1、（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）12.设是双曲线的左右焦点，是坐标原点，过的一条直线与双曲线和轴分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件得到=，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，再由双曲线定义A=2a，可得.【详解】，得到|，=，又，连接A，在三角形中，由余弦定理可得A，又由双曲线定义A=2a，可得，=，故选D.【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用及离心率的求法，综合考查了三角形中余弦定理的应用，属于中档题.（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）10.如果是抛物线上的点，它们的横坐标，是抛物线的
2、焦点，若，则（ ）A. 2028 B. 2038 C. 4046 D. 4056【答案】B【解析】【分析】由抛物线性质得|PnF|xn+1，由此能求出结果【详解】P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，,（x1+1）+（x2+1）+（x2018+1）x1+x2+x2018+20182018+20=2038故选：B【点睛】本题考查抛物线中一组焦半径和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线的性质的合理运用（山东省德州市2019届高三期末联考数学（文科）试题）3.已知抛物线的准线与圆相切，则抛物线方程为（ ）A. B. C. D.
3、【答案】D【解析】【分析】由抛物线准线与圆x2+y22x80相切，知1+3，解得p4,即得到方程【详解】圆x2+y22x80转化为（x1）2+y29，抛物线y22px（p0）的准线为x，抛物线y22px（p0）的准线与圆x2+y22x80相切，1+3，解得p4抛物线方程为：y28x故选：D【点睛】本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）10.已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，当周长最小时，所在直线的斜率为（ ）A. B. C. D.
4、 【答案】A【解析】【分析】本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上，计算点P的坐标，计算斜率，即可。【详解】结合题意，绘制图像要计算三角形PAF周长最小值，即计算PA+PF最小值，结合抛物线性质可知，PF=PN，所以，故当点P运动到M点处，三角形周长最小，故此时M的坐标为，所以斜率为，故选A。【点睛】本道题考查了抛物线的基本性质，难度中等。（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（理科）试题）4.双曲线：，当变化时，以下说法正确的是（ ）A. 焦点坐标不变 B. 顶点坐标不变 C. 渐近线不变 D. 离心率不变【答案】C【解析】【分析】本道题结合双曲线的基本性质，即可。【详
5、解】当由正数变成复数,则焦点由x轴转入y轴，故A错误。顶点坐标和离心率都会随改变而变，故B,D错误。该双曲线渐近线方程为，不会随改变而改变，故选C。【点睛】本道题考查了双曲线基本性质，可通过代入特殊值计算，即可。难度中等。（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）9.已知是双曲线：的右焦点，直线与双曲线交于，两点，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算出M,N,F坐标，然后结合，代入坐标，计算，即可。【详解】分别计算M,N的坐标,得到 ,结合，得到，所以结合，得到,所以，故选A。【点睛】本道题考查了向量坐标运算，难度中等
6、。（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）13.已知是双曲线：的一个焦点，则的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】本道题结合焦点坐标,计算出m，即可。【详解】,解得,所以双曲线方程为,所以渐近线方程为【点睛】本道题考查了双曲线的基本性质，难度较小。 （湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）8.如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再
7、由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得ab，进而得到双曲线的离心率【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x2a，代入双曲线的方程可得yb，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（a，0），即|AP|2a，即有2a，可得ab，e，故选：A【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题（湖北省2019届高三1月联考测试数学（理）试题）12.设，是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则（ ）A. B. 以为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点 D. 到直线的距离
8、不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，y0），由斜率之积为，可得，即，MN的直线方程为x2；当直线的斜率存在时，设直线方程为ykx+m，联立，可得ky2y+m0设M（x1，y1），N（x2，y2），则，即m2k直线方程为ykx2kk（x2）则直线MN过定点（2，0）则O到直线MN的距离不大于2故选：D【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）5
9、.过抛物线的焦点作斜率为的直线，与抛物线在第一象限内交于点，若，则（ ）A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B【解析】【分析】设A，根据抛物线的定义知，又 ，联立即可求出p.【详解】设A，根据抛物线的定义知,又 ，联立解得，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及斜率公式，属于中档题.（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）5.若双曲线与直线有交点,则其离心率的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的焦点在x轴，一条渐近线方程为，只需这条渐近线比直线的斜率大，即，选C.（福建省宁德市2019届高三第一学期期末质量检测数学文科试题）20.在
10、平面直角坐标系中，过动点作直线的垂线，垂足为，且满足，其中为坐标原点，动点的轨迹为曲线.（）求曲线的方程；（）过点作与轴不平行的直线，交曲线于，两点，点，记，分别为，的斜率，求证：为定值.【答案】（）（）详见解析【解析】【分析】解法一：（I）用x,y分别表示，结合，构造等式，即可。（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。解法二：（I）设出P,Q坐标，结合，建立方程，即可。（II）设出直线l的方程，代入抛物线方程，设出M,N的坐标，结合根与系数关系，计算，即可。解法三（I）利用向量数量积关系，建立方程，计算结果，即可。（II）与解法一、二相同。【
11、详解】解法一：（）设，则，.，代入整理得，曲线的方程为.（）设直线的方程为，联立，整理得，设，则，为定值.解法二：（）设，则，.整理得，曲线的方程为.（）依题意得，直线的方程为，联立，整理得，设，则，为定值.解法三：（）设，则，.整理得，曲线的方程为.（）同解法一，解法二.【点睛】本小题主要考查直线、抛物线，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）20.已知抛物线：与椭圆：有相同的焦点，且两曲线相交于点，过作斜率为的动直线，交椭圆于，两
12、点.（）求抛物线和椭圆的方程；（）若为椭圆的左顶点，直线，的斜率分别为，求证：为定值，并求出该定值.【答案】（）抛物线的方程为；椭圆的方程为：（）4【解析】【分析】（I）把点坐标代入抛物线方程，计算p值，即可。结合椭圆性质，建立方程，即可。（II）设出直线l的方程，联解椭圆方程，设出M，N坐标，用坐标表示，结合根与系数关系，即可求得定值。【详解】解法一：（）点在抛物线：上，解得，抛物线的方程为.椭圆的左、右焦点分别为和.，所以椭圆的方程为：.（）设的方程为.由，消去整理得：.设，则，故 .综上，.解法二：（）点在抛物线：上，解得，抛物线的方程为.椭圆的左、右焦点分别为和，即.又点在椭圆上，即，
13、解得，（舍去）.，所以椭圆的方程为：.（）同解法一.【点睛】本题主要考查直线、椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力.（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高三第二次联合调研考试数学（理）试题）10.过点的直线交抛物线于、两点(异于坐标原点),若，则该直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设直线AB的方程为 联立 ，化为 ，即 （*） 或 满足（*）但是当 直线方程为时，与抛物线的有关交点为原点，不满足 ，应该舍去该直线的方程为 即故选B（广西桂林、贺州、崇左三市2018届高
14、三第二次联合调研考试数学（理）试题）8.已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线上第二象限内一点，若直线恰为线段的垂直平分线，则双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设，渐近线方程为，对称点为，即有，且，解得，将，即，代入双曲线的方程可得，化简可得，即有e2=5，解得，故选C点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题；设出的坐标，渐近线方程为，对称点为，运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值.
