1、河南省名校联盟2020届高三数学下学期尖子生3月调研考试试题 理（含解析）一选择题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解指数不等式求得集合，解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集.【详解】，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题.2.（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的模、除法运算化简所求表达式.【详解】.故选：A【点睛】本小题主要考查复数的模和除法运算，属于基础题.3.已知a，b都是实数，那么“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充
2、分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性解不等式得到，取特殊值得到，从而得到“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为，所以根据不等式的性质得到：即反过来，因为当时，的值没有意义，所以则“”是“”的充分不必要条件故选:A【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的证明，属于基础题.4.的展开式中的系数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用乘法分配律以及二项式展开式的通项公式，求得展开式中的系数.【详解】的展开式中，的系数分别为，所以的展开式中的系数为.故选：D【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的运用，属于基础题.5.已知椭圆的离
3、心率与双曲线的离心率的一个等比中项为，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，化简后求得，进而求得双曲线的渐近线方程.【详解】由题意得，所以，所以双曲线渐近线方程为.故选：D【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查椭圆和双曲线的离心率，考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题.6.函数在上是减函数，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得的单调减区间，根据在上是减函数，求得，由此求得的取值范围.【详解】的递减区间是，又，所以，所以，所以.故选：B【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性，属于基
4、础题.7.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运行程序进行计算，当时结束循环，输出.【详解】第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，结束循环，故输出的值为故选：D【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题.8.一底面半径为的圆柱形封闭容器内有一个半径为的小球，与一个半径为的大球，则该容器容积最小为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】画出容器容积最小时几何体的截面图，由此计算出此时容器的高，进而求得该容器容积的最小值.【详解】当容器容积最小时，两个球相外切，且分别与两个底面相切，小球与容器的侧面相切，
5、此时容器的高为（其中表示如图的直角边的长），所以该容器容积最小值为.故选：C【点睛】本小题主要考查与球有关的几何体体积最小值的计算，考查空间想象能力，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.9.已知正项数列的前项和为，且成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据递推关系式证得为等差数列，由此求得，结合成等比数列列方程，求得，由此求得的值.【详解】由得，所以为等差数列，且公差，所以，由成等比数列，得，所以，.故选：A【点睛】本小题主要考查根据等比中项的性质，考查的运用，属于中档题.10.已知点是椭圆上的两点，且线段恰为圆的一条直径，为椭圆上与不重合的一点，且直线斜
6、率之积为，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意知点关于原点对称，设出的坐标并代入椭圆方程，利用直线斜率之积为列方程，化简后求得，由此求得椭圆离心率.【详解】由题意知点关于原点对称，设，则，设，由，相减得，所以，所以，椭圆的离心率为.故选：D【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11.已知圆与轴切于点，与轴正半轴交于点，且，设点是圆上与点不重合的点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出圆的方程，根据圆与轴相切于点以及求得圆的半径，由此求得圆的方程，进而求得的坐标，利用平面向
7、量数量积的坐标运算化简，由此求得的取值范围.【详解】由题意，设圆方程为，则，所以，圆方程为，可得，设则.故选：D【点睛】本小题主要考查圆的标准方程的求法，考查向量数量积的坐标运算，属于中档题.12.已知函数的图象与的图象在有个交点，分别记作则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断出和的图象都关于对称，结合两个函数图象求得的值，根据对称性求得.【详解】，由是奇函数，可得图象关于点对称，的图象也关于点对称，函数的图象与的图象在有个交点，其中个为，其余对关于点对称，所以，所以.故选：C【点睛】本小题主要考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.三填空题13.
