1、6.3 不等式的证明(二)巩固夯实基础 一、自主梳理 1.用综合法证明不等式:利用不等式的性质和已证明过的不等式以及函数的单调性导出待证不等式的方法叫综合法,概括为“由因导果”. 2.用分析法证明不等式：从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”. 除三种基本方法外,还有以下常用方法: (1)反证法:是先假设结论不成立,并由此出发,推出与题设条件或已经知道的结论相矛盾的结果,从而说明结论成立. (2)换元法:原不等式的代数式,经适当的三角代换或代数换元,能使证明的过程简化. (3)放缩法:借助于不等式的传递性,要证ab,只需证ac,cb,或借助于其
2、他途径放缩,如舍项、添项等. 值得注意的是,放缩法是高考的“热点”，特别在解答题中，注意使用. (4)构造函数法、导数法在证明不等式时,也经常使用. (5)数学归纳法证明不等式在数列中的运用也应引起重视.链接提示 不等式证明方法多,证法灵活,其中比较法、分析法、综合法是基本方法,要熟练掌握,其他方法作为辅助,这些方法之间不能截然分开,要综合运用. 二、点击双基1.若a、b、cR,ab,则下列不等式成立的是( )A.b2 C. D.a|c|b|c|解析：由不等式的性质容易得答案C.答案：C2.(理)若不等式(-1)na2+对任意nN*恒成立,则实数a的取值范围是（ ）A.-2, B.-2,) C
3、.-3, D.(-3,)解析:当n为正偶数时, a2-,又2-为增函数, a2-=.当n为正奇数时,-a-2-. 而-2-为增函数,-2-2,a-2.故a-2,).答案:A(文)(经典回放)若0，则下列结论不正确的是( )A.a2b2 B.abb2 C.+2 D.|a|+|b|a+b|解析:由0,知ba0. A不正确.答案:A3.设函数f(x)是定义在R上,周期为3的奇函数,若f(1)1,f(2)=,则( )A.a且a-1 B.-1a0 C.a0 D.-1a2解析:由题意得f(-2)=f(1-3)=f(1)1, -f(2)1, 即- 0,即3a(a+1)0. a0.故选C.答案:C4.同学们都
4、知道,在一次考试后,如果按顺序去掉一些高分,那么班级的平均分将降低;反之,如果按顺序去掉一些低分,那么班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为:若有限数列a1,a2,an满足a1a2an,则_(结论用数学式子表示).解析：设原有人数为n,去掉n-m个人(1mn), n个人的平均分为; m个人的平均分为. 依题意, 答案:(1mn)和(1mn)诱思实例点拨【例1】 设实数x、y满足x2=0，0a1.求证：loga（axay）loga2剖析:不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故从左向右变形时应消去x、y.证明:ax0，ay0， axay2=2 x-x2=-（x-）2，0a1， axa
5、y2=2 loga（axay）0. f(x)在0,+上单调递增. |a+b|a|+|b|, =+ +.讲评:证法一是放缩法,证法二是单调性法,这样直接证可以吗? . 分式放缩时,分子、分母能同时放大或缩小吗?应用习题精练巩固篇1.若x0,y0,且+=1,则xy有( )A.最大值64 B.最小值64 C.最大值 D.最小值解析：1=+2=8, xy64.答案：B2.已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是( )A.1 B. C.2 D.以上都不对解析：三角代换:令m=cos,n=sin,a=cos,b=sin. am+bn=cos(+).答案：C3.已知0a1且ab1,则下列不
6、等式中成立的是( )A.logblogabloga B.logablogblogaC.logablogalogalogab解析：特殊值法.令a=,b=100.答案：B4.已知|a+b|-c(a、b、cR),给出下列不等式:a-b+c;ab-c;|a|b|-c;|a|-|b|-c.其中一定成立的不等式是_.(注:把成立的不等式序号都填上)解析：|a+b|-c, ca+b-c. a-b+c,成立. 又|a|-|b|a+b|-c, |a|b|-c成立. 当a=3,b=-3,c=-1时,虽|a+b|=03-1=2,3-3+1,故不成立.答案:5.已知abc且a+b+c=0,求证：a.证明:要证a,只需