15、（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）10.已知F1，F2是焦距为8的双曲线E：的左右焦点，点F2关于双曲线E的一条渐近线的对称点为点A，若AF14，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】由题意知AF2=4，结合点到直线的距离与双曲线中a、b、c间得关系得到，解得结果.【详解】如下图，因为A为F2关于渐近线的对称点，所以，B为AF2的中点，又O为F1F2的中点，所以，OB为三角形AF1F2的中位线，所以，OBAF1，由AF2OB，可得AF2AF1，AF2=4，点F2（4,0），渐近线：x，所以，解得：b2，2，所以离心率为e
16、2,故选C.【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查勾股定理的运用及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）7.抛物线的焦点为F，P是抛物线上一点，过P作y轴的垂线，垂足为Q，若PF，则PQF的面积为（ ）A. 3 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由条件结合抛物线定义可知P的横坐标为x3，代入抛物线方程得点P的纵坐标的绝对值，则可求PQF的面积.【详解】依题意，得F（，0），因为PF4，由抛物线的性质可知：PQ4，即点P的横坐标为x3，代入抛物线，得点P的纵坐标的绝对值为：y2，所以，PQF的面积为：S，故选D
17、.【点睛】本题主要考查了抛物线的简单应用涉及抛物线的焦点问题时一般要考虑到抛物线的定义，考查计算能力（江西省新余市2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）11.是经过双曲线焦点且与实轴垂直的直线,是双曲线的两个顶点,若在上存在一点,使,则双曲线离心率的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题设可知,即,解之得,即,故.应选A.考点：双曲线的几何性质及运用.【思路点晴】本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和基本不等式的综合运用，属于难题本题利用双曲线的几何特征,建立关于为变量的正切函数的函数关系式，通过计算求得,即,由此计算得双曲线的离心率（湖南省长沙市2019
18、届上学期高三统一检测理科数学试题）11.已知抛物线的焦点为，点在上，.若直线与交于另一点，则的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本道题结合抛物线性质，分别计算A,B的坐标，结合两点距离公式，即可。【详解】结合抛物线的性质可得，所以抛物线方程为，所以点A坐标为，所以直线AB的方程为，代入抛物线方程，计算B的坐标为，所以，故选C。【点睛】本道题考查了抛物线性质以及两点距离公式，难度中等。（湖南省长沙市2019届上学期高三统一检测理科数学试题）6.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆过点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析
19、】【分析】本道题结合双曲线的性质，计算渐近线方程以及圆的方程，计算面积，即可。【详解】渐近线方程为，该圆的方程为，则其中一个点P的坐标为，所以，故选C。【点睛】本道题考查了双曲线性质以及圆方程计算方法，难度中等。（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）11.已知抛物线的焦点为，点 在上，.若直线与交于另一点，则的值是（ ）A. 12 B. 10 C. 9 D. 4.5【答案】C【解析】【分析】由点A在抛物线上得点A坐标，又F(2,0)，设直线AF方程并与抛物线方程联立，利用抛物线的定义即可得到弦长.【详解】法一：因为 在上，所以，解得或（舍去），故直线的方程为，由，消去，得，解
20、得，由抛物线的定义，得，所以.故选.法二：直线过焦点，又，所以，故选.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查利用抛物线定义求过焦点的弦长问题，考查学生计算能力.（湖南省长沙市2019届高三上学期统一检测文科数学试题）7.已知，是双曲线的上、下焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，则的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程得到渐近线方程和以为直径的圆的方程，设点P坐标，根据点P在渐近线上和圆上，得点P坐标，从而可得三角形的面积.【详解】等轴双曲线的渐近线方程为，不妨设点在渐近线上，则以为直径的圆为又在圆上，解得，故选：.【点睛】本题考查双曲
21、线方程和渐近线的简单应用，考查三角形面积的求法，属于基础题.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（均不与坐标原点重合），已知抛物线的焦点到直线距离的最大值为3，则（ ）A. B. 2 C. 3 D. 6【答案】B【解析】【分析】设直线的方程为，把直线方程代入抛物线方程，利用根与系数的关系，求得，再由，列出方程，求得.进而得到抛物线的焦点到直线距离的最大值，求得的值，得到答案。【详解】设直线的方程为，把直线方程代入抛物线方程，得，所以，.因为，所以，即，解得，所以.所以直线恒过点，则抛物线的焦点到直线距离的最大值为，即
22、.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理应用抛物线的几何性质，以及把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题与解答问题的能力，属于中档试题。（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题）4.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又由双曲线的渐近线互相垂直，所以，进而可求解双曲线的方程，得到答案。【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方
23、程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质，合理、准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）11.过原点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于两点（均不与坐标原点重合），已知抛物线的焦点到直线距离的最大值为3，则（ ）A. B. 2 C. 4 D. 6【答案】B【解析】【分析】先设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理可得，再由，即可求出，从而可确定结果.【详解】设直线的方程为，把直线方程代入抛物线方程，得，所以，.因为，所以，即，解得
24、，所以，所以直线恒过点，则抛物线的焦点到直线距离的最大值为，即.【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常情况下要先设直线方程与交点坐标，联立直线与曲线方程，结合韦达定理和题中条件，即可得到参数之间关系，属于中档题型.（湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题）4.以双曲线的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知双曲线先求出所求双曲线的顶点坐标，再由所求双曲线的渐近线互相垂直，可得，从而可得双曲线方程.【详解】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为，又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以，则该双曲线的方程为.
25、【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质，属于基础题型.（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）6.已知双曲线，它的一个顶点到较近焦点的距离为 1 ，焦点到渐近线的距离是，则双曲线的方程为 A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得ca1，求出渐近线方程和焦点的坐标，运用点到直线的距离公式，可得b，由a，b，c的关系，可得a，进而得到所求双曲线的方程【详解】双曲线的一个顶点（a，0）到较近焦点（c，0）的距离为1，可得ca1，由双曲线的渐近线方程为yx，则焦点（c，0）到渐近线的距离为db，又c2a2b25，解得a2，c3，所以双曲线的方程为1故选：B【点睛】本题
26、考查双曲线的方程的求法，注意运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题（广东省肇庆市2019届高三第二次（1月）统一检测数学文试题）8.已知双曲线的中心为坐标原点，一条渐近线方程为，点在上，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先排除渐近线不含的选项，然后将点的坐标代入剩余选项中，符合的即是正确选项.【详解】由于C选项的中双曲线的渐近线方程为，不符合题意，排除C选项.将点代入A,B,D三个选项，只有B选项符合，故本题选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查点在曲线上的概念，属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学
27、业水平考试文科数学试题）14.已知双曲线 的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_；【答案】2【解析】【分析】根据渐近线方程求得的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率.【详解】由于双曲线的一条渐近线为，故.所以双曲线离心率.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题）6.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，则直线的斜率为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程，求得的值，由此求得抛物线焦点的坐标，根据两点求斜率的公式求得直线的斜率.【详解】将坐标代入抛
