1、河南省名校联盟2021届高三上学期模拟信息卷数学（文科）试题（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若，则（ ）A. B. C. D. 3. 某学生准备
2、参加某科目考试，在12次模拟考试中，所得分数的茎叶图如图所示，则此学生该门功课考试成绩的众数与中位数分别为（ ）A. 95，94B. 95，95C. 93，94.5D. 95，94.54. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 5. 已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，那么（ ）A. B. 5C. 10D. 206. 设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A. 0B. 1C. -2D. 27. 如图，在梯形中，为线段的中点，且，则（ ）A. B. C. D. 8. 中国古代数学名著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），今有一球的体积与该
3、商鞅铜方升的体积相当，设球的半径为，则（单位：寸）的值约为（ ）A. 2.9B. 3.0C. 3.1D. 3.29. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，若是角终边上一点，且，则（ ）A. B. 3C. 或3D. 或-310. 函数与函数的图象的交点个数为（ ）A. 10B. 8C. 6D. 411. 已知为双曲线的右顶点，为双曲线右支上一点，若点关于双曲线中心的对称点为，设直线，的倾斜角分别为，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 12. 已知点，在同一个球面上（球的半径为定值），是等腰直角三角形，且，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为（ ）A. B. C.
4、 D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 函数（且）图象恒过定点，则点的坐标为_.14. 若实数，满足约束条件，则的最大值与最小值之和为_.15. 直线：截圆：所得的弦长为_.16. 在中，内角，所对的边分别是，若，且，则的取值范围为_.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 已知等差数列的前项和为，.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.18. 如图，三棱柱中，是边长为2的正三角形，分别为棱，的中点.（）
5、求证：平面（）若平面平面，求直线到平面的距离.19. 某学校制定的分数与分数等级对应关系如表：分数分数等级5级4级3级2级1级特级此校三（1）班和三（2）班的各10名同学的4月数学月考考试分数数据用茎叶图表示如图：（）试根据上面的统计数据，计算三（1）班和三（2）班两个班级的4月数学月考的平均成绩；（）试根据上面的统计数据，估计三（1）班分数等级为3级的概率；（）从此校三（1）班和三（2）班的各10名同学共20名同学的4月数学月考考试成绩中任取130分以上的同学两人，试求这两人分数等级相同的概率.20. 已知函数.（）求函数的单调区间；（）当时，证明：.21. 已知椭圆：的右顶点为，离心率为.
6、（）求椭圆的标准方程；（）过椭圆的左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，为坐标原点，问椭圆上是否存在点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修4-4：坐标与参数方程在极坐标系中，直线的极坐标方程为.以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.（）请写出直线的参数方程；（）求直线与曲线交点的直角坐标.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（）设，求不等式的解集（）设，且恒成立，求实数的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试名校联盟模拟
