1、学习目标1.构建知识网络，理解其内在联系.2.盘点重要技能，提炼操作要点.3.体会数学思想，培养严谨灵活的思维能力1对函数的进一步认识(1)函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型它的三要素是定义域、值域和对应关系函数的值域是由定义域和对应关系所确定的(2)研究函数要遵从“定义域优先”的原则，表示函数的定义域和值域时，要写成集合的形式，也可用区间表示(3)函数的表示方法有三种：解析法、图像法和列表法在解决问题时，根据不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的(4)分段函数是一种函数模型，它是一个函数而并非几个函数(5)函数与映射是不同的概念，函数是一种特殊的映射，是从非空数集到非空数集的映射
2、在映射f：AB中，A中的元素x称为原像，B中的对应元素y称为x的像2函数的单调性函数的单调性是在定义域内讨论的，若要证明f(x)在区间a，b上是增函数或减函数，必须证明对a，b上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时都有f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)成立；若要证明f(x)在区间a，b上不是单调函数，只要举出反例，即只要找到两个特殊的x1，x2，不满足定义即可单调函数具有下面性质：设函数f(x)定义在区间I上，且x1，x2I，则(1)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则x1x2f(x1)f(x2)(2)若函数f(x)在区间I上是单调函数，则方程f(x)0在区间I上至多有一个实
3、数根(3)若函数f(x)与g(x)在同一区间的单调性相同，则在此区间内，函数f(x)g(x)亦与它们的单调性相同函数单调性的判断方法：定义法；图像法3函数的奇偶性判定函数奇偶性，一是用其定义判断，即先看函数f(x)的定义域是否关于原点对称，再检验f(x)与f(x)的关系；二是用其图像判断，考察函数的图像是否关于原点或y轴对称去判断，但必须注意它是函数这一大前提类型一函数的三要素例1已知函数f(x)(1)当a2时，求f(x)的定义域、值域；(2)若存在x1x2，使f(x1)f(x2)，求a的取值范围解(1)f(x)的定义域为(，a(a，)R.当a2时，yx3在(，2上是增加的，x3(，8yx2在
4、(2，)上是增加的，x2(4，)f(x)的值域为(，8(4，)R.(2)当a0时，f(x)在(，a，(a，)上都是增加的，要使x1x2时，f(x1)f(x2)，需a3a2，即a1.综上，a的取值范围是(，0)(1，)反思与感悟分段函数也是函数，所以它的定义域、值域都分别是一个数集，求定义域、值域时要把各段相应的值合并在(2)中寻找不同的x，使其对应相同的y时，也要把目光放在整个函数上跟踪训练1设函数f(x)若互不相等的实数x1，x2，x3满足f(x1)f(x2)f(x3)，则x1x2x3的取值范围是()A(， B(，)C(，6 D(，6)答案D解析函数f(x)的图像，如图，不妨设x1x2x3，
5、则x2，x3关于直线x3对称，故x2x36，且x1满足x10，则x1x2x3的取值范围是6x1x2x30时，f(x)2.(1)证明由f(x)f(y)f(xy)，可得f(xy)f(x)f(y)在R上任取x1x2，令xyx1，xx2，则f(x1)f(x2)f(x1x2)x1x2，x1x20.又x0时，f(x)0，f(x1x2)0，即f(x1)f(x2)2，即f(x)f(x)2f(x)f(3)f(3x)，由(1)知f(x)在R上为减函数，f(x)f(3x)x3x，解得解集为x|x反思与感悟(1)解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图像辅助解答，先证明函数的单调性，再由单
6、调性求最值(2)研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用跟踪训练2函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，则f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x
7、)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范围是x|15x1，f(3)32333，f(a22a)Bf()f(a22a)Cf()f(a22a)Df()f(a22a)答案C解析因为a22a(a1)2，又f(x)在0，)上是减函数，所以f(a22a)f()f()1函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为选择题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题2单调性、奇偶性是函数性