28、物线方程得，故焦点坐标，直线的斜率为，故选C.【点睛】本小题主要考查待定系数法求抛物线的方程，考查抛物线的几何性质，考查已知两点坐标求直线斜率的公式.属于基础题.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）11.已知双曲线C： 的左、右焦点分别为，坐标原点O关于点的对称点为P，点P到双曲线的渐近线距离为，过的直线与双曲线C右支相交于M、N两点，若，的周长为10，则双曲线C的离心率为( )A. B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】依题意得到点的坐标，利用点到渐近线的距离列方程，求得的值，根据双曲线的定义得周长的表达式，由此列方程求得，的值，进而求得双曲线
29、的离心率.【详解】依题意得点P，由双曲线的定义得周长为，由此得，故【点睛】本小题主要考查点和点对称的问题，考查点到直线距离公式，考查双曲线的定义以及双曲线离心率的求法，考查分析与求解的能力.属于中档题.双曲线的渐近线方程是.根据双曲线的定义，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为.（广东省揭阳市2018-2019学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题）8.若点在抛物线上，记抛物线的焦点为，直线与抛物线的另一交点为B，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将点的坐标代入抛物线方程求得的值，由此求得焦点的坐标，由此求得的值，联立直线的方程与抛物线的方程求得点的坐标，由此
30、求得的值，而的夹角为，最后利用数量积的运算求得的值【详解】依题意易得，由抛物线的定义得，联立直线AF的方程与抛物线的方程消去y得，得, 则,故 .故选D.【点睛】本小题主要考查抛物线标准方程的求法，考查直线和抛物线交点坐标的求法，考查了向量数量积的运算.属于基础题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）11.双曲线：的左、右焦点分别为，过作一条直线与两条渐近线分别相交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】C【解析】【详解】如图所示，连接，又由，且为的中点，所以，因为，即，所以A为线段的中点，又由于为的中点，所以，所以，所以，又由直线OA与
31、OB是双曲线的两条渐近线，则，所以，则，所以双曲线的离心率为，故选C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答本题的关键在于将问题的几何要素进行合理转化，得到的关系式，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）6.已知抛物线：的焦点为，点在上，的中点坐标为，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，根据点A在曲线C上，AF的中点坐标为，利用中点公式可得，可得，代入抛物线的方程，求得，即可得到抛物线的方程.【详解】由抛物线，可得焦点为，点A在曲线C上，AF的中点坐标为，由中点
32、公式可得，可得，代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为，故选B.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据题设条件和中点公式，求得点A的坐标，代入求得的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检理科数学试题）10.直线与双曲线：的一条渐近线平行，过抛物线：的焦点，交于两点，若，则的离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意，根据双曲线的渐近线方程，求得直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，再根据抛物线的定义得到弦长， 求得，即可求解双曲线的离心率.【
33、详解】由题意，双曲线的一条渐近线的方程为，设直线的方程为又由抛物线的焦点，则，即，所以直线的方程为设，联立，得，所以，根据抛物线的定义可知，即，即，又由，所以，所以，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟记双曲线的几何性质，以及抛物线的标准方程与几何性质和抛物线的焦点弦的性质的合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）9.已知双曲线的一个顶点到其渐近线的距离等于，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】求出双曲线 的渐近线方程，从而可得顶点到渐近线的距离，进
34、而可得c，b的关系，从而可求双曲线的离心率【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为yx即bxay=0，顶点到渐近线的距离为 双曲线（a，b0）的顶点到渐近线的距离等于=c=2b，故选B.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，考查点到直线的距离公式的运用，考查双曲线的几何性质，属于中档题（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）15.已知为双曲线的右焦点，若直线与交于，两点，且，则的离心率等于_.【答案】【解析】【分析】本道题先设出A,B坐标,然后利用直角三角形性质,建立等式,计算e，即可。【详解】设结合直角三角形满足的定理可知,将AB直线方程,代入双曲线方程,得到:,而,结合代入AB中,得
35、到,解得,即可.【点睛】本道题考查了直线与双曲线位置关系问题，难度较大。（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）11.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，交于，过，分别作轴的平行线，分别交于，两点.若，的面积等于，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本道题结合题意，得出的值，然后探究和GB的关系，进一步计算出NB，将直线方程代入抛物线方程，利用根与系数关系，计算p值，即可。【详解】结合抛物线的性质可知，所以结合得到对于三角形AGB，该三角形为直角三角形，所以，代入，得到故，所以直线AB的斜率为，设直线AB方程为，代入抛物线方程，得到，而B
36、点横坐标为，A点横坐标为故，计算，所以抛物线方程为，故选D。【点睛】本道题考查了抛物线的性质，难度较大。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题）5.已知双曲线的一个焦点为，一条渐近线的斜率为，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线渐近线方程为，可得到，结合与，可求出、，进而得到答案。【详解】因为双曲线的渐近线方程为，所以，则，解得，故双曲线方程为：.故选A.【点睛】本题考查了双曲线方程的求法，考查了双曲线的渐近线，属于基础题。（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）11.已知抛物线与点，过的
37、焦点且斜率为的直线与交于两点，若，则（ ）A. 2 B. C. 1 D. 4【答案】A【解析】【分析】联立直线方程与抛物线方程，设两点坐标，表示出，求出的值【详解】抛物线的焦点坐标为（1，0）则直线方程为设,联立方程可得,则即,故有即,故选A【点睛】本题考查了直线与抛物线之间的位置关系，运用设而不求的方法，表示出点坐标求出结果，需要掌握此类题目的解题方法，并能熟练计算出结果（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）6.若点是以为焦点的双曲线上一点，且满足，则此双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由双曲线定义和勾股定理计算出双曲线离
38、心率【详解】，,，则,则故选B【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，运用双曲线定义和勾股定理即可计算出结果，需要掌握解题方法（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）10.已知双曲线的左、右焦点分别，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意知，三角形为等边三角形，从而可以得到，即可求出离心率。【详解】由题意知，三角形为等边三角形，则，则，解得，故离心率为，答案为A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率的求法，属于基础题。（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）16.双曲线：的右焦
39、点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支相交于，两点，若的一个内角为，则的渐近线方程为_【答案】【解析】【分析】由题意可得，又，的一个内角为60，即有PFB为等腰三角形，运用双曲线的定义和的关系，计算即可得到所求【详解】如图,设左焦点为F1，圆于x轴的另一个交点为B，的一个内角为，在PFF1中,由余弦定理可得.，.的渐近线方程为，即.故答案为：.【点睛】求双曲线的渐近线方程时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用，通过解方程求解即可（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）7.已知抛物线的焦点为，点为上一动点，且的最小值为，则等于（ ）A.
