1、板块命题点专练(四)导数及其应用 (研近年高考真题找知识联系，找命题规律，找自身差距)命题点一导数的运算及几何意义命题指数：难度：中、低 题型：选择题、填空题1(2014全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0B1C2 D3解析：选Dya，由题意得y|x02，即a12，所以a3.2(2015陕西高考)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_解析：yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所
2、以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)3(2015全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.解析：法一：yxln x，y1，yx12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：8命题点二导数的
3、应用 命题指数： 难度：高、中 题型：选择题、填空题、解答题1(2014全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1 C2，) D1，) 解析：选D因为f(x)kxln x，所以f(x)k.因为f(x)在区间(1，)上单调递增，所以当x1时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以00时，xf(x)f(x)0成立的x的取值范围是()A(，1)(0,1) B(1,0)(1，)C(，1)(1,0) D(0,1)(1，)解析：选A设yg(x)(x0)，则g(x)，当x0时，xf(x)f(x)0，g(x)0时，由f(x)0，得g(
4、x)0，由图知0x1，当x0，得g(x)0，由图知x0成立的x的取值范围是(，1)(0,1)，故选A.3(2015全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为f lnaln aa1.因此f 2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(
5、a)0.因此，a的取值范围是(0,1)4(2015重庆高考)设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围解：(1)对f(x)求导得f(x).因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x)，令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2.当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x
6、0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点解：(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f(
7、)0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点6(2015福建高考)已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)x1；(3)确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解：(1)f(x)x1，x(0，)由f(x)0，得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)，则有F(x).当x(1，)
8、时，F(x)0，所以F(x)在1，)上单调递减，故当x1时，F(x)F(1)0，即当x1时，f(x)x1.(3)由(2)知，当k1时，不存在x01满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)k(x1)，从而不存在x01满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则有G(x)x1k.由G(x)0，得x2(1k)x10，解得x10，x21.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，实数k的取值范围是(，1)命题点三定积分命题指数：难度：中、低题型：选择题、填空题1.(2
9、014江西高考)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1BC. D1解析：选Bf(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.2(2013江西高考)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S2S1解析：选BS1x3，S2ln xln 2ln e1，S3exe2e2.722.74.59，所以S2S1S3.3(2015天津高考)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为_解析：如图，阴影部分的面积即为所求由得A(1,1)故所求面积为S(xx2)dx.答案： 4.(2015陕西高考)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为_解析：建立如图所示的平面直角坐标系，由抛物线过点(0，2)，(5,0)，(5,0)，得抛物线的函数表达式为yx22，抛物线与x轴围成的面积S1dx，梯形面积S216.最大流量比为S2S11.2.答案：1.2
