1、山东省菏泽市2021届高三数学上学期期中试题（A）（含解析）第I卷选择题一、单项选择题1. 已知集合，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用一元二次不等式与指数不等式的解法求出集合，然后进行交集的运算即可【详解】，故选：2. 已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数的值为（ ）A. B. C. 2D. 【答案】C【解析】【分析】先化简复数，再根据复数是纯虚数即可列式求解.【详解】，又是纯虚数，解得.故选：C.3. 在中，角、所对的边长分别为、，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】C【解析】【分析】由
2、结合正弦定理求得，进而判断可得出结论.【详解】若，由正弦定理可得，所以，即，可得，所以，.由可知，.因此，“”是“”的充要条件.故选：C.【点睛】方法点睛：判断充分条件和必要条件，一般有以下几种方法：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.4. 如果向量，的夹角为，我们就称为向量与的“向量积”，还是一个向量，它的长度为，如果，则（ ）A. B. 8C. 16D. 20【答案】C【解析】【分析】利用平面向量数量定义求出夹角的余弦值，进而可得其正弦值，再根据向量积的定义可求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以，所以.故选：C【点睛】关键点点睛：根据平面向量数量积的定义求出夹角的余弦值,进而求出
3、其正弦值是解题关键.5. 中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽、信道内信号的平均功率、信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则大约增加了（ ）附：A. 20%B. 23%C. 28%D. 50%【答案】B【解析】【分析】由题意可得的增加比率为，再由对数的运算性质求解【详解】将信噪比从1000提升至5000时，增加比率为故选：6. 已知函数的图象如图所示，则此函数可能是（ ）A. B.
4、C. D. 【答案】D【解析】【分析】由函数图象可得是奇函数，且当从右趋近于0时，依次判断每个函数即可得出.【详解】由函数图象可得是奇函数，且当从右趋近于0时，对于A，当从右趋近于0时，故，不符合题意，故A错误；对于B，是偶函数，不符合题意，故B错误；对于C，是偶函数，不符合题意，故C错误；对于D，是奇函数，当从右趋近于0时，符合题意，故D正确.故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的
5、图象.7. 已知数列为等差数列，首项为2，公差为3，数列为等比数列，首项为2，公比为2，设，为数列的前项和，则当时，的最大值是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】A【解析】【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列的通项公式，利用数列的分组求和法可得数列的前项和，验证得答案【详解】解：由题意得：， ，当时，；当时，的最大值为.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是求出数列的通项公式，利用分组求和求出数列的前项和.8. 已知函数（且），若有最小值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数有最小值可得出函数的单调性，
6、然后对函数在区间上的单调性进行分类讨论，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.【详解】由于函数有最小值，则函数在区间上不为增函数，可得.当时，此时函数无最小值；当时，即当时，函数在区间上为减函数，若函数在上为增函数，则，且有，即，解得，此时；若函数在上为减函数，则，且，所以，即，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查利用分段函数的最值求参数，解题时要根据题意分析出两支函数在各自定义域上的单调性，并分析出间断点处函数值的大小关系，本题易错的地方在于忽略函数在区间上单调递减，忽略这一条件的分析，进而导致求解出错.二、多项选择题9. 若正实数，满足
7、，则下列选项中正确的是（ ）A. 有最大值B. 有最小值C. 有最小值4D. 有最小值【答案】C【解析】【分析】由基本不等式知，结合特殊值法即可判断选项的正误.【详解】当且仅当时等号成立，即，故A错误；B中，若，有，即最小值不为，错误；C中，正确；D中，若，有，即最小值不，错误；故选：C10. 如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线与是平行直线B. 直线与是异面直线C. 直线与所成的角为60D. 平面截正方体所得的截面面积为【答案】BCD【解析】【分析】根据异面直线的定义直接判断AB选项，根据，转化求异面直线所成的角，利用确定平面的依据，作出平面截