40、B. 5 C. D. 4【答案】C【解析】分析：先设，再根据的最小值为求出p的值，再求|BF|的长得解.详解：设，则因为，所以或（舍去）.所以故答案为：C点睛：（1）本题主要考查抛物线的基础知识.(2)解答本题的关键是转化的最小值为，主要是利用函数的思想解答.处理最值常用函数的方法，先求出函数|PA|的表达式再求函数在的最小值.（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）16.已知双曲线C：（a0，b0），圆M：若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最小值时，C的实轴长为_【答案】4【解析】【分析】设渐近线方程为，由点到直线的距离公式可得，则，利用导数研究函数的单调性可得在
41、上递减，在上递增，时，有最小值，从而可得结果.【详解】设渐近线方程为，即，与相切，所以圆心到直线的距离等于半径，时，；时，在上递减，在上递增，时，有最小值，此时实轴，故答案为4.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系以及利用导数研究函数的单调性与最值，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型，主要是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系.（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考（五）数学（文）试题）12.已知直线l1，l2是双曲线C：的两条渐近线，点P是双曲线C上一点，若点P到渐近线l1的距离的取值范围是，则点P到渐近线l2的距离
42、的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设出点P坐标,写出双曲线渐近线方程，利用点到直线的距离公式和点P在双曲线上可得到点P到两渐近线的距离乘积为定值，利用点P到直线的距离的范围可得到距离的范围.【详解】设点，由题可设渐近线，渐近线，由点到直线的距离，点P到直线的距离，有，又，即，则，则，由与成反比.且，所以，故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，点到直线的距离公式，双曲线上的点到渐近线的距离之积为定值，是中档题（湖南师范大学附属中学2019届高三上学期月考（四）数学（理）试题）15.已知双曲线，过轴上点的直线与双曲线的右支交于，两点（在第一象限），直线交双
43、曲线左支于点（为坐标原点），连接.若，则该双曲线的渐近线方程为_ .【答案】【解析】【分析】由题意可知：，关于原点对称，得到，分别求出相应的斜率，再根据离心率公式，即可求解.【详解】由题意可知：，关于原点对称，又由，则，渐近线方程为.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中根据双曲线的对称性，得到关于原点对称，得到，分别求出相应的斜率，求得的值是解答的关键，重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）10.已知倾斜角为的直线交双曲线于两点，若线段的中点为，则的离心率是（ ）A. B. C. D
44、. 【答案】C【解析】设 ,因为AB的中点为P(2,-1) ,所以 又 两式相减并整理可得 解得 ，从而离心率 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）9.若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】
45、通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可【详解】双曲线的一条渐近线不妨为：，圆的圆心(2,0)，半径为：2，双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：,可得e2=4，即e=2.故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）12.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，是双曲线上的两点，且,，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得在中，由余弦定理得，整理得，解得或（舍去），为直角三
46、角形，且在中，即，即该双曲线的离心率为选B点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围（2）对于焦点三角形，要注意双曲线定义的应用，运用整体代换的方法可以减少计算量（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题）15.【2018年全国卷文】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点若，则_【答案】2【解析】分析：利用点差法进行计算即可。详解：设则所以所以取AB中点,分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为因为,因为M为AB中点，所以MM平行于x轴因为M
47、(-1,1)所以，则即故答案为2.点睛：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设，利用点差法得到，取AB中点, 分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线的性质得到，进而得到斜率。（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）16.已知双曲线的上焦点为，下、上顶点分别为，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，连接交轴于点，若，三点共线，则双曲线的离心率为_【答案】5【解析】【分析】根据，得，又由三点共线，得到，所以，整理得，即可求解,得到答案.【详解】设为坐标原点，因为垂直于轴，且,所以，根据，得，即，又由，三点共线，知，所以，即，整理得，所以双曲线的离心率
48、为，故答案为.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中把又由三点共线，根据，利用相似求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）5.已知直线：与抛物线：，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】当时，直线与抛物线恰有一个公共点，满足题意；当直线与抛物线相切时，联立方程组，根据，即可求解，得到答案【详解】由题意，当时，直线与抛物线相交，恰有一个公共点，满足题意；当直线与抛物线相切时，联
49、立直线与抛物线方程，消去，得，则，解得.故直线与抛物线恰有一个公共点时，或0.故选A.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与抛物线位置关系的判定方法，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题（江苏省南通市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（文）10.若点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则_【答案】【解析】【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式列出方程求解即可【详解】双曲线的一条渐近线方程为：，点到双曲线的一条渐近线的距离为1，可得：，解得故答案为：【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线的求
50、法，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学（理）试题）10.以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，与轴交于两点，若，则双曲线的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆与轴相切于的一个焦点，且圆心在双曲线上，可确定圆心坐标和半径，再由弦长，即可求出结果.【详解】因为以双曲线上一点为圆心作圆，该圆与轴相切于的一个焦点，所以轴；不妨令在第一象限，所以易得，半径；取中点，连结，则垂直且平分，所以；又，所以，即，因此，解得.故答案为A【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，根据题意，结合双曲线的性质即可求解，属于常考
51、题型.（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）4.已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，若右支上有点满是，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，在及中利用余弦定理，分别表示出.再利用双曲线定义列方程即可求解。【详解】设， 由题可得：,在中，由余弦定理可得：，整理得：.在中，由余弦定理可得：，整理得：.由双曲线定义得：，即：.整理得：.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理及双曲线定义，属于基础题。（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）10.已知抛物线的焦点为，其准线
52、与轴交于点，过点作直线交抛物线于两点，若且，则的值为（ ）A. 1B. 2C. 4D. 8【答案】B【解析】【分析】假设存在，设直线AB的方程为：，代入抛物线方程，可得根与系数的关系，由可求得，再利用即可求解。【详解】当不存在时，直线与抛物线不会交于两点。当存在时，设直线AB的方程为：，则有：，联立直线与抛物线方程得：，整理得：，所以，所以，又，所以，整理得：，即：.解得：因为，所以又，代入得：.解得：故选：B【点睛】本题主要考查了韦达定理及向量垂直的坐标关系，考查方程思想及抛物线定义，考查计算能力及转化能力，属于中档题。（广东省广州市天河区2019届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）14
53、.已知抛物线C：的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，M是抛物线C上的点，且轴若以AF为直径的圆截直线AM所得的弦长为2，则_【答案】【解析】【分析】由抛物线的定义和简单几何性质可以利用表示出三点坐标，再表示出圆的方程与直线的方程，利用弦长构造出关于的方程，求得结果。【详解】由题意可得大致图形如下：由可得：，由抛物线的对称性可知，取与结果一致，不妨令以为直径的圆的方程为：；直线方程为：设圆心到直线距离为，则直线被圆解得弦长为： 本题正确结果：【点睛】本题考察了抛物线的定义和简单几何性质，以及直线被圆截得的弦长问题。解题关键是利用直线被圆截得弦长等于快速构造出关于的方程。（广东省广州市天河区201
54、9届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题）11.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，离心率为e，过点的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，若，且，则( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】如图：，设，则，由双曲线定义可得：，故，解得则在中，由勾股定理可得：即得故选点睛：本题考查了直线与双曲线的位置关系，依据题意得到直角三角形，本题的关键是求出三角形三边的长度与的数量关系，借助勾股定理求出离心率的取值，本题属于中档题，需要理解关键步骤。（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题）10.已知点是双曲线右支上一点，、分别是双曲线的左、右焦点，为的内心，若成立，则双曲线
55、的离心率为A. 4B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】设圆M与的三边、分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，可得，可看作三个高相等且均为圆I半径r的三角形利用三角形面积公式，代入已知式，化简可得，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率【详解】如图，设圆M与的三边、分别相切于点E、F、G，连接ME、MF、MG，则，它们分别是，的高，其中r是的内切圆的半径两边约去得：根据双曲线定义，得，离心率为故选：C【点睛】本题将三角形的内切圆放入到双曲线当中，用来求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的基本性质、三角形内切圆的性质和面积计算公式等知识点，属于中档题（江西省上饶市
56、重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）11.设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则，进而可求出e的范围.【详解】要使直线与双曲线的右支相交不同的两点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线即 ，所以 ，所以 故选：A【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，正确寻找几何量之间的关系是关键，属于基础题.（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）15.已知抛物线的焦点为，设为该抛物线上一点，则周长的最小值为_【
57、答案】3【解析】【分析】由抛物线的标准方程， 求出焦点坐标和准线方程，设为到准线的距离，利用抛物线的定义可得 +即可【详解】抛物线的标准方程为 x24y，p2，焦点，准线方程为y1设到准线的距离为（即垂直于准线，为垂足），设为到准线的距离（为垂足），由抛物线的定义得 + ，（当且仅当共线时取等号），故答案为： 3【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）11.已知抛物线x216y的焦点为F，双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|PF1|的最小值为（ ）A. 5B. 7C
58、. 9D. 11【答案】C【解析】【分析】由题意并结合双曲线的定义可得，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值【详解】由题意得抛物线的焦点为，双曲线的左、右焦点分别为点是双曲线右支上一点，当且仅当三点共线时等号成立，的最小值为9故选C【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）11.已知双曲线，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线，交双曲线于M，N两点若，则双曲线C的离心率为（）A.
