1、2016-2017学年黑龙江省鸡西十九中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若U=1，2，3，4，M=1，2，N=2，3，则U（MN）=（）A1，2，3B2C1，2，3D42函数f（x）=5x22x的单调增区间为（）ABCD3已知ABC的面积为且b=2，c=2，则A等于（）A30B30或150C60D60或1204过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（）A2x+y1=0B2x+y5=0Cx+2y5=0Dx2y+7=05“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（） ABCD6点M在圆（x5）2
2、+（y3）2=9上，则M点到直线3x+4y2=0的最短距离为（）A9B8C5D27顶点在原点，焦点是（0，2）的抛物线方程是（）Ax2=8yBx2=8yCy2=8xDy2=8x8设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A5B7C9D119在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）ABCD10若k1，则关于x、y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是（）A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线11已知等比数列an满足a1=，a3a5=4（a41），则a2=
3、（）A2B1CD12若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）ABCD二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13已知|=6，|=4，与的夹角为60，则3=14面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为15已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是16已知直线l，m，n，a，b，平面，有以下命题：l，laam，nnmm，nmn，ab，aba，b，ab其中不正确的命题是三、解答题（本大题共6个大题，共70分）17设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b18已
4、知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值19在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）求AE与D1F所成的角（文科）（2）证明：ADD1F；（理科）（2）证明：面AED面A1FD120已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点（1）若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；（2）若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离21在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BC、CC1的中点（ 1 ）求证：MN面AB1D1；（文科）（2）若正方体边长为2，求三棱锥的体积（理
5、科）（2）求二面角DMNC的余弦值22P为椭圆+=1上一点，F1，F2为左右焦点，若F1PF2=60（1）求F1PF2的面积；（2）求P点的坐标2016-2017学年黑龙江省鸡西十九中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若U=1，2，3，4，M=1，2，N=2，3，则U（MN）=（）A1，2，3B2C1，2，3D4【考点】交、并、补集的混合运算【分析】利用两个集合的并集的定义求出 MN，再利用集合的补集的定义求出CU（MN）【解答】解：MN=1，22，3=1，2，3，CU（MN）=4，故选D2
6、函数f（x）=5x22x的单调增区间为（）ABCD【考点】二次函数的性质【分析】根据所给的二次函数的二次项系数大于零，得到二次函数的图象是一个开口向上的抛物线，根据对称轴，考查二次函数的变化区间，得到结果【解答】解：函数f（x）=5x22x的二次项的系数大于零，相应的抛物线的开口向上，二次函数的对称轴是x=，函数的单调递增区间是故选A3已知ABC的面积为且b=2，c=2，则A等于（）A30B30或150C60D60或120【考点】正弦定理【分析】ABC的面积为=bcsinA，求得sinA的值，可得A的值【解答】解：由于ABC的面积为=bcsinA=2sinA，求得sinA=，A=60，或A=1
7、20故选：D4过点（1，3）且垂直于直线x2y+3=0的直线方程为（）A2x+y1=0B2x+y5=0Cx+2y5=0Dx2y+7=0【考点】直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【分析】根据题意，易得直线x2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程【解答】解：根据题意，易得直线x2y+3=0的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为2，又知其过点（1，3），由点斜式得所求直线方程为2x+y1=05“圆柱与球的组合体”如图所示，则它的三视图是（） ABCD【考点】简单空间图形的三视图【分析】“圆柱与球的组合
8、体”的三视图依次为长方形的上边有一个圆，长方形的上边有一个圆，圆环，可得结论【解答】解：“圆柱与球的组合体”的三视图依次为长方形的上边有一个圆，长方形的上边有一个圆，圆环，故选A6点M在圆（x5）2+（y3）2=9上，则M点到直线3x+4y2=0的最短距离为（）A9B8C5D2【考点】点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系【分析】先求出圆心到直线的距离，再由圆与直线的位置关系得圆上的点M到直线的最小距离等于圆心到直线的距离减去圆的半径【解答】解：由题意得圆的圆心为（5，3）则圆心到直线3x+4y2=0的距离为d=所以M点到直线3x+4y2=0的最短距离为53=2，故选D7顶点在原点，焦点是（0