8、已知正数满足约束条件则的最大值为_【答案】【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界点位置，由此求得的最大值.【详解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，其中，设，则，平移直线至经过点时，直线的纵截距最大，所以故答案为：【点睛】本小题主要考查利用线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.14.已知数列满足，则_【答案】【解析】【分析】根据递推关系式证得数列是等比数列，由此求得的值.【详解】由得，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故答案为：【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，属于基础题.15.在中，内角内角所对的边分别为，若，
9、且，则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】利用正弦定理、两角和的正弦公式化简已知条件，求得的值，进而求得，利用正弦定理将表示为角的形式，结合三角函数值域的求法，求得的取值范围.【详解】由得，因为，所以，所以，所以，因为，所以，的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查利用正弦定理进行边角互化，考查利用三角函数的值域来求解边的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.16.已知则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】利用导数判断出在上的单调性，由此化简不等式，求得不等式的解集.【详解】当时，所以在上是增函数，且，所以或故答案为：【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查
10、函数不等式的求法，属于中档题.三解答题17.已知数列，满足，且是等差数列（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求得数列的公差，由此求得数列的通项公式，进而求得的通项公式.（2）利用裂项求和法求得数列的前项和【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，所以，所以，（2）因为，所以【点睛】本小题主要考查等差数列基本量的计算，考查裂项求和法，属于基础题.18.经十三届全国人大常委会第五次会议表决通过了新个税法，新个税法规定：居民个人的综合所得，以每一纳税年度的收人额减除费用六万元以及专项扣除专项附加扣除和依法确定的其他扣除后的余额，为应纳税所得额某公司下属分
11、公司有名员工，把这名员工2020年1月份的工资(把月工资额减去元作为应纳税所得额)编成如图的茎叶图(单位：百元)（1）求这名员工中需缴纳个人所得税的员工的2020年1月份的工资(单位：百元)的中位数；（2）若从月应纳税超过百元的员工中选名参加个税法宣传活动，用表示所选员工中女员工的人数，试写出的分布列，并求的数学期望【答案】（1）（2）分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）先根据茎叶图判断出需纳税的人数，再求得中位数.（2）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，并求得数学期望.【详解】（1）根据茎叶图可知：月工资在元以上的员工需缴纳个人所得税，共人，这人月工资的中位数为百元.（2）月
12、工资超过百元的员工年度应纳税超过百元，有人，其中女员工人，所以的取值依次为，所以的分布列为0123【点睛】本小题主要考查根据茎叶图求中位数，考查超几何分布的分布列和数学期望的求法，考查生活中的数学应用，属于中档题.19.如图所示，在三棱锥中，点为中点（1）求证：平面平面；（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）因为，所以平面，因为平面，所以因为，点为中点，所以因为，所以平面因
13、为平面，所以平面平面（2）以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，过点与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量，则即取，则，所以，设平面的一个法向量，则即取，则，所以，设平面与平面所成锐二面角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20.已知焦点为的抛物线与圆交于点（1）求抛物线的方程；（2）在第一象限内，圆上是否存在点，过点作直线与抛物线交于点(为第四象限的点)，与轴交于点，且以点为圆心的圆过点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）（2）不存在，理由见解析
14、【解析】【分析】（1）根据在抛物线和圆上，求得的值，由此求得抛物线的方程.（2）假设存在点，根据圆的几何性质得到，点为线段中点.设出直线的方程，由此写出直线的方程，分别与圆的方程联立，求得两点的坐标，进而求得点的坐标，根据的纵坐标为零列方程，由此判断出符合条件的点不存在.【详解】（1）由抛物线与圆交于点，点在圆上，即，可得，又在抛物线上，则，解得，所以抛物线的方程为（2）假设存在点，以点为圆心的圆过点，则，点为线段中点，由题意知，直线的斜率存在且大于，设的方程为，则的方程为，又圆方程为，由得，所以得，由得，所以得，因为点为线段中点，所以，整理得，符合条件的不存在，所以满足条件的点不存在【点睛】
15、本小题主要考查抛物线的方程和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.21.已知函数（1）讨论的单调性；（2）判断方程在上的实根个数；【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）求得的定义域和导函数，由此判断出的单调性.（2）利用的最小值判断出，对分成三种情况进行分类讨论，结合，判断出方程在上的实根个数.【详解】（1）的定义域为.由，得，所以当时，减函数；当时，是增函数（2）由（1）知，由，得，所以若，由可得在上没有实数根；若，由可知，在上有个实数根；当时在上是减函数，在上是增函数，由，可得在上有一个实根，又设，则，所以在上是增函数，所以，所以，所
16、以在上有个实根，综上可得，若，在上没有实数根；若，在上有个实数根；若时在上有个实根【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究方程的根，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，点是曲线上的动点，点在延长线上，且（1）求点轨迹的参数方程；（2）以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线(与原点不重合)的交点分别为，求【答案】（1）(参数)（2）【解析】【分析】（1）由得，设，则，将点坐标代入曲线的参数方程，化简后求得的轨迹的参数方程.（2）将参数方程消参，求得其对应的直角坐标方程，转化为极坐
17、标方程，令求得和，由此求得.【详解】（1）由点在延长线上，且，可得，设，则，由点是曲线上动点，可得即所以点轨迹的参数方程为(为参数)（2）因为曲线的参数方程分别为消去参数，得曲线的直角坐标方程分别为，由，得曲线的极坐标方程分别为，所以，所以【点睛】本小题主要考查代入法求轨迹方程，考查利用极坐标的几何意义求弦长，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.23.已知（1）若，求不等式的解集；（2）若存在，对任意恒有，求实数的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此求得出不等式的解集.（2）先求得的最小值为，利用基本不等式求得，依题意得到，解绝对值不等式求得的取值范围.【详解】（1）当时，当时，由得，所以，当时，由得，所以，当时，由得，所以，综上得的解集为（2）因为，当时取等号，依题意：存在，对任意恒有，则，即所以实数的取值范围是【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式能成立、恒成立问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.