59、 3B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出a、b、c的关系，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由题意可知：，解得tanMAF=3，可得： ，可得c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e1，解得e=2故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力（广东省江门市2019届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题）10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若是等边三角形，则该双曲线的离心率（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详
60、解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到 故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）8.设点为双曲线和圆的一个交点，若，其中为双曲线的两焦点，则双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】a2+b2c2，知圆C必过双曲线E的两个焦点，
61、则|M|c，c，由此能求出双曲线的离心率【详解】圆是以原点为圆心，以为半径的圆，则，从而有，|M|c，c，由双曲线的定义得，得离心率为，故选：B.【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件（广东省韶关市2019届高三1月调研考试数学理试题）11.设抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，过点作斜率为的直线交抛物线于两点，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】联立方程，借助韦达定理即可建立关于k的方程，解之即可.【详解】方法一：（韦达定理消去）抛物线的焦点为，准线，设，则，由得，即有，联立与直线的方程得，则有，.由、得，代入中得，解得
62、，故选.方法二：（韦达定理消去）设抛物线的准线，分别过作，由得，则有.设、从而有.联立与直线的方程得，则有，由则有，消去得，解得，故选A.方法三：（几何法）设抛物线，分别过作，由得，则有，则是的中点，设、，从而有.则是的中点，则有（是原点），而，则，故点在线段的垂直平分线上，则，从而，则，故，故选：A.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系问题，考查了韦达定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）10.过双曲线两焦点且与x轴垂直的直线与双曲线的四个交点组成一个正方形，则该双曲线的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先
63、求交点坐标，再根据题意列方程解得离心率.【详解】令得,由题意得,（负值舍去），选D.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）15.已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于， 两点，若点为线段的中点，且，则_【答案】8【解析】【分析】设，又，由为的中点，求得，直线的方程代入，得，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解。【详解】设，又，因为为的中点，所以点的坐标为，则，即
64、，又由，则，即，直线的方程为，代入，得，设，则，解得，由抛物线的定义得：，解得：。【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。（广东省深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试数学理试题）10.已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出
65、离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得： 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）15.点为抛物线的焦点，为其准线上一点，且.若过焦点且与垂直的直线交抛物线于两点，且，则_【答案】【解析】【分析】由焦半径公式可得：，则，据此可得AB的方程为：，EF的方程为，结合题意由EF的长度得到关于p的方程，解方程即可求得实数p的值.【详解】由题意结合焦半径公式可得：，据此整理可得
66、：，据此可知直线AB的方程为：，直线EF的方程为，令可得，则EF的长度为：，解得：.故答案为：1.【点睛】本题主要考查抛物线的焦半径公式，方程思想的应用，直线方程及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（河北省沧州市2019年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题）9.为双曲线的左焦点，圆与双曲线的两条渐进线在第一、二象限分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】不妨设，其中，由斜率公式可得，由直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得，然后结合双曲线的离心率公式求解离心率即可.【详解】不妨设，其中，由于，故，由于双曲线的渐近线
67、方程为，结合直线垂直的充分必要条件可知：，据此可得：，整理可得，据此可知：，双曲线的离心率.本题选择C选项.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出a，c，代入公式；只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2c2a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）8.若抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离等于8，则焦点到准线的距离是（ ）A. 6B. 2C. 8D. 4【答案】D
68、【解析】【分析】由方程可得抛物线的焦点和准线，进而由抛物线的定义可得6（）=8，解之可得p值，进而可得所求【详解】由题意可得抛物线y2=2px（p0）开口向右，焦点坐标（，0），准线方程x=，由抛物线的定义可得抛物线上横坐标为6的点到准线的距离等于8，即6（）=8，解之可得p=4故焦点到准线的距离为=p=4故选：D【点睛】本题考查抛物线的定义，关键是由抛物线的方程得出其焦点和准线，属基础题（河南省濮阳市2019届高三下学期摸底考试数学（理）试题）10.双曲线的两顶点为，虚轴两端点为，两焦点为，若以为直径的圆内切于菱形，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由
69、题意可得顶点和虚轴端点坐标及焦点坐标，求得菱形的边长，运用等积法可得，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求值【详解】由题意可得，且，菱形的边长为，由以为直径的圆内切于菱形，切点分别为A，B，C，D由面积相等，可得，即为，即有，由，可得，解得，可得，或(舍去)故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用圆内切等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）11.已知抛物线的准线与双曲线交于两点，点为抛物线的焦点，若为直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】据抛物线方程求
70、得准线方程，代入双曲线方程求得y，根据双曲线的对称性可知FAB为等腰直角三角形，进而可求得A或B的纵坐标为2，进而求得a，利用a，b和c的关系求得c，则双曲线的离心率可得【详解】抛物线的准线方程为，联立双曲线，解得，由题意得，所以，所以，故选:D【点睛】本题考查双曲线的简单性质解题的关键是通过双曲线的对称性质判断出FAB为等腰直角三角形（河北省唐山市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题）10.已知双曲线： ，分别为 的左.右焦点，过的直线交 的左. 右支分别于，且，则（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C【解析】【分析】求得双曲线的，设，运用双曲线的定义可得，即可得到
71、所求值【详解】由双曲线，可得，设，由双曲线的定义可得，可得，故选C【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查定义法的运用，以及数形结合思想，考查运算能力，属于基础题（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）14.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是_【答案】【解析】双曲线的焦点到渐近线距离为的焦点到渐近线距离为.（山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）11.设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（）A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是
72、以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，又，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.（陕西省汉中市重点中学2019届高三下学期3月联考数学（文）试题）3.双曲线的一条渐近线经过点，则
73、该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. 3C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程，可得它的渐近线方程为yx，结合题意得点在直线yx上，可得ba再利用平方关系算出c3a，由此结合双曲线离心率公式即可算出该双曲线的离心率的值【详解】双曲线方程为该双曲线的渐近线方程为yx，又一条渐近线经过点，1，得ba，由此可得c3a，双曲线的离心率e3，故选：B【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质中的渐近线与离心率，求双曲线的离心率的值的关键是找到a，b，c的关系，属于基础题（陕西省汉中市重点中学2019届高三下学期3月联考数学（文）试题）11.已知抛物线：，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段的
