1、第5讲与圆有关的综合问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1已知实数x，y满足则点(x，y)到圆(x2)2(y6)21上点的距离的最小值是_答案412已知x，y满足x2y24x6y120，则x2y2最小值为_解析法一点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2y2最小值为(1)2142.法二设圆的参数方程为则x2y2144cos 6sin ，所以x2y2的最小值为14142.答案1423圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos )2(y5sin )21(R)过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_
2、解析如图所示，连接CE，CF.由题意，可知圆心M(25cos ，5sin )，设则可得圆心M的轨迹方程为(x2)2y225，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足最小，此时|PC|4，|EC|2，故|PE|PF|2，EPF60，则(2)2cos 606.答案64(2013南京29中模拟)过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为_解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y00，切线方程为x0xy0y1，分别令x0，y0，得A、B，所以AB2.答案25(2014南通模拟)若圆C：(xa)2(y1)21在不等式xy10所表示的平面区域内，则a的
3、最小值为_解析由题意，得解得a2.答案26(2014南京一中月考)过点(，0)引直线l与曲线y相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于_解析设O到l的距离为d则|AB|直线pyk(x)，SAOBd2d，当且仅当d21d2即d2时取到最大值，dk2又A、B两点在一、二象限，k0，k答案7直线axby1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为_解析AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线axby1的距离等于，由点到直线的距离公式，得，即2a2b22，即a21且b
4、，点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d ，因此当b时，d取最大值，此时dmax1.答案18(2012北京师大附中检测)已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_解析如图所示，由题意，圆x2y22x2y10的圆心是C(1,1)，半径为1，由PAPB易知四边形PACB的面积(PAPB)PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小由于PA，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x4y80，P为垂足，PC3，PA2，所以四边形PACB面积的最小值是2.答案2二、解答题9已知以点C(tR，t0)为圆心的
5、圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C交于点M，N，若OMON，求圆C的方程(1)证明圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程是y.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相交于两点当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距
6、离d，圆C与直线y2x4相离，t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.10(2014宿迁联考)已知C过点P(1,1)，且与M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求C的方程；(2)设Q为C上的一个动点，求的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由解(1)设圆心C(a，b)，则有 解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入，得r22.故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.所以的
7、最小值为4.(也可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点P的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xA.同理，xB.所以kAB1kOP.所以直线AB和OP一定平行能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1过直线xy20上一点P作圆O：x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析因为点P在直线xy20上，所以可设点P(x0，x02)，设其中一个切点为M.因为两条切线的夹角为60，所以OPM30.故在RtOPM中，有OP2OM2
8、，所以OP24，即x(x02)24，解得x0.故点P的坐标是(，)答案(，)2(2014南师附中月考)若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为_解析由题意，圆(x2)2(y1)24的圆心(2，1)在直线axby10上，所以2ab10，即2ab10.因为表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以的最小值为，即(a2)2(b2)2的最小值为5.答案53若直线2xya0与圆(x1)2y21有公共点，则实数a的取值范围是_解析若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有1，解得2a2.答案2，2二、解答题4已知圆M：(x1)2(y1)24，直线l
9、：xy60，A为直线l上一点(1)若AM直线l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求PAQ的大小；(2)若圆M上存在两点B，C，使得BAC60，求点A横坐标的取值范围解(1)圆M的圆心M(1,1)，半径r2，直线l的斜率为1，而AMl，kAM1.直线AM的方程为yx.由解得，即A(3,3)如图，连结MP.PAMPAQ，sinPAM，PAM45 ，PAQ90 .(2)过A(a，b)作AD，AE，分别与圆M相切于D，E两点，因为DAEBAC，所以要使圆M上存在两点B，C，使得BAC60 ，只要使DAE60 .AM平分DAE，只要30 DAM90 .类似于第(1)题，只要sinDAM1，即且1.又ab60，解得1a5，即a的取值范围是1,5