7、证b2-ac3a2, 即证b2+a(a+b)3a2,即证(a-b)(2a+b)0, 即证(a-b)(a-c)0. abc,(a-b)(a-c)0成立. 原不等式成立.6.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca0.证法一:(综合法)a+b+c=0,（a+b+c）2=0. 展开得ab+bc+ca=-, ab+bc+ca0.证法二:(分析法)要证ab+bc+ca0, a+b+c=0，故只需证ab+bc+ca(a+b+c)2， 即证a2+b2+c2+ab+bc+ca0， 亦即证（a+b）2（bc）2（ca）20 而这是显然的，由于以上相应各步均可逆，原不等式成立.证法三:a+b+c=0，-c=a+
8、b. ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=-（a）20 ab+bc+ca0.提高篇7.设a、b、c均为实数，求证：+.证明:a、b、c均为实数， （），当a=b时等号成立； （），当b=c时等号成立； （）,当c=a时等号成立 三个不等式相加即得，当且仅当a=b=c时等号成立.8.(全新创编题)有一位同学写了一个不等式(xR),她发现当c=1,2,3时,不等式都成立,试问:不等式是否对任何正实数c都成立?为什么?解：设f(x)=,z=(z), 则f(x)-=, 原不等式成立. 则0, 只需z-10x2-c-c0cc1. 故原不等式对任何正数c不都成立.
9、教学参考 一、教学思路 1.若已知x2+y2=a2或+=1常用三角代换. 2.放缩时,最重要的是放缩适度,特别地,认真总结放缩的技巧,充分运用不等式的性质,及均值不等式、绝对值不等式和题设条件是进行放缩的关键. 3.函数的有关知识如值域、单调性,在证明不等式时也应考虑. 4.分析法与综合法相互转换、互相渗透、互为前提,充分利用这一辩证关系,可以增加解题的思路,开阔视野;放缩法和换元法的合理运用,可以摆脱习惯思维方法的局限,转换解题途径;反证法是逆向思维的过程,它能增大思维的发散量,克服思维定势的影响. 5.证明不等式是学习不等式的主要目的之一,复习中应时刻强化“考试要求”中所陈述的证明不等式的
10、基本方法:比较法(作差、作商)、综合法、分析法.在熟练掌握这三种基本方法的同时,还应根据题目的特点,试探着使用数学归纳法、判别式法、换元法、函数法、反证法等证明通法,以融会贯通所学知识和方法. 二、注意问题 1.在证明不等式的过程中,分析法和综合法是不能分离的,如果使用综合法证明不等式难以入手时,常用分析法探索证题途径,之后用综合法的形式写出它的证明过程,以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大,常使用分析综合法,实现两头往中间靠以达到证题目的. 2.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题,常常与函数、数列、三角、方程综合在一起,不等式的证明除常用的三种方法外,还需学会其他方法,如函数
11、的单调性法、判别式法、换元法(特别是三角换元)、放缩法以及数学归纳法等,注意它们之间的知识交汇联系. 三、参考资料【例1】 已知a、b为正数，求证：（1）若+1,则对于任何大于1的正数x,恒有ax+b成立；（2）若对于任何大于1的正数x，恒有ax+b成立，则+1.剖析:对带条件的不等式的证明，条件的利用常有两种方法：(1)证明过程中代入条件；(2)由条件变形得出要证的不等式.证明:(1)ax+=a(x-1)+1+a2+1+a=(+1)2. +1b(b0), (+1)2b2. (2)ax+b对于大于1的实数x恒成立，即x1时，ax+minb, 而ax+=a(x-1)+1+a2+1+a=(+1)2, 当且仅当a(x-1)=，即x=1+1时取等号.故ax+min=(+1)2. 则(+1)2b,即+1b.【例2】已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9.(1)求数列an的通项公式;(2)证明+1.(1)解:设等差数列log2(an-1)的公差为d, 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28得d=1. 所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n, 即an=2n+1.(2)证明:=, + =+ =1-1.