74、中点恰好为点，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可知设M（x1，y1），N（x2，y2），代入抛物线方程作差求得：，由中点坐标公式可知：x1+x24，y1+y24，代入求得直线MN的斜率【详解】设，代入：，得，（1）-（2）得.因为线段的中点恰好为点，所以，从而，即的斜率为.故选C.【点睛】本题考查中点弦所在直线的斜率求法，考查“点差法”的应用，中点坐标公式的应用，考查运算能力，属于中档题（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）16.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，则线段的中点到准线的距离为_【答案】【解析】试题分析：设A、B的横坐标
75、分别是m、n，由抛物线定义，得=m+n+= m+n+=3，故m+n=，故线段AB的中点到y轴的距离为考点：本题考查了抛物线的性质点评：抛物线的定义是解决抛物线的距离问题的常见方法（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）11.设为双曲线：的右焦点，若直线的斜率与的一条渐近线的斜率的乘积为3，则的离心率为（ ）A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】设出焦点坐标，根据已知列出关于a、b、c的方程，然后求解离心率【详解】设为，若直线与的一条渐近线的斜率乘积为3，可得：，可得，即，可得，解得.故应选B.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及斜率公式，考查计算能力，属于基础
76、题（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）3.两个正数，的等差中项是5，等比中项是，则双曲线的离心率等于（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由题设条件结合数列的性质解得a，b，再由双曲线的性质求得，可得答案【详解】由题设知，解得a4，b6，故选：B【点睛】本题借助数列的性质考查双曲线的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用（江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体2019届高三第一次联考数学（理）试题）11.已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆在第一象限交于点，电商 抛物线上任
77、意一点与直线垂直，垂足为，则的最大值为（ ）.A. -1B. 2C. 1D. 8【答案】C【解析】试题分析：求得圆心，可得抛物线C1方程，与圆C的交点A，运用抛物线的定义和三点共线，即可得到所求最大值详解：圆C：（x1）2+y2=4的圆心为焦点（1，0）的抛物线方程为y2=4x，由 ，解得A（1，2），抛物线C2：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=2，即有|BM|AB|=|BF|AB|AF|=1，当且仅当A，B，F（A在B，F之间）三点共线，可得最大值1，故选：C.点睛：本题考查圆方程和抛物线的定义和方程的运用，考查方程思想和定义法解题，以及三点共线取得最值，属于中档题，一般和抛物
78、线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化.（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）5.已知双曲线的离心率为；关于的方程（）有两个不相等的实数根，则下列为假命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程求解双曲线的离心率可知p为假命题，由判别式为正数可知命题q为真命题，然后考查选项中所给的复合命题的真假即可.【详解】双曲线中，所以，离心率为为假命题；对于命题q:，所以方程（）有两个不相等的实数根，为真命题，考查所给的命题：A
79、.是真命题，B.是真命题，C.是假命题，D.是真命题.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的计算，一元二次方程根的个数的判定，复合命题真假的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）11.已知过抛物线的焦点作斜率为的直线交抛物线于两点，分别过点作轴的垂线，垂足分别为，若四边形的面积是，则抛物线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意，联立直线方程与抛物线方程可得，结合韦达定理有则四边形的面积为，据此得到关于p的方程，解方程即可确定抛物线方程.【详解】据题意，得直线的方程为由
80、 ，得设，则所以，所以，解得，所以抛物线的方程为【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求解，韦达定理的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）16.已知双曲线的左焦点为F，A，B分别是C的左、右顶点，P为C上一点，且轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与y轴交于点N，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_【答案】3【解析】【分析】根据条件分别求出直线AE和BN的方程，求出N，E的坐标，利用的关系建立方程进行求解即可【详解】解：因为轴，所以设，则，AE的斜率，则AE的方程为，
81、令，则，即，BN的斜率为，则BN的方程为，令，则，即，因为，所以，即，即，则离心率故答案为：3【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出直线方程和点N，E的坐标是解决本题的关键（山东省泰安市2019届3月高三第一轮复习质量检测数学文科试题）4.从抛物线在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，从且，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案【详解】解：设，依题意可知抛物线准线，直线PF的斜率为，故选：C【点睛】本题主
82、要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）13.已知双曲线的其中一条渐近线的倾斜角是，则该双曲线的离心率_【答案】【解析】【分析】由题意可得,又，从而得到结果.【详解】由，得，所以.故答案为:【点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查运算求解能力.（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）4.双曲线的渐近线方程为，则的离心率为A. 2B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的方程的渐近线方程，求得，再由离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，双曲线的渐近线方程
83、为，即，所以双曲线的离心率为，故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学文试题）7.已知双曲线：的顶点到渐近线的距离为，且其中一个焦点坐标为（5,0），则双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】结合双曲线的焦点坐标可得：，由双曲线的方程可得，双曲线的一条渐近线方程为：，即：，一个顶点的坐标：到渐近线的距离为：，由题意结合双曲线的性质可得：，结合可得：，则双曲线方程为：.本题选择A选项.（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测
84、数学（文）试题）4.双曲线的渐近线方程为，则其离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据渐近线方程得到关系，进一步求解出离心率.【详解】双曲线渐近线斜率 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的几何性质，属于基础题.易错点在于忽略双曲线交点的位置，导致渐近线斜率出错.（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）7.中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】双曲线两条渐近线互相垂直,可得，解得，即为等轴双曲线，进而得到离心率.【详解】因为双曲线两条渐近线互相垂直，
85、所以，解得，即为等轴双曲线，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有双曲线的渐近线垂直的等价结果，属于简单题目.（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）15.抛物线的准线方程是_【答案】【解析】分析：根据抛物线标准方程求性质：的准线方程为详解：因为的准线方程为所以抛物线的准线方程是.点睛：的准线方程为焦点坐标为（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）11.如图，已知是双曲线的左、右焦点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】
86、【分析】由题意，矩形的对角线长相等，由此建立方程，找出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率【详解】由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入，b0），可得x=，y=，=c2，4a2b2=（b23a2）c2，4a2（c2a2）=（c24a2）c2，e48e2+4=0，e1，e2=4+2，e=+1故选：C【点睛】求离心率的常用方法有以下两种：（1）求得的值，直接代入公式求解；（2）列出关于的齐次方程(或不等式)，然后根据，消去后转化成关于的方程(或不等式)求解（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）10.已知双曲线，F是双曲线C的右焦点，A是双曲线C的右顶点，过F作x轴的垂线
87、，交双曲线于M，N两点若，则双曲线C的离心率为（）A. 3B. 2C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的简单性质，转化求解推出a、b、c的关系，然后求解双曲线的离心率即可【详解】由题意可知：，解得tanMAF=3，可得： ，可得c2+2a2-3ac=0，e2+2-3e=0，e1，解得e=2故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力（广东省汕尾市2019届高三普通高中3月教学质量检测理科数学试题）16.已知点P（-1，-1），且点F为抛物线C：y2=2px（p0）的焦点，过点F且斜率为-2的直线l与该抛物线交于A，B两点若，则p=_【答案】2【解析】【分析】联立直线