8、正方体所得的截面，并求面积.【详解】A.直线与是异面直线，故A不正确；B.直线与是异面直线，故B正确；C. 由条件可知，所以异面直线与所成的角为，是等边三角形，所以，故C正确；D.如图，延长，并分别与和交于，连结交于点，连结，则四边形即为平面截正方体所得的截面，由对称性可知，四边形是等腰梯形，则梯形的高是，所以梯形的面积，故D正确. 故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查以正方体为载体，判断异面直线，截面问题，本题关键选项是D，首先要作出平面与正方体的截面，即关键作出平面.11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其
9、名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则下列叙述正确的是（ ）A. 是偶函数B. 在上是增函数C. 的值域是D. 的值域是【答案】B【解析】【分析】计算得出判断选项A不正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出在R上是增函数，判断选项B正确；由的范围，利用不等式的关系，可求出，进而判断选项CD不正确，即可求得结果.【详解】对于A，根据题意知，.，函数不是偶函数，故A错误；对于B，在上是增函数，则在上是减函数，则在上是增函数，故B正确；对于C， ，即的值域是，故C错误；对于D，的值域是，则的值域是，故D错误.故选：B.【点睛】本题要注意对函数
10、的新定义的理解，研究函数的单调性和值域常用分离常数，属于较难题.12. 已知函数满足，且在上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（ ）A. B. 若，则C. 的最小正周期为4D. 在上的零点个数最少为1010个【答案】AC【解析】【分析】解：对A，根据正弦函数图象的对称性可判断；对B，令代入，以及，即可求出，进而求得；对C，根据，即可求出最小正周期；对D，由可得函数在区间上的长度恰好为个周期，令 ，即可判断【详解】解：对A，的区间中点为，根据正弦曲线的对称性知，故A正确；对B，若，则 ，在上有最大值，无最小值，则，故B错误；对C，又在上有最大值，无最小值， ，(其中)， 解得：，故C正确；对
11、D，当时，区间长度恰好为个周期，当时，即时，在开区间上零点个数至多为个零点，故D错误.故选AC.【点睛】关键点点睛：对关于三角函数命题的真假问题，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键第II卷非选择题三、填空题13. 已知角的终边经过点，则的值等于_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义求出、的值，由此可求得的值.【详解】由三角函数的定义可得，因此，.故答案为：.14. 已知曲线的一条切线的斜率为，则该切线的方程为_.【答案】【解析】【分析】设出切点坐标，利用函数在切点处的斜率为即可求出切点，进而求出切线方程.【详解】设切点为，解得（舍去）或，故切线方程为，即
12、.故答案为：.15. 已知定义在上的奇函数满足，且当时，若，则实数_.【答案】1【解析】【分析】由抽象形式的变形得到函数的周期为6，并根据条件求出，最后代入函数解析式求.【详解】因为函数是奇函数，所以，即，所以函数的周期为6，即，而，解得：.故答案为：1【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据函数是奇函数，有，结合条件，得到函数的周期为6.16. 如图，正四面体的棱长为，点、分别是棱、的中点，则该正四面体的内切球半径为_；平面截该内切球所得截面的面积为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】计算出正四面体的体积以及表面积，可求得该正四面体的内切球半径为，找出球心的位置，计算出球心到截面的
13、距离，利用勾股定理可求得平面截该内切球所得截面圆的半径为，进而可求得截面圆的面积.【详解】如下图所示：设点在底面内的射影为点，则正四面体的球心在上，等边的外接圆半径为，所以，所以，正四面体的体积为，正四面体的表面积为，设该正四面体的内切球半径为，则，可得，设，连接，连接并延长交于点，则为的中点，连接，过点在平面内作，垂足为点，平面，平面，为的中点，且为等边三角形，所以，、分别是棱、的中点，则，平面，平面，平面，为的一条中位线，且，则为的中点，所以，平面，平面，由，可得，易知，平面截正四面体内切球的截面为圆，且该圆的半径为，因此，截面圆的面积为.故答案为：；.【点睛】结论点睛：表面积为，体积为的
14、棱锥的内切球的半径为.四、解答题17. 已知，分别为的三个内角，的对边，.（1）求；（2）若，的面积为，求.【答案】（1）；（2）8.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值（2）由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而利用余弦定理可求的值【详解】（1）由，根据正弦定理可得，即，由余弦定理，得，由于，所以.（2）因为的面积为，所以，即，因为，所以，所以【点睛】方法点睛：解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考
