1、32.3指数函数与对数函数的关系学习目标1.了解反函数的概念，理解互为反函数的图象间的关系.2.知道指数函数与对数函数互为反函数，明确它们的图象关于yx对称知识点一反函数思考1下列哪些函数是一一映射？(1)y5x，(2)y2x，(3)yx，(4)yx2.答案(1)(2)(3)都是一一映射，(4)不是一一映射思考2函数y5x与yx的关系是什么？答案由y5x得xy，把y5x中的自变量x和因变量y互换即得yx.梳理反函数的概念(1)前提：函数f(x)是一一映射(2)定义：把函数f(x)的因变量作为新函数的自变量，把函数f(x)的自变量作为新函数的因变量，称这两个函数互为反函数(3)记法：函数yf(x
2、)的反函数为yf1(x)知识点二指数函数与对数函数的关系思考指数函数y2x与对数函数ylog2x互为反函数吗？它们的图象有什么关系？答案是，关于yx对称梳理指数函数与对数函数的关系(1)关系：指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)互为反函数(2)图象特征：指数函数yax(a0，a1)与对数函数ylogax(a0，a1)的图象关于yx对称(3)单调性：在区间1，)内，指数函数y2x随着x的增长函数值的增长速度逐渐加快，而对数函数ylog2x的增长时速度逐渐变得很缓慢类型一求反函数例1写出下列函数的反函数：(1)ylg x；(2)ylogx；(3)yx.解(1)ylg x
3、(x0)的底数为10，它的反函数为指数函数y10x (xR)(2)ylogx (x0)的底数为，它的反函数为指数函数yx (xR)(3)yx (xR)的底数为，它的反函数为对数函数ylogx (x0)反思与感悟求给定解析式的函数的反函数的步骤(1)求出原函数的值域，这就是反函数的定义域；(2)从yf(x)中解出x；(3)x、y互换并注明反函数的定义域跟踪训练1求下列函数的反函数：(1)y3x1；(2)yx31 (xR)；(3)y1 (x0)；(4)y (xR，x1)解(1)由y3x1，得x(y1)，即所求反函数为y(x1)；(2)函数yx31的值域为R，x3y1，x，所以反函数为y (xR)；
4、(3)函数y1 (x0)的值域为y1，由y1，得x(y1)2，所以反函数为y(x1)2 (x1)(4)因为y2，所以y2，由y2，得x1，所以反函数为y (x2)类型二反函数的应用例2已知函数yaxb(a0且a1)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，求a，b的值解yaxb的图象过点(1,4)，ab4.又yaxb的反函数的图象过点(2,0)，点(0,2)在函数yaxb的图象上a0b2.联立得a3，b1.反思与感悟互为反函数的图象关于直线yx对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数图象上任一成对的相应点也关于yx对称，所以若点(a，b)在函数yf(x)图象上，则点(b，a)必在其
5、反函数yf1(x)图象上跟踪训练2已知函数f(x)axk的图象过点(1,3)，其反函数yf1(x)的图象过(2,0)点，则f(x)的表达式为_答案f(x)2x1解析yf1(x)的图象过(2,0)，(2,0)关于yx的对称点(0,2)一定在f(x)axk上，又(1,3)也在函数f(x)axk上，f(x)2x1.类型三指数函数与对数函数的综合应用例3已知f(x)(aR)，f(0)0.(1)求a的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函数；(3)对任意的k(0，)，解不等式f1(x)log2.解(1)由f(0)0，得a1，所以f(x).因为f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，即f(x
6、)为奇函数(2)因为f(x)y1，所以2x(1y1)，所以f1(x)log2(1x1)(3)因为f1(x)log2，即log2log2，所以所以所以当0k2时，原不等式的解集为x|1kx1；当k2时，原不等式的解集为x|1x1反思与感悟(1)明确求反函数的方法，注意在求反函数时一定要标明定义域(2)要注意应用指数函数与对数函数是一对反函数的性质跟踪训练3设方程2xx30的根为a，方程log2xx30的根为b，求ab的值解将方程整理得2xx3，log2xx3.如图可知，a是指数函数y2x的图象与直线yx3交点A的横坐标，b是对数函数ylog2x的图象与直线yx3交点B的横坐标由于函数y2x与yl
7、og2x互为反函数，所以它们的图象关于直线yx对称，由题意可得出A、B两点也关于直线yx对称，于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)而A、B都在直线yx3上，ba3(A点坐标代入)，或ab3，故ab3.1函数yx2，xR的反函数为()Ax2yBxy2Cy2x，xRDyx2，xR答案D2函数y(x1)的反函数是()Ayx21(1x0) Byx21(0x1)Cy1x2(x0) Dy1x2(0x1)答案C解析x1，x1,1x0，0，0，y0.原函数的值域应与反函数的定义域相同，选项中只有C的定义域满足小于等于0.3函数yf(x)的图象经过第三、四象限，则yf1(x)的图象经过()A第一、二