8、质的核心内容，常集于一体综合命题解题捷径是结合题意选一易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向3(1)函数图像的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图像上点的坐标进行排除(2)应用函数图像的关键是从图像中提取所需的信息，提取图像中信息的方法主要有：定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图像上升(或下降)的趋势，利用这一特征来分析解决问题定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；函数模型法，由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题课时作业一、选择题1已知f(2x1)x22x5，则f(x)
9、的解析式为()Af(x)4x26Bf(x)x2xCf(x)x2xDf(x)x22x5答案B解析设t2x1，则x，f(t)()22()5t2t，f(x)x2x.2函数f(x)的定义域为()A(，4 B(，3)(3,4C2,2D(1,2答案B解析f(x)中的x需满足解得x4且x3，故f(x)的定义域为(，3)(3,43若函数f(x)为奇函数，则a等于()A1B2C.D答案A解析由题意得f(x)f(x)，则，则4x2(22a)xa4x2(22a)xa，所以22a(22a)，所以a1.4若函数f(x)ax22(a1)x2在区间(，4上为减函数，则a的取值范围为()A0aB0aC0aDa答案B解析当a0
10、时，函数f(x)的对称轴为x，f(x)在(，4上为减函数，图像开口朝上，a0且4，得0a.当a0时，f(x)2x2，显然在(，4上为减函数综上知，0a.5已知函数f(x)则f(1)f(3)等于()A7B2C7D27答案C解析由题意得f(1)f(4)42117，f(3)32110，故f(1)f(3)17107.6已知函数yf(x)与yg(x)的图像如图，则函数yf(x)g(x)的图像可能是()答案A解析函数yf(x)g(x)的定义域是函数yf(x)与yg(x)的定义域的交集(，0)(0，)，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D.因为函数yf(x)是偶函数，yg(x)是奇函数，所以yf(x)g(x
11、)是奇函数，故选A.7若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)x23x1，则f(x)等于()Ax2B2x2C2x22Dx21答案D解析f(x)g(x)x23x1，f(x)g(x)x23x1.又f(x)是偶函数，且g(x)是奇函数，f(x)g(x)x23x1.由联立，得f(x)x21.二、填空题8已知幂函数y(a22a2)xa在实数集R上单调，那么实数a_.答案3解析由题意，a22a21，a1或3，又当a1时，yx1定义域不是R，舍去，当a3时，yx3在R上是增函数，符合题意9如果函数g(x)是奇函数，则f(x)_.答案2x3解析设x0，g(x)2x3.g(x)为奇函数，
12、f(x)g(x)g(x)2x3.10已知定义在R上的奇函数满足f(x)x22x(x0)，若f(3m2)f(2m)，则实数m的取值范围是_答案(3,1)解析因为函数f(x)x22x在0，)上是增函数，又f(x)是R上的奇函数，所以f(x)是R上的增函数要使f(3m2)f(2m)，只需3m22m，解得3m1.三、解答题11函数f(x)4x24axa22a2在区间0,2上有最小值3，求a的值解f(x)4(x)22a2，当0，即a0时，函数f(x)在0,2上是增函数f(x)minf(0)a22a2.由a22a23，得a1.a0，a1.当02，即0a4时，f(x)minf()2a2.由2a23，得a(0
13、,4)，舍去当2，即a4时，函数f(x)在0,2上是减函数，f(x)minf(2)a210a18.由a210a183，得a5.a4，a5.综上所述，a1或a5.12某住宅小区为了营造一个优雅、舒适的生活环境，打算建造一个八边形的休闲花园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成面积为200米2的十字形区域，且计划在正方形MNPK上建一座花坛，其造价为4200元/米2，在四个相同的矩形上(图中的阴影部分)铺花岗岩路面，其造价为210元/米2，并在四个三角形空地上铺草坪，其造价为80元/米2.(1)设AD的长为x米，试写出总造价Q(单位：元)关于x的函数解析式；(2)问：当x取
14、何值时，总造价最少？求出这个最小值解(1)设AMy，ADx，则x24xy200，y.故Q4200x22104xy802y2380004000x2(0x10)(2)令tx2，则Q380004000(t)，且0t1时，f(x)在0,1上是增函数，在1，t上是减函数，f(a)maxf(1)1.综上，f(x)max四、探究与拓展14已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)x2x2，则f(x)_，g(x)_.答案x22x解析f(x)g(x)x2x2，由f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，得f(x)g(x)x2x2.又f(x)g(x)x2x2，两式联立得f(x)x22，g(x)x.15若f(x)是定义在(0，)上的增函数，且对一切x，y0，满足f()f(x)f(y)(1)求f(1)的值；(2)若f(6)1，解不等式f(x3)f()2.解(1)在f()f(x)f(y)中，令xy1，则有f(1)f(1)f(1)，f(1)0.(2)f(6)1，f(x3)f()2f(6)f(6)，f(3x9)f(6)f(6)，即f()f(6)f(x)是(0，)上的增函数，解得3x9.即不等式的解集为(3,9)
