1、高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！第四节 数系的扩充与复数的引入最新考纲 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义1复数的有关概念(1)复数的概念：形如 abi(a，bR)的数叫复数，其中 a，b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 abi 为实数，若 b0，则 abi 为虚数，若 a0 且 b0，则 abi 为纯虚数(2)复数相等：abicdiac，bd(a，b，c，dR)(3)共轭复数：abi 与 cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR)(4)复数的模：向
2、量OZ的模 r 叫做复数 zabi 的模，即|z|abi|a2b2.2复数的几何意义复 数z a bi复 平 面 内 的 点Z(a，b)平面向量OZ(a，b)3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则加法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；减法：z1z2(abi)(cdi)(ac)(bd)i；乘法：z1z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i；除法：z1z2abicdiabicdicdicdiacbdc2d2 bcadc2d2 i(cdi0)(2)复数加法的运算定律高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵
3、权必究！复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z1，z2，z3C，有 z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)常用结论1(1i)22i；1i1ii；1i1ii.2i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN*)3z z|z|2|z|2，|z1z2|z1|z2|，z1z2|z1|z2|，|zn|z|n.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 aC，则 a20.()(2)已知 zabi(a，bR)，当 a0 时，复数 z 为纯虚数()(3)复数 zabi(a，bR)的虚部为 bi.()(4)方程 x2x10 没有解()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1若复数
4、z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数 x 的值为()A1 B0C1 D1 或 1A z 为纯虚数，x210，x10，x1.2在复平面内，向量AB对应的复数是 2i，向量CB对应的复数是13i，则向量CA对应的复数是()A12i B12iC34i D34iD CACBBACBAB13i2i34i，故选 D.3设复数 z 满足1z1zi，则|z|等于()A1 B.2 C.3 D2高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！A 1z1zi，则 zi11ii，|z|1.4已知(12i)z 43i，则 z.2i 由(12i)z 43i 得 z 43i12i43i12i52i.z2i.
5、考点 1 复数的概念 复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 abi(a，bR)的形式，再根据题意列方程(组)求解 1.若复数(m2m)mi 为纯虚数，则实数 m 的值为()A1 B0 C1 D2C 由纯虚数的概念得m2m0，m0，得 m1，故选 C.2(2019长沙模拟)已知 i 为虚数单位，若复数 za12ii(aR)的实部与虚部互为相反数，则 a()A5 B1 C13D53D za12iia12i12i12iia52a55i，因为复数 za12ii(aR)的实部与虚部互为相反数，所以a52a
6、55，解得 a53.故选 D.高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！3(2019唐山模拟)已知 z1i2i，则 z(z 的共轭复数)为()A3i B3iC3i D3iC 由题意得 z(2i)(1i)3i，所以 z 3i，故选 C.4(2018全国卷)设 z1i1i2i，则|z|()A0 B.12C1 D.2C 法一：因为 z1i1i2i1i21i1i2ii2ii，所以|z|1，故选 C.法二：因为 z1i1i2i1i2i1i1i1i1i，所以|z|1i1i|1i|1i|221，故选 C.解决此类时，一定要先看复数是否为 abi(a，bR)的形式，以确定实部和虚部考点 2
7、复数的运算 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化解题中要注意把 i 的幂写成最简形式(1)(2019全国卷)若 z(1i)2i，则 z()A1i B1iC1i D1i(2)计算：2i1i212i()高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！A2 B2 C2i D2i(3)(2019惠州模拟)已知复数 z 的共轭复数为 z，若 z(1i)2i(i 为虚数单位)，则 z(
8、)Ai Bi1Ci1 Di(4)(2019武汉调研)已知复数 z 满足 z|z|1i，则 z()Ai BiC1i D1i(1)D(2)A(3)C(4)B(1)由题意得 z 2i1i2i1i1i1i1i，故选D.(2)2i1i212i2i2i12i24i12i2，故选 A.(3)由已知可得 z 2i1i2i1i1i1i1i，则 z1i，故选 C.(4)法一：设 zabi(a，bR)，则 z|z|(a a2b2)bi1i，所以a a2b21，b1，解得a0，b1，所以 zi，故选 B.法二：把各选项代入验证，知选项 B 满足题意(1)在只含有 z 的方程中，z 类似于代数方程中的 x，可直接求解；
9、(2)在含有 z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设 zabi，a，bR，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于 a，b 的方程组，求出 a，b，从而得出复数 z.1.(2018全国卷)(1i)(2i)()A3i B3iC3i D3iD(1i)(2i)2i2ii23i.2对于两个复数 1i，1i，有下列四个结论：1；i；高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！1；220，其中正确结论的个数为()A1 B2 C3 D4C(1i)(1i)2，不正确；1i1i1i21i1ii，正确；|i|1，正确；22(1i)2(1i)22i2i0，正确3(2019贵阳模拟)设 i 为虚
10、数单位，复数 z 满足 i(z1)1，则复数 z()A1i B1iC1i D1iC 由题意，得 z1i11i，故选 C.4已知 a 为实数，若复数 z(a21)(a1)i 为纯虚数，则ai2 0201i()A1 B0C1i D1iD z(a21)(a1)i 为纯虚数，则有 a210，a10，得 a1，则有1i2 0201i 111i21i1i1i1i.考点 3 复数的几何意义 与复数几何意义相关的问题的一般解法 第一步，进行简单的复数运算，将复数化为标准的代数形式；第二步，把复数问题转化为复平面的点之间的关系，依据是复数 abi 与复平面上的点(a，b)一一对应(1)(2019全国卷)设复数
11、z 满足|zi|1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！(2)(2019全国卷)设 z32i，则在复平面内 z 对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限(3)已知 z(m3)(m1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是()A(3,1)B(1,3)C(1，)D(，3)(1)C(2)C(3)A(1)设复数 z 与 i 分别表示复平面内的点 Z 与点 P，则P(0,1)，且|zi|表示复平面内点 Z 与点 P 之间的距离，
12、所以点 Z(x，y)到点 P(0,1)的距离为定值 1，所以 Z 的轨迹是以(0,1)为圆心，1 为半径的圆，故选 C.(2)z32i，z 32i，在复平面内，z 对应的点为(3，2)，此点在第三象限(3)由已知可得复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(m3，m1)，所以m30，m10，解得3m1，故选 A.复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可 1.如图，在复平面内，复数 z1，z2 对应的向量分别是OA，OB，则复数 z1z2 对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限D 由已知OA(2，1)，OB(0,1)，所以
13、z12i，z2i，z1z21高考资源网（）您身边的高考专家高考资源网版权所有，侵权必究！2i，它所对应的点为(1，2)，在第四象限2若复数 z 满足|zi|2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为2 设 zxyi(x，yR)，由|zi|2得|x(y1)i|2，所以x2y12 2，所以 x2(y1)22，所以 z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以 2为半径的圆及其内部，它的面积为 2.3已知复数 z112i，z21i，z334i，它们在复平面内对应的点分别为 A，B，C，若OC OA OB(，R)，则 的值是1 由条件得OC(3，4)，OA(1,2)，OB(1，1)，根据OC OA OB 得(3，4)(1,2)(1，1)(，2)，所以3，24解得1，2，所以 1.