9、，2）的抛物线方程是（）Ax2=8yBx2=8yCy2=8xDy2=8x【考点】抛物线的简单性质【分析】由已知可设抛物线方程为x2=2py（p0），再由焦点坐标求得p，则抛物线方程可求【解答】解：由题意可设抛物线方程为x2=2py（p0），由焦点是（0，2），得，则p=4抛物线方程为x2=8y故选：B8设Sn是等差数列an的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A5B7C9D11【考点】等差数列的前n项和【分析】由等差数列an的性质，及a1+a3+a5=3，可得3a3=3，再利用等差数列的前n项和公式即可得出【解答】解：由等差数列an的性质，及a1+a3+a5=3，3a3=3，a3=1
10、，S5=5a3=5故选：A9在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是（）ABCD【考点】点、线、面间的距离计算【分析】设A1C1B1D1=O1，根据线面垂直的判定定理可知B1D1平面AA1O1，再根据面面垂直的判定定理可知故平面AA1O1面AB1D1，交线为AO1，在面AA1O1内过A1作A1HAO1于H，则A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，利用等面积法求出A1H即可【解答】解：如图，设A1C1B1D1=O1，B1D1A1O1，B1D1AA1，B1D1平面AA1O1，故平面AA1O1面AB1D1，交线为A
11、O1，在面AA1O1内过B1作B1HAO1于H，则易知A1H的长即是点A1到截面AB1D1的距离，在RtA1O1A中，A1O1=，AO1=3，由A1O1A1A=hAO1，可得A1H=，故选：C10若k1，则关于x、y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是（）A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线【考点】双曲线的简单性质【分析】利用K的范围，判断二次方程的形式，即可推出结果【解答】解：k1，可得（1k）0，k210，关于x、y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是：焦点在y轴上的双曲线故选：C11已知等比数列an满足a1=，a3a5=
12、4（a41），则a2=（）A2B1CD【考点】等比数列的通项公式【分析】利用等比数列的通项公式即可得出【解答】解：设等比数列an的公比为q，a3a5=4（a41），=4，化为q3=8，解得q=2则a2=故选：C12若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）ABCD【考点】椭圆的应用；数列的应用【分析】先设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，由题意可知：a+c=2b，由此可以导出该椭圆的离心率【解答】解：设长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c，则2a+2c=22b，即a+c=2b（a+c）2=4b2=4（a2c2），所以3a25c2=2ac，同除a2，整理得5e2+2
13、e3=0，或e=1（舍去），故选B二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13已知|=6，|=4，与的夹角为60，则3=36【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量数量积的定义计算即可【解答】解：|=6，|=4，与的夹角为60，则3=3|cos60=364=36故答案为：3614面积为Q的正方形，绕其一边旋转一周，则所得几何体的侧面积为2Q【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】绕其一边旋转一周，得到底面半径等于高为的圆柱，求出底面周长，然后求出侧面积【解答】解：面积为Q的正方形，边长为：；绕其一边旋转一周，得到底面半径为：，高为的圆柱，底面周长2，几何体的侧面积：2=2Q故
14、答案为2Q15已知双曲线过点且渐近线方程为y=x，则该双曲线的标准方程是x2y2=1【考点】双曲线的标准方程【分析】设双曲线方程为y2x2=，代入点，求出，即可求出双曲线的标准方程【解答】解：设双曲线方程为y2x2=，代入点，可得3=，=1，双曲线的标准方程是x2y2=1故答案为： x2y2=116已知直线l，m，n，a，b，平面，有以下命题：l，laam，nnmm，nmn，ab，aba，b，ab其中不正确的命题是【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【分析】对6个选项分别进行判断，即可得出结论【解答】解：l，la，则a、关系不确定；m，n，则nm或n，m相交、异面，不正确；m，n，根据线面垂
15、直的性质，可得mn，正确；，则、关系不确定；ab，a，根据线面垂直的性质，可得b，正确；a，b，则a，b共面时ab，不正确故答案为三、解答题（本大题共6个大题，共70分）17设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（）求B的大小；（）若，c=5，求b【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由ABC为锐角三角形可得答案（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值【解答】解：（）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由ABC为锐角三角形得（）根据