88、l的方程与抛物线的方程，利用韦达定理以及向量数量积列式可得【详解】F（ ，0），直线l：y=-2（x- ）=-2x+p，联立 消去y得4x2-6px+p2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2= p，x1x2= ， =（-1-x1）（-1-x2）+（-1-y1）（-1-y2）=1+x1x2+x1+x2+（p+1）2+4x1x2-2（p+1）（x1+x2）=5x1x2+（-1-2p）（x1+x2）+1+（p+1）2= +（-1-2p） p+1+（p+1）2=0，解得p=2故答案为：2【点睛】本题考查了抛物线的性质，属中档题（江西省红色七校2019届高三第二次联考数学（理）试题）9
89、.已知点是双曲线的右焦点，直线与双曲C交于两点，且，则该双曲线的离心率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设右焦点F（c，0），将直线y2b代入双曲线方程求得A,B的坐标，运用两直线垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值【详解】设右焦点F（c，0），将直线方程y2b代入双曲线方程可得x，可得A（，2b），B（a，2b），由90， 即有（c，2b）（c，2b）0，化简为5a2+c2+4b20，可得5c29a2，e=故选：A【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题（陕西省2019届高三第二次教学质量检
90、测数学（理）试题）10.已知抛物线的准线过双曲线（，）的左焦点，且与双曲线交于，两点，为坐标原点，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：抛物线的准线方程为，所以双曲线的左焦点，从而，把代入得，所以的面积为，解得，所以离心率，故选D.考点：抛物线的方程、双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的方程、双曲线的简单几何性质，属于基础题.正确运用双曲线的几何性质是本题解答的关键，首先根据抛物线方程求出准线方程即得双曲线的焦点坐标，求出的值，由双曲线标准方程求得弦的长，表示出的面积，从而求得值，最后由离心率的定义求出其值.（四川省成都市实验外
91、国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）11.已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为A. 3B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】设，利用三角形知识得到，转化成，令，将转化成，问题得解。【详解】设，由抛物线方程可得：抛物线的焦点坐标为，由抛物线定义得：又,所以 ，当且仅当三点共线时（F点在PQ中间），等号成立，令，可化为：，当且仅当，即：时，等号成立。故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质及换元法、基本不等式的应用，还考查了计算能力及转化能力，属于基础题。（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）14.抛物
92、线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出今有抛物线（），如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，且两平行光线间的最小距离为3，则抛物线的方程为_【答案】【解析】【分析】根据题意可知直线过抛物线（）的焦点，将直线的斜率分为存在和不存在两种情形，结合韦达定理分别求两平行线间的距离，解出，从而可得结果.【详解】由题意可得直线过抛物线（）的焦点，设，当直线的斜率存在时，可设直线的方程为联立得，由韦达定理得，两平行线间的距离；当直线的斜率不存在时，即，抛物线的方程为，故答案为.【点睛】本题主要考查了直线与抛物
93、线相交所得的弦长问题，根据题意得到直线过抛物线的焦点是解题的关键，属于中档题.（安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2019届高三第二次联考数学（文）试题）9.已知双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出直线方程，根据直线截圆所得的弦长公式列出方程和相结合求解即可【详解】双曲线的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，可得：，结合化简可得：，则双曲线的离心率，故选A【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力，常见的离心率的几种解法：1、直接求出，求解；2、
94、变用公式（双曲线），（椭圆）；3、构造的齐次式，解出等.（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）3.已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点，则双曲线的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的渐近线为，可得到，又点在双曲线上，可得到，联立可求出双曲线的方程。【详解】双曲线的渐近线为，则，又点在双曲线上，则，解得，故双曲线方程为，故答案为C.【点睛】本题考查了双曲线的渐近线，考查了双曲线的方程的求法，考查了计算能力，属于基础题。（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）3.若双曲线的焦点到渐近线的距离是2，则的值是（ ）A.
95、 2B. C. 1D. 4【答案】A【解析】【分析】由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可.【详解】双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，所以焦点到其渐近线的距离，故选A.【点睛】本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）20.已知直线：与焦点为的抛物线：相切.（）求抛物线的方程；（）过点的直线与抛物线交于，两点，求，两点到直线的距离之和的最小值.【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（）由消去得
96、，根据判别式等于零解得，从而可得结果；（）可设直线的方程为，由消去得，利用韦达定理求得线段的中点的坐标，设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，由梯形中位线定理可得，由点到直线的距离公式，利用配方法可得结果.【详解】（）直线：与抛物线相切.由消去得，从而，解得.抛物线的方程为.（）由于直线的斜率不为0，所以可设直线的方程为，.由消去得，从而，线段的中点的坐标为.设点到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则 ，当时，、两点到直线的距离之和最小，最小值为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程以及最值问题，属于中档题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，
97、特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形面积最值的.（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）20.已知抛物线：上一点到其焦点的距离为10.（）求抛物线的方程；（）设过焦点的直线与抛物线交于，两点，且抛物线在，两点处的切线分别交轴于，两点，求的取值范围.【答案】（）（）【解析】【分析】（）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（）直线的斜率一定存在，可设
98、斜率为，直线为，设，由可得，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围。【详解】解：（）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.抛物线的准线为，解得，抛物线的方程为.（）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.设，由消去得，.由于抛物线也是函数的图象，且，则：.令，解得，从而.同理可得， .，的取值范围为.【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题。（安徽省江南十校2019届高三3月综合素质检测数学（文）试题）20.已知抛物线的准线方程为.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作
99、斜率为的直线交抛物线于，两点，点，连接，与抛物线分别交于，两点，直线的斜率记为，问：是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）根据标准方程与准线的关系，可直接求得；（2）假设存在，通过假设四点坐标，可以表示出和，然后利用韦达定理求解出.【详解】（1）由准线方程可知：（2）设，（互不相等）则，同理三点共线 即 同理 将抛物线与直线联立得：由韦达定理： 【点睛】本题考查圆锥曲线中的定值类问题，处理定值类问题的关键是构造出含变量的已知中的等量关系，通过整理、消元，得到所求解的定值.（河南省九师联盟2019届高三2月质量检测数学
100、文试题）20.已知点是抛物线：的焦点，点是抛物线上的定点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于不同两点，且（为常数），直线与平行，且与抛物线相切，切点为，试问的面积是否是定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）的面积为定值，且定值为.【解析】【分析】（1）先设出点M的坐标，表示出，求得M坐标，带入抛物线方程，求得p的值，得出结果.（2）先设直线AB的方程，联立求解得AB中点Q的坐标为，再设切线方程，联立得切点的坐标为，再利用面积公式和已知条件，进行计算化简可得结果.【详解】解：（1）设，由题知，所以.所以，即.代入中得，解得.所以抛物线的方程为.（2）由
101、题意知，直线的斜率存在，设其方程为.由，消去，整理得，则，.，设的中点为，则点的坐标为.由条件设切线方程为，由，消去整理得.直线与抛物线相切，.，.切点的坐标为.轴，.，又. .为常数，的面积为定值，且定值为.【点睛】本题考查了抛物线的综合知识，以及直线与抛物线的相交相切的综合知识，解题的关键是在转化和计算，属于难题.直线与圆锥曲线解题步骤：(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理；（3）转化，由题已知转化为数学公式；（4）计算，细心计算.（河南省部分省示范性高中2018-2019学年高三数学试卷（理科）1月份联考试题）20.已