8、象限B第二、三象限C第三、四象限D第一、四象限答案B解析因为第三、四象限关于yx对称的象限为第三、二象限，故yf1(x)的图象经过第二、三象限4若f(x1)x22x3(x1)，则f1(4)等于()A.B1CD.2答案C解析f(x1)(x1)22(x1)，f(x)x22(x0)，f1(x)，f1(4).5若函数yf(x)的图象和函数ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称，则f(x)_.答案3x解析yf(x)与ylog3x(x0)的图象关于直线yx对称，f(x)3x.1对数函数ylogax与指数函数yax互为反函数它们的图象关于直线yx对称2反函数的性质(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线
9、yx对称若函数yf(x)的图象关于yx对称，说明yf(x)的反函数是它本身，如反比例函数y.(2)若函数yf(x)上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数图象上，反之若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上3反函数的定义域是原函数的值域，并不一定是使反函数有意义的所有x的集合课时作业一、选择题1若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点(，a)，则f(x)等于()Alog2x Blogx C. Dx2答案B解析函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，f(x)logax，f(x)logax的图象经过点(，a)，logaaa，f(x)logx
10、.2函数f(x)log2(3x1)的反函数yf1(x)的定义域为()A(1，) B0，)C(0，) D1，)答案C解析yf1(x)的定义域即为原函数的值域，3x11，log2(3x1)0.3设函数f(x)loga(xb)(a0，且a1)的图象过点(2,1)，其反函数图象过点(2,8)，则ab等于()A6 B5 C4 D3答案C解析由题意，知f(x)loga(xb)的图象过点(2,1)和(8,2)，解得ab4.4设a0，且a1，函数f(x)ax，g(x)bx的反函数分别是f1(x)和g1(x)若lg alg b0，则f1(x)与g1(x)的图象()A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D关于
11、yx对称答案A解析由lg alg b0，得ba1，f(x)ax，g(x)ax.其反函数分别为f1(x)logax，g1(x)logax，f1(x)与g1(x)的图象关于x轴对称5在同一平面直角坐标系中，函数yg(x)的图象与yex的图象关于直线yx对称，而函数yf(x)的图象与yg(x)的图象关于y轴对称，若f(m)1，则m的值为()Ae BCeD.答案B解析由题意知yg(x)应为yex的反函数，即g(x)ln x由yf(x)的图象与yg(x)的图象关于y轴对称，故可得f(x)ln(x)又f(m)1，所以ln(m)1，得me1，即m.6已知f(x)ax(a0且a1)，f1(2)0，则f1(x1
12、)的图象可能是()答案A解析f(x)ax，f1(x)logax，由f1(2)0，即loga20，loga20，所以a1.f1(x1)loga(x1)(a1)，过(0,0)点二、填空题7已知f(x5)log2x，则f(2)_.答案解析设tx5，则xt，f(t)log2tlog2t，f(2)log.8设函数f(x)log2x3，x1，)，则f1(x)的定义域是_答案3，)解析f1(x)的定义域为f(x)的值域，x1，log2x0，log2x33，f1(x)的定义域为3，)9已知f(x)(a0)，若f1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是_答案4,7解析f1(x)的定义域即为f(x)的值域，.又a
13、0，4x7.f(x)的定义域为4,710已知函数f(x)的反函数g(x)12lg x(x0)，则f(1)g(1)_.答案2解析令g(x)1，则2lg x0，x1，即g(1)1.f(x)与g(x)互为反函数，f(1)1，f(1)g(1)2.11对任意不等于1的正数a，函数f(x)loga(x3)的反函数的图象恒过点P，则点P的坐标是_答案(0，2)解析当x2时，f(x)loga(23)0，f(x)恒过点(2,0)，即反函数的图象恒过点P(0，2)三、解答题12求下列函数的反函数(1)f(x)；(2)f(x)1(1x0)解(1)设yf(x)，则y0.由y，解得x.f1(x)(x0)(2)设yf(x
14、)1.1x0，0y1.由y1，解得x.f1(x)(0x1)13函数f(x)x22ax3在区间1,2上存在反函数，求a的取值范围解若函数f(x)在区间1,2上存在反函数，则f(x)在1,2上为单调函数，f(x)x22ax3的对称轴是xa，要使f(x)x22ax3在区间1,2上为单调函数，则1,2(，a或1,2a，)，即a2或a1.所以a的取值范围是(，12，)四、探究与拓展14若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点(，)，则a_.答案解析因为点(，)在yf(x)的图象上，所以点(，)在yax的图象上，则有，即a22，又因为a0，所以a.15已知函数f(x)loga(2x)，(a1)(1)求函数f(x)的定义域、值域；(2)求函数f(x)的反函数f1(x)；(3)判断f1(x)的单调性解(1)要使函数f(x)有意义，需满足2x0，即x2，故函数f(x)的定义域为(，2)，值域为R.(2)由yloga(2x)，得2xay，即x2ay.f1(x)2ax(xR)(3)f1(x)在R上是减函数证明如下：任取x1，x2R且x1x2.f1(x2)f1(x1)2ax22ax1ax1ax2，a1，x1x2，ax1ax2，即ax1ax20，f1(x2)f1(x1)，yf1(x)在R上是减函数