15、虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.18. 新冠肺炎疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？【答案】（1）；（2）万箱.【解析】【分析】（1）分和两种情况分析，利用利润等于销售收入减去成本可得出口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（2）分和两种情况
16、分析，利用二次函数和基本不等式求出口罩销售利润的最大值及其对应的值，综合可得出结论.【详解】（1）当时，；当时，.所以，；（2）当时，当时，取得最大值，最大值为万元；当时，当且仅当时，即时，取得最大值，最大值为万元.综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为万元.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾对于数学模型得到的数学结果，必须验证这
17、个数学解对实际问题的合理性19. 等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行2310第二行9414第三行81827（1）求数列的通项公式；（2）记为数列在区间中的项的个数，求数列的前100项的和.【答案】（1）；（2）284.【解析】【分析】（1）由题可得等比数列的首项为3，公比为3，即可得出通项公式；（2）根据题意得出当时，再分组求和即可求出.【详解】（1）由题意结合表中数据可得，所以等比数列的首项为3，公比为3，所以的通项公式为；（2）由题设及（1）知，且当时，. 所以.【点睛】解题关键：由题得出，且当时，是解题的关键，再
18、利用分组求和即可.20. 已知函数只能同时满足下列三个条件中的两个：图象上一个最低点为；函数的图象可由的图象平移得到；若对任意，恒成立，且的最小值为.（1）请写出这两个条件序号，并求出的解析式；（2）求方程在区间上所有解的和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）由题意分析出矛盾，可知满足题意，由可得出函数的最小正周期为，可求得，可说明不符合条件，进而可知符号题意的条件序号为，可得出，由此可得出函数的解析式；（2）由可得，解得或，再由可求得结果.【详解】（1）函数满足的条件为；理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数满足的条件之一，由可知，函数的最小正周期为，所以，故不合题意，所以
19、函数满足的条件为；由可知，所以（2）因为，所以，所以或，所以或又因为，所以的取值为、，所以方程在区间上所有的解的和为.【点睛】方法点睛：根据三角函数的基本性质求函数解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函数的最小正周期，进而得出；（3）取特殊点代入函数可求得的值.21. 如图，点是以为直径的圆上的动点（异于，），已知，四边形为矩形，平面平面.设平面与平面的交线为.（1）证明：平面；（2）当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明平面，再利用线面平行的性质定理证明，即证平面；（2）先利用基本不等式探索时三棱
20、锥体积最大，再建立以为坐标原点的空间直角坐标系（如图），计算平面与平面的法向量所成的夹角的余弦值，其绝对值计算对应平面的锐二面角的余弦值.【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，所以，因为是以为直径的圆上的圆周角，所以，因，平面，所以平面因为，平面，面，所以平面.平面与平面的交线为，得.因此平面.（2）解：中，设，所以，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以，当且仅当，即时，三棱锥体积最大值为，因为，所以平面.以为坐标原点，以，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，所以，平面的法向量，设平面的法向量，所以，取，则，即，所以，故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.【点睛
21、】方法点睛：求二面角的方法通常有两个思路：一是利用空间向量，建立坐标系，求得对应平面的法向量之间夹角的余弦值，再判断锐二面角或钝二面角，确定结果，这种方法优点是思路清晰、方法明确，但是计算量较大；二是传统方法，利用垂直关系和二面角的定义，找到二面角对应的平面角，再求出二面角平面角的大小，这种解法的关键是找到平面角.22. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）证明不等式恒成立.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性；（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证.【详解】（1），当时，所以在上单调递增；当时，令，得到，所以当时，单调递增，当，单调递减.综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.（2）设函数，则，可知在上单调递增.又由，知，在上有唯一实数根，且，则，即.当时，单调递减；当时，单调递增； 所以，结合，知，所以，则，即不等式恒成立.【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明的最小值大于0.
