1、湖南师大附中高二年级数学期末考试试卷命题人：李昌平 审题人：张宇（时量120分钟 满分100分）第 I 卷一. 选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若直线x = 1的倾斜角为 ，则A. 等于0 B. 等于 C. 等于 D. 不存在2双曲线3x2 y2 3的渐近线方程是A. y = 3x B. y = x C. y =x D. y = x3圆x2 + y22 x = 0和 x2 + y2 4y = 0的位置关系是A. 相离 B. 外切 C. 内切 D. 相交4. 下列命题中不正确的是 A. 若B. 若，则C. 若，则D.
2、 若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外5. 已知圆C：x2 + y22 x4y20 = 0，则过原点的直线中，被圆C所截得的最长弦与最短弦的长度之和为A. 104 B. 102C. 54 D. 526长轴在x轴上，短半轴长为1，两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是A. B. C. D. 7已知F1、F2是双曲线16x2 9y2 144的焦点，P为双曲线上一点，若 |PF1|PF2| =32, 则F1PF2 =A. B. C. D. 8已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q，使得| PQ | = | PF2 |，那么动点Q的轨迹是A. 圆 B. 椭
3、圆C. 双曲线的一支 D. 抛物线9. 设椭圆，双曲线，抛物线y2 = 2 (m+n) x (mn0 )的离心率分别为e1、e2、e3，则A. e1e2 e3 B. e1e2 b 0 )的曲线大致是xyO A. B.xyOxyO C. D.11已知两点A ( 2, 0 ) , B ( 0 , 2 ), 点P是椭圆=1上任意一点，则点P到直线AB距离的最大值是 A. B. 3. C. D . 712. 对于抛物线 y2 4x上任意一点Q，点P ( a, 0 )都满足 | PQ | | a |，则a的取值范围是A. （，0） B. （，2 C. 0，2 D. （0，2）湖南师大附中高二年级数学期末
4、考试答卷 班 学号 姓名 第 I 卷一. 选择题 （将正确答案的代号填入下表内）题号123456789101112答案ABCDA1B1C1D1 第 II 卷二. 填空题 (本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.)13. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B和AC所成的角的大小是 .14. 已知圆 x2 + y26x7 = 0与抛物线y2 = 2px ( p 0 ) 的准线相切，则 p = .15. 不等式组 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有 个.16. 对于椭圆和双曲线有下列命题：椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;双曲线的焦点恰好是椭
5、圆的顶点;双曲线与椭圆共焦点;椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 .三. 解答题 (本大题共6小题，. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)17（本小题满分8分）已知过点P的直线l绕点P按逆时针方向 旋 转 角0，得直线为 xy2 = 0，若继续按逆时针方向旋转 角，得直线2xy1 = 0，求直线l的方程.18.（本小题满分10分）xyOABM如图，已知直线l与抛物线y2 = x相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，与x轴相交于点M，若y1y2 = 1，（1）求证：M点的坐标为（1，0）；（2）求证：OAOB；（3）求AOB的面积的最小值.19（本小题满分8分）设F
6、1、F2为椭圆 的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且 | PF1 | | PF2 |，求的值.20（本小题满分8分）有三个信号监测中心A、B、C，A位于B的正东方向, 相距6千米, C在B的北偏西，相距4千米. 在A测得一信号，4秒后, B、C才同时测得同一信号，试建立适当的坐标系，确定信号源P的位置. (即求出P的坐标. 设该信号的传播速度为1千米/秒)ABC30P21（本小题满分8分）已知A、B是圆x2 + y2 = 1与x轴的两个交点，CD是垂直于AB的动弦，直线AC和DB相交于点P，问是否存在两个定点E、F, 使 | | PE | PF | |
7、 为定值？若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由. yxOACDBP22（本小题满分6分） 已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件（1）焦点F1的坐标为 ( 3, 0 )；（2）长半轴长为5.则可求得此椭圆方程为 （）问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（）？ （注：每列出一种正确替代条件，得2分，列出三种正确替代条件，得满分6分. 列出多于三种正确替代条件的，每多一种，另加2分，但本题最高不超过10分，全卷不超过100分.）湖南师大附中高二年级数学期末考试参 考 答 案一、选择题CBDDA ACABD CB二、填空题13. 60 14. 2 15. 3 16. 三、
8、解答题17. 由 得 P ( 1,1) 据题意，直线l与直线垂直，故l斜率 直线l方程为 即 .18. (1 ) 设M点的坐标为（x0, 0）, 直线l方程为 x = my + x0 , 代入y2 = x得 y2myx0 = 0 y1、y2是此方程的两根, x0 y1y2 1，即M点的坐标为（1, 0）. (2 ) y1y2 1 x1x2 + y1y2 = y12y22 +y1y2 y1y2 (y1y2 +1) = 0 OAOB. （3）由方程，y1y2 = m , y1y2 1 , 且 | OM | = x0 =1, 于是SAOB = | OM | |y1y2| =1， 当m = 0时，AO
9、B的面积取最小值1.19. 由已知 得 | PF1 | + | PF2 | = 6 , | F1F2 | = 2, PF1F2为直角三角形，且| PF1 | | PF2 | PF2F1为直角或F1PF2为直角(1) 若PF2F1为直角， 则 | PF1 |2 | PF2 |2 + | F1F2 |2,| PF1 |2 = (6| PF1 | )2 + 20 | PF1 | = , | PF2 | = 故 （2）若F1PF2为直角， 则 | F1F2 |2 = | PF1 |2 + | PF2 |2 20 = | PF1 |2 + (6| PF1 | )2 | PF1 | = 4, | PF2
10、| = 2, 故 .20. 取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点，建立直角坐标系. 则A、B、C的坐标为A ( 3, 0 )、B (3, 0 )、C (5, 2), (长度单位为千米). 由已知 | PB | PA | = 4, 所以点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，其方程为 （x2） 又B、C同时测得同一信号，即有 | PB | = | PC | 点P又在线段BC的中垂线上，其方程为 即 由、 可得点P的坐标为 ( 8, 5).21. 由已知得 A (1, 0 )、B ( 1, 0 ), 设 P ( x, y ), C ( x0, y0 ) , 则 D (x0, y0 ), 由A、C、P三点共线得 由D、B、P三点共线得 得 又 x02 + y02 = 1, y02 = 1x02 代入得 x2y2 = 1，即点P在双曲线x2y2 = 1上， 故由双曲线定义知，存在两个定点E (, 0 )、F (, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE | PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长) 为定值.22. 用下列任一条件代替（2），都可使所求得的椭圆方程仍为（） 短半轴长为4； 离心率 e = ； 右准线方程为 x = ； 点P ( 3, ) 在椭圆上； 椭圆上两点间的最大距离为10； （答案是开放的，还可写出多种替换条件.）
