用导数求切线的斜率，可得切线方程（）先求出F（x），通过对其符号的探讨得函数的单调性，从而确定极值点的个数解答：解：（）由已知得，由f（x）=0，得x1=0，x2=ax1，1，1a2，当x1，0）时，f（x）0，f（x）递增；当x（0，1时，f（x）0，f（x）递减f（x）在区间1，1上的最大值为f（0）=b，b=1又，f（1）
28、f（1），即，得故，b=1为所求（）解：由（1）得f（x）=x32x2+1，f（x）=3x24x，点P（2，1）在曲线f（x）上（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f（x）|x=2=4，l的方程为y1=4（x2），即4xy7=0（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x0，y0）（x02），切线l的斜率，l的方程为yy0=（3x024x0）（xx0）又点P（2，1）在l上，1y0=（3x024x0）（2x0），1（x032x02+1）=（3x024x0）（2x0），x02（2x0）=（3x024x0）（2x0），x02=3x024x0，即2x0（x02）=0，x0=0切线l的方程为y=
29、1故所求切线l的方程为4xy7=0或y=1（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意）（）解：F（x）=（3x23ax+6x+1）e2x=3x23（a2）x+1e2xF（x）=6x3（a2）e2x+23x23（a2）x+1e2x=6x26（a3）x+83ae2x二次函数y=6x26（a3）x+83a的判别式为=36（a3）224（83a）=12（3a212a+11）=123（a2）21，令0，得：令0，得e2x0，1a2，当时，F（x）0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程F（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点点评：本题考查导数在最大值，最小值中的应用，学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值及极值，注意分类讨论思想方法的体现高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
