1、_3.1直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率 在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1：直线l的位置能够确定吗？提示：不能问题2：过点P可以作与l相交的直线多少条？提示：无数条问题3：上述问题中的所有直线有什么区别？提示：倾斜程度不同1.倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角如图所示，直线l的倾斜角是APx，直线l的倾斜角是BPx.2倾斜角的范围：直线的倾斜角的取值范围是0180，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0.3倾斜角与直线形状的关系倾斜角00909090180直线对直线的倾斜角的理解(1)倾斜角定义中含有三
2、个条件：x轴正向；直线向上的方向；小于180的非负角(2)从运动变化的观点来看，直线的倾斜角是由x轴按逆时针方向旋转到与直线重合时所成的角(3)倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线对x轴的倾斜程度(4)平面直角坐标系中的每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等. 日常生活中，常用坡度(坡度)表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度.问题1：对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？提示：可以问题2：由上图中坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中
3、直线的倾斜程度能否如此度量？提示：可以问题3：通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？提示：与倾斜角的正切值相等1斜率的定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率常用小写字母k表示，即ktan_.2斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为k.当x1x2时，直线P1P2没有斜率3斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度1倾斜角与斜率k的关系(1)直线都有倾斜角，但并不是所有的直线都有斜率当倾斜角是90时，直线的斜率不存在，此时，直线垂直于x轴(平行于y轴或与y轴重合)(2)直线的斜率也反映了直线相对于x轴的正方向的倾斜程度当090
4、时，斜率越大，直线的倾斜程度越大；当90180时，斜率越大，直线的倾斜程度也越大2斜率公式(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换，就是说， 如果分子是y2y1，分母必须是x2x1；反过来，如果分子是y1y2，分母必须是x1x2，即k.(2)用斜率公式时要一看，二用，三求值一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论 (1)若直线l的向上方向与y轴的正方向成30角，则直线l的倾斜角为()A3
5、0B60C30或150 D60或120(2)下列说法中，正确的是()A直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan B直线的斜率为tan ，则此直线的倾斜角为C若直线的倾斜角为，则sin 0D任意直线都有倾斜角，且90时，斜率为tan (1)如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60或120.(2)对于A，当90时，直线的斜率不存在，故不正确；对于B，虽然直线的斜率为tan ，但只有0180时，才是此直线的倾斜角，故不正确；对于C，当直线平行于x轴时，0，sin 0，故C不正确，故选D.(1)D(2)D求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角(2)两点注
6、意：当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90.注意直线倾斜角的取值范围是0180.1直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是()A(1)已知过两点A(4，y)，B(2，3)的直线的倾斜角为135，则y_；(2)过点P(2，m)，Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为_；(3)已知过A(3,1)，B(m，2)的直线的斜率为1，则m的值为_(1)直线AB的斜率ktan 1351，又k，由1，得y5.(2)由斜率公式k1，得m1.(3)当m3时，直线AB平行于y轴，斜率不存在当m3时，k1，解得m0.(1)5(2)1(3)0利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(
7、1)运用公式的前提条件是“x1x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置3(2012河南平顶山高一调研)若直线过点 (1,2)，(4，2)，则此直线的倾斜角是()A30 B45C60 D90解析：选A设直线的倾斜角为，直线斜率k，tan .又0180，30. 已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由于的几
8、何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.根据题目中代数式的特征，看是否可以写成的形式，若能，则联想其几何意义(即直线的斜率)，再利用图形的直观性来分析解决问题4点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x时，求的取值范围解：的几何意义是过M(x，y)，N(1，1)两点的直线的斜率点M在函数y2x8的图象上，且x，设该线段为AB且A(2,4)，B(5，2)kNA，kNB，.的取值范围为 已知两点A(3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点，则l的倾斜角的取值范围_；直线l的斜率k的取值范围_如图，由题意可知kPA1，kPB1，则直线l
9、的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45，PA的倾斜角是135，直线l的倾斜角的取值范围是45135；要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k1或k1.45135k1或k11本题易错误地认为1k1，结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注意，当l的倾斜角小于90时，有kkPB；当l的倾斜角大于90时，则有kkPA.2.如图，过点P的直线l与直线段AB相交时，因为过点P且与x轴垂直的直线PC的斜率不存在，而PC所在的直线与线段AB不相交，所以满足题意的斜率夹在中间，即kPAkkPB.解决这类问题时，可利用数形结合思想直观地判断直线
10、是夹在中间还是在两边已知直线l过点P(3,4)，且与以A(1,0)，B(2,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围解：直线PA的斜率kPA1，直线PB的斜率kPB3，要使直线l与线段AB有公共点，k的取值范围为1关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是()A任一直线都有倾斜角，都存在斜率B倾斜角为135的直线的斜率为1C若一条直线的倾斜角为，则它的斜率为ktan D直线斜率的取值范围是(，)解析：选D任一直线都有倾斜角，但当倾斜角为90时，斜率不存在所以A、C错误；倾斜角为135的直线的斜率为1，所以B错误；只有D正确2已知经过两点(5，m)和(m,8)的直线的斜率等于1，则
11、m的值是()A5B8C. D7解析：选C由斜率公式可得1，解之得m.3直线l经过原点和(1,1)，则它的倾斜角为_解析：kl1，因此倾斜角为135.答案：1354已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(2，9a)在同一条直线上，实数a的值为_解析：A、B、C三点共线，kABkBC，即，a2或.答案：2或5已知A(m，m3)，B(2，m1)，C(1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值解：由题意直线AC的斜率存在，即m1.kAC，kBC.3.整理得：m1(m5)(m1)，即(m1)(m4)0，m4或m1(舍去)m4.一、选择题1给出下列说法，正确的个数是()若两直线的倾斜角相等
12、，则它们的斜率也一定相等；一条直线的倾斜角为30；倾斜角为0的直线只有一条；直线的倾斜角的集合|0180与直线集合建立了一一对应关系A0 B1C2 D3解析：选A若两直线的倾斜角为90，则它们的斜率不存在，错；直线倾斜角的取值范围是 BC. D(0,3解析：选B过点(1,2)的斜率为非负且最大斜率为此点与原点的连线斜率时，图象不过第四象限二、填空题6已知a0，若平面内三点A(1，a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a_.解析：若平面内三点共线，则kABkBC，即，整理得a22a10，解得a1，或a1(舍去)答案：17如果直线l1的倾斜角是150，l2l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别
13、相交于点C，A，l3平分BAC，则l3的倾斜角为_解析：因为直线l1的倾斜角为150，所以BCA30，所以l3的倾斜角为(9030)30.答案：308已知实数x，y满足方程x2y6，当1x3时，的取值范围为_解析：的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率，因为点M在函数x2y6的图象上，且1x3，所以可设该线段为AB，且A，B，由于kNA，kNB，所以的取值范围是.答案：三、解答题9已知直线l过点A(1,2)，B(m,3)，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围解：设l的斜率为k，倾斜角为，当m1时，斜率k不存在，90，当m1时，k，当m1时，k0，此时为锐角，090，当m1时，k0，此时为钝角，90180.所以(0，180)，k(，0)(0，)10已知A(3,3)，B(4,2)，C(0，2)，(1)求直线AB和AC的斜率(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围解：(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB.直线AC的斜率kAC.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为.(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是.