7、信息卷数学（文科）试题参考答案一、选择题1-5：CADAC6-10：DDBCB11-12：BA1.【答案】C【解析】由题可知，又，则.故选C.2.【答案】A【解析】因为，所以，所以，解得.所以.故选A.3.【答案】D【解析】出现次数最多的数是95，所以众数为95；从小到大排列，中间两数为94，95，所以中位数为.故选D.4.【答案】A【解析】，.又，.故选A.5.【答案】C【解析】双曲线的焦点坐标是，所以，解得.故选C.6.【答案】D【解析】由题得，则切线的斜率为.又，曲线在点处的切线方程为，即.又切线方程为，所以比较系数得，解得.所以.故选D.7.【答案】D【解析】由题意，根据向量的运算法则
8、，可得.故选D.8.【答案】B【解析】由三视图知，商鞅铜方升是由一圆柱和一长方体组合而成，故其体积，设球的半径约为，则，得.故选B.9.【答案】C【解析】因为，得，即，解得.所以，解得或.当时，解得；当时，解得.综上，或.故选C.10.【答案】B【解析】“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数与函数的图象的交点个数”.注意到两个函数都是奇函数，故考查当时两函数交点的个数，绘制函数图象如图所示，当时，；当时，故当时两函数交点的个数为4.结合函数的对称性可知函数与函数交点的个数为8.综上可得，函数与函数的图象的交点个数为8.故选B.11.【答案】B【解析】设，.因为，则.所以.又，所以.所以.所
9、以.所以.所以双曲线的渐近线方程为.故选B.12.【答案】A【解析】如图，因为是等腰直角三角形，且，所以由勾股定理，得.设球的半径为，球心到平面的距离为，设当四面体体积取得最大值时，点到平面距离为，则，解得.则数形结合易知，即，解得.故球的表面积为.故选A.二、填空题13.【答案】【解析】由对数函数的性质，令，可知，此时，所以函数（且）图象恒过定点.14.【答案】2【解析】画出约束条件，表示的可行域如下图所示，平移直线，由图可知，当目标函数经过点处取得最小值，且；经过点处取得最大值，且.故.15.【答案】8【解析】根据题意，圆心到直线：的距离，圆：的半径，所以直线：截圆：所得的弦长为.16.【
10、答案】【解析】由，得，由余弦定理得，得，得，又，得，解得.又，则.所以的取值范围为.三、解答题17.【解析】（）设等差数列的公差为.因为，所以.所以，解得.所以.所以.（），所以.18.【解析】（）连接，则与交于点.如图所示，连接.显然为矩形，分别为棱，的中点，所以为的中位线.所以.而平面，平面，所以平面.（）若平面平面，如图，取的中点，因为是正三角形，所以.因为平面平面，平面，所以平面，因为是边长为2的正三角形，所以.设直线到平面的距离为，即点到平面的距离为.由，得，解得.故直线到平面的距离为.19.【解析】（）三（1）班的平均成绩为（分），三（2）班的平均成绩为（分）.（）根据题中的统计数
11、据，三（1）班的分数依次为39，62，64，94，96，121，123，137，138，145，其中，等级为3级的有：94，96共2个.故估计三（1）班分数等级为3级的概率为.（）设事件“从此校三（1）班和三（2）班的各10名同学的4月数学月考考试成绩中任取130分以上的同学两人，这两人分数等级相同”.三（1）班和三（2）班的统计数据中130 以上的分数中，三（1）班有137，138，145共3个，三（2）班有134，137，142共3个.由题意可知，从三（1）班和三（2）班的统计数据中130以上的分数中任取两个，共有15个结果.分别记为：，；，；，；，；则两人分数等级相同的为：，；，；共7个
12、结果，由古典概型可得.所以从此校三（1）班和三（2）班的各10名同学的4月数学月考考试成绩中任取130分以上的同学两人，这两人分数等级相同的概率为.20.【解析】（），若，当时，；当时，；当时，；所以函数在上单调递减，在上单调递增；同理，若，当时，；当时，；当时，；所以函数在上单调递增，在上单调递减；若，则为常量函数，无单调区间.（）当时，等价于，因为，所以等价于.等价于.令，则.因为，所以.所以当时，；当时，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以，即.所以不等式得证.21.【解析】（）设椭圆的半焦距为.因为椭圆的右顶点为，所以.因为椭圆的离心率为，所以，即，解得.所以.故椭圆的标准方程是.（）设点，设直线的方程为.联立，消去可得，故，.则.则点.又点在椭圆上，则有，整理得，解得.所以椭圆上存在点，使得，此时直线的方程为.22.【解析】（）直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，则直线的直角坐标方程为（2分）设直线的倾斜角为，则，则直线的参数方程为（为参数）.（）又曲线的参数方程为（为参数）.，则曲线的直角坐标方程为，联立解方程组得或.故点的直角坐标为与.23.【解析】（）当时，即为.当时，即为，解得；当时，即为，解得.所以；当时，即为，解得，所以.综上，的解集为.（）当时，若恒成立，则，解得.即实数的取值范围是.
