1、第4讲圆锥曲线的热点问题基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1(2014南京模拟)已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的方程为_解析由题意，得解得椭圆C的方程为1.答案12直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为_解析由得k2x2(4k8)x40，若k0，则y2，若k0，若0，即6464k0，解得k1，因此直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k0或1.答案1或03(2014济南模拟)若双曲线1(a0，b0)与直线yx无交点，则离心率e的取值范围是_解析因为双曲线的渐近线为yx，要使直线yx
2、与双曲线无交点，则直线yx应在两渐近线之间，所以有，即ba，所以b23a2，c2a23a2，即c24a2，e24，所以10，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2_.解析如图，设|AF1|m，则|BF1|m，|AF2|m2a，|BF2|m2a，|AB|AF2|BF2|m2am2am，得m2a，又由|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，可得m2(m2a)24c2，即得(208)a24c2，e252.答案528(2014青岛调研)过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线分
3、别交于A，B两点，则的值是_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，易知直线AB的方程为yxp，代入抛物线方程y22px，可得x1x2p，x1x2，可得x1p，x2，可得3.答案3二、解答题9椭圆1(ab0)与直线xy10相交于P，Q两点，且OPOQ(O为原点)(1)求证：等于定值；(2)若椭圆的离心率e，求椭圆长轴长的取值范围(1)证明由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0，直线与椭圆有两个交点，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1 、x2是方程的两实根xx1x2，x1
4、x2.由OPOQ得x1x2y1y20，又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)10.式代入式化简得a2b22a2b2.2.(2)解利用(1)的结论，将a表示为e的函数由eb2a2a2e2，代入式，得2e22a2(1e2)0.a2.e，a2.a0，a.长轴长的取值范围是，10(2014佛山模拟)已知椭圆1(a0，b0)的左焦点F为圆x2y22x0的圆心，且椭圆上的点到点F的距离最小值为1. (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点A，B，点M，证明：为定值解(1)化圆的标准方程为(x1)2y21，则圆心为(1,0)，半径r1，所以椭圆的半焦距c1.又椭圆上的点
5、到点F的距离最小值为1，所以ac1，即a.故所求椭圆的方程为y21.(2)当直线l与x轴垂直时，l的方程为x1.可求得A，B.此时，.当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，由得(12k2)x24k2x2k220，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x则x1x2，x1x2.因为y1y2x1x2(x1x2)2k(x11)k(x21)(1k2)x1x2(x1x2)k2(1k2)k22.所以，为定值，且定值为.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、填空题1(2014石家庄模拟)若AB是过椭圆1(ab0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM
6、分别表示直线AM，BM的斜率，则kAMkBM_.解析设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(x1，y1)，kAMkBM.答案2(2014兰州诊断)若直线mxny4和O：x2y24没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆1的交点个数为_解析直线mxny4和O：x2y24没有交点，2，m2n24，1，点(m，n)在椭圆1的内部，过点(m，n)的直线与椭圆1的交点有2个答案23(2014上海普陀一模)若C(，0)，D(，0)，M是椭圆y21上的动点，则的最小值为_解析由椭圆y21知c2413，c，C、D是该椭圆的两焦点，令|MC|r1，|MD|r2，则r1r22a4，又r1r224，1.当且仅当r
7、1r2时，上式等号成立故的最小值为1.答案1二、解答题4(2014合肥一模)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1和F2，由四个点M(a，b)、N(a，b)、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形(1)求椭圆的方程；(2)过点F1的直线和椭圆交于两点A，B，求F2AB面积的最大值解(1)由条件，得b，且3，所以ac3.又a2c23，解得a2，c1.所以椭圆的方程1.(2)显然，直线的斜率不能为0，设直线方程为xmy1，直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程消去x，得(3m24)y26my90，因为直线过椭圆内的点，无论m为何值，直线和椭圆总相交y.y1y2，y1y2.SF2AB|F1F2|y1y2|y1y2|1244，令tm211，设yt，易知t时，函数单调递减，t函数单调递增，所以当tm211，即m0时，ymin.SF2AB取最大值3.