102、知抛物线的焦点为，点在抛物线上，为坐标原点，且.（1）求抛物线的方程；（2）圆与抛物线顺次交于四点，所在的直线过焦点，线段是圆的直径，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】(1) 将代入抛物线的方程，得，结合抛物线定义可得值；（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.利用韦达定理可得的中点为及，的方程为，代入，并整理得.利用韦达定理可得的中点为及，结合勾股定理即可得到结果.【详解】解：（1）将代入抛物线的方程，得，所以，因为，所以，整理得，解得或，当时，满足；当时，所以抛物线的方程为.（2）由题设知与坐标轴不垂直，可设，代入，得.设，则，故的中点为，.又因为，所以的斜率为
103、，过的中点，所以的方程为，即.将上式代入，并整理得.设，则，故的中点为，.因为是直径，所以垂直平分，所以四点在同一个圆上等价于，所以，即，化简得，解得或，所以或.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查中点，垂直及弦长的利用，属于中档题.（广东省汕尾市普通高中2019年3月高三教学质量检测文科数学试题）20.已知为抛物线的焦点，是抛物线上一点，且求抛物线的方程；抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两点，以线段为直径的圆过点，求线段的长【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】由抛物线的定义可得，从而可得抛物线C的方程；联立直线l与抛物线消去x得，利用韦达定理和列式可解得，再用弦长
104、公式可得弦长【详解】当时，抛物线C不过点，故由抛物线的定义有，解得，所以抛物线C的方程为设，直线l的方程为，由消去x并整理得：，得，由题意，所以，以线段AB为直径的圆过点F，所以，所以，又，所以，解得满足题意由，得【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，抛物线方程的求法，考查设而不求法，考查函数与方程思想，考查计算能力，属中档题（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）20.已知动圆P恒过定点，且与直线相切（）求动圆P圆心的轨迹M的方程；（）正方形ABCD中，一条边AB在直线yx4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积【答案】（1） ；（2）或【解析】【分析】（1
105、）根据题意及抛物线的定义可得轨迹的方程为；（2）设边所在直线方程为，代入抛物线方程后得到关于的二次方程，进而由根与系数的关系可得，又由两平行线间的距离公式可得，由求出或，于是可得正方形的边长，进而可得其面积【详解】（1）由题意得动圆的圆心到点的距离与它到直线的距离相等，所以圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且，所以圆心的轨迹方程为（2）由题意设边所在直线方程为，由消去整理得，直线和抛物线交于两点，解得设，则.又直线与直线间的距离为， ，解得或，经检验和都满足正方形边长或，正方形的面积或【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的
106、距离为，则，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线（2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）18.已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.（1）求抛物线的标准方程；（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，利用抛物线的方程，求解，即可得到抛物线的方程；（2）设
107、直线：，联立方程组，利用根与系数的关系，求得，再由得，即可得到结论【详解】（1）设，两点的坐标分别为，则，两式相减得.即，又线段的中点的纵坐标为4，直线的斜率为1，.即抛物线的标准方程为.（2）设直线：与抛物线：交于点，则，由得，即，直线为，过定点.【点睛】本题主要考查了抛物线方程的求解，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中用直线的方程与抛物线线的方程联立，合理利用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）20.已知点在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为. 直线与抛物线交于两点，且线段的中点为.（）求
108、直线的方程.（）点是直线上的动点，求的最小值.【答案】()x-y-1=0() 【解析】【分析】()由点到抛物线焦点的距离等于到准线的距离，得到，可以求出，即可得到抛物线的方程，然后利用点差法，根据直线与抛物线交于两点，且线段的中点为，可以求出斜率，从而得到直线方程；（）都在直线上，设，设，可以表示出，然后将直线与抛物线联立，可以得到关于x的一元二次方程，结合的表达式，可以求出最小值。【详解】解：（）抛物线的准线方程为 ,抛物线方程为 设, 直线的方程为即 （）都在直线上，则，设8分又当时，的最小值为【点睛】本题考查了直线与抛物线的综合问题，属于难题。（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月
109、考 数学（文）试题）20.已知椭圆M：（ab0）的一个焦点F与抛物线N：y24x的焦点重合，且M经过点（1，）（1）求椭圆M的方程；（2）已知斜率大于0且过点F的直线l与椭圆M及抛物线N自上而下分别交于A，B，C，D，如图所示，若|AC|8，求|AB|CD|【答案】(1).（2）.【解析】试题分析：(1)由题可得，解得，可得椭圆的方程.（2）设直线的方程为，与抛物线联立得，由，解得.将代入，得.可得，得解.试题解析：(1)易知的坐标为，所以，所以，解得，所以椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，代入，得，设，则，因为，所以.将代入，得.设，则,所以，故.（山东省济南外国语学校2019届高三1月份
110、阶段模拟测试数学（文）试题）20.抛物线的焦点为F，圆，点为抛物线上一动点.已知当的面积为.（I）求抛物线方程；（II）若，过P做圆C的两条切线分别交y轴于M，N两点，求面积的最小值，并求出此时P点坐标.【答案】（） （II）的最小值为2，【解析】【分析】（）根据题意可得x02+（y0）2，|1|x0|，x022py0，即可解得p1；（II）设P（x0，y0），M（0，b），N（0，c），且bc，则直线PM的方程可得，由题设知，圆心（0，1）到直线PM的距离为1，把x0，y0代入化简整理可得（2y01）b22y0by020，同理可得（2y01）c22y0cy020，进而可知b，c为（2y01）
111、x22y0xy020的两根，根据求根公式，可求得bc，进而可得PMN的面积的表达式，根据均值不等式可得【详解】（）由题意知：，,，抛物线方程为.()设过点P且与圆C相切的直线的方程为令x=0，得切线与x轴的交点为而， 整理得，设两切线斜率为，则，则， 令，则，而 当且仅当，即t=1时，“=”成立.此时，的最小值为2，【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程和直线与抛物线的关系直线与圆锥曲线的问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向（河北省武邑中学2019届高三上学期期末考试数学（
112、理）试题）20.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点（1）为坐标原点，求证：；（2）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值【答案】（）见解析；（）时，四边形的面积最小，最小值是【解析】试题分析：（1）先利用已知条件设出直线AB的方程，与抛物线联立方程组，然后结合韦达定理表示出向量的数量积，进而证明。（2）根据由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点与点到直线的距离相等，得到四边形的面积等于，结合三角形面积公式得到。（）解：依题意，设直线方程为 1分将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得3分设，所以，=1，故6分（）解：由点与原点关于点对称，得是线段的中点，从而点
113、与点到直线的距离相等，所以四边形的面积等于8分因为9分，11分所以时，四边形的面积最小，最小值是 12分考点：本试题主要是考查了直线与抛物线爱你的位置关系的运用。点评：对于几何中的四边形的面积一般运用转换与化归的思想来求解得到。（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学文试题）20.在平面直角坐标系中，已知点是轴与圆的一个公共点（异于原点），抛物线的准线为，上横坐标为的点到的距离等于.（1）求的方程；（2）直线与圆相切且与相交于，两点，若的面积为4，求的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）由抛物线定义可得，点P到l的距离等于|PF|=|PQ|，以及点P在线段FQ的中垂线上，则
114、解得p=2，即可求出E的方程，（2）设m的方程为x=ny+b，A（x1，y1），B（x1，y1），根据直线m与圆C相切，可得b2-4b=4n2，再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出b的值，即可求出m的方程【详解】（1）由已知得，焦点，由抛物线定义得，点到的距离等于，因为，所以，所以、两点不重合，所以点在线段的中垂线上，则，解得，故的方程为.（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为， 则，所以，由化简得，判別式，且直线与轴交于点，所以，因为，或，所以，所以方程是或.解法二：（1）由已知得，设，的准线方程为，由到的距离等于得，则，解得：或，因为，所以，故的方程为.（2）由已知，直线
115、不与轴垂直，设的方程为，则，所以，由化简得，判别式，且所以，又原点到直线的距离，所以，所以，因为，或，所以，所以的方程是或.【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，利用直线与椭圆的联立，韦达定理求弦长是常用方法，属于中档题（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）20.以为圆心的动圆经过点，并且与直线相切.（1）求点的轨迹的方程；（2）若，是曲线上的四个点，并且，相交于点，直线的倾斜角为锐角.若四边形的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）设圆与直线相切于点，则，点的轨迹为抛物线，求出方程即可；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立可得 ，同理可得，则四边形的面积，即可求出，进而得到直线的方程。【详解】（1）设圆与直线相切于点，则，即点到的距离与点到直线的距离相等，所以点的轨迹为抛物线.是焦点，是准线.所以的方程为.（2）设，直线的方程为，.由得，. .同理，.所以四边形的面积 .由，得或，所以或.所以直线的方程为或.【点睛】本题考查了抛物线的定义，抛物线的方程，考查了直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理的运用，抛物线弦长公式及焦半径的运用，属于中档题。