16、余弦定理，得b2=a2+c22accosB=27+2545=7所以，18已知等差数列an中，a1=1，a3=3（）求数列an的通项公式；（）若数列an的前k项和Sk=35，求k的值【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和【分析】（I）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（II）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值【解答】解：（I）设等
17、差数列an的公差为d，则an=a1+（n1）d由a1=1，a3=3，可得1+2d=3，解得d=2，从而，an=1+（n1）（2）=32n；（II）由（I）可知an=32n，所以Sn=2nn2，进而由Sk=35，可得2kk2=35，即k22k35=0，解得k=7或k=5，又kN+，故k=7为所求19在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点（1）求AE与D1F所成的角（文科）（2）证明：ADD1F；（理科）（2）证明：面AED面A1FD1【考点】平面与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）欲求AE与D1F所成的角，必须先找出求AE与D1F所成的角，利
18、用正方体中平行线，即可知道是AHA1是AE与D1F所成的角即为所求，最后利用证三角形全等即得；（2）欲证明：ADD1F，可通过证明线面垂直得到，故先证AD面DC1，即可；（3）欲证明：面AED面A1FD1根据面面垂直的判定定理知，只须证明线面垂直：D1F面AED，即得【解答】（1）解：取AB中点G，连结A1G，FG，F是CD中点GF平行且等于AD，A1D1平行且等于AD，A1D1平行且等于GF，GFD1A1是平行四边形，A1GD1F，设AG1AE=H，则AHA1是AE与D1F所成的角E是BB1的中点RtA1AGRtABEGA1A=GAHA1HA=90即直线AE与D1F所成角是直角（2）证明：A
19、C1是正方体AD面DC1，又D1F面DC1，ADD1F（3）证明：ADD1F（1）中已证）AED1F，ADAE=A，D1F面AED，又D1F面A1FD1，面AED面A1FD120已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点（1）若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；（2）若|AB|=9，求线段AB的中点M到准线的距离【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）由y2=6x，得准线方程、焦点F（1，0）直线l的方程为y0=tan60（x1.5），与抛物线方程联立，消y，整理得4x220x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5，由抛物线的定义可知线段AB的长；（2）|AB
20、|=p+x1+x2=9，即可求线段AB的中点M到准线的距离【解答】解：（1）由y2=6x，准线方程为x=1.5，焦点F（1.5，0）直线l的方程为y0=tan60（x1.5），即y=x与抛物线方程联立，消y，整理得4x220x+9=0，其两根为x1，x2，且x1+x2=5由抛物线的定义可知，|AB|=p+x1+x2=8所以，线段AB的长是8（2）|AB|=p+x1+x2=9，则=4.5线段AB的中点M到准线的距离为4.521在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BC、CC1的中点（ 1 ）求证：MN面AB1D1；（文科）（2）若正方体边长为2，求三棱锥的体积（理科）（2）求二面角D
21、MNC的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】（1）推导出MNAD1，由此能证明MN面AB1D1（文）（2）三棱锥A1B1AD1的体积V=，由此能求出结果（理）（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角DMNC的余弦值【解答】证明：（1）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱BC、CC1的中点，MNBC1，BC1AD1，MNAD1，MN面AB1D1，AD1面AB1D1，MN面AB1D1解：（文）（2）正方体边长为2，三棱锥A1B1AD1的体积：V=（理）（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD
22、1为z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），M（1，2，0），N（0，2，1），C（0，2，0），=（1，2，0），=（0，2，1），设平面DMN的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（2，1，2），平面MNC的法向量=（0，1，0），设二面角DMNC的平面角为，则cos=，二面角DMNC的余弦值为22P为椭圆+=1上一点，F1，F2为左右焦点，若F1PF2=60（1）求F1PF2的面积；（2）求P点的坐标【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a=10，由余弦定理可得：82=m2+n22mncos60=（m+n）23mn=1003mn，解得mn再利用三角形的面积计算公式即可得出（2）设P（x，y），可得=， =，由于F1PF2=60可得=tan60=，化为8y=（x2+y216），与联立解得即可【解答】解：（1）由椭圆+=1可得a=5，b=3，c=4设|PF1|=m，|PF2|=n，则m+n=2a=10，由余弦定理可得：82=m2+n22mncos60=（m+n）23mn=1003mn，解得mn=12F1PF2的面积S=（2）设P（x，y），则F1（4，0），F2（4，0）=， =，F1PF2=60=tan60=，化为8y=（x2+y216），与联立解得：，2017年2月14日
