1、第2讲直接证明与间接证明最新考纲1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法框图表示：PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)思维过程：由因导果(2)分析法定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图
2、表示：QP1P1P2P2P3得到一个明显成立的条件(其中Q表示要证明的结论)思维过程：执果索因2间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法辨 析 感 悟对三种证明方法的认识(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式最合适的方法是分析法()感悟提升两点提醒一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知
3、”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法所谓矛盾主要指：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与公认的简单事实矛盾；自相矛盾.考点一综合法的应用【例1】 (2013新课标全国卷)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcac；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即
4、abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.学生用书第203页规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明【训练1】 (1)设a0，b0，ab1，求证：8.(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：3.证明(1)ab1，11222248，当且仅当ab时，等号成立(2)a，b，c全不相等，且都大于0.与，与，与全不相等，2，2，2，三式相加得6，3，即3.考点二分析法的应用【例2】 已知a0，求证：a2.审题路线从结论出发观察不等式两边的符号移项(把不等式两边都
5、变为正项)平方移项整理平方移项整理可得显然成立的结论证明(1)要证a2，只需要证2a.a0，故只需要证22，即a244a2222，从而只需要证2，只需要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证【训练2】 已知m0，a，bR，求证：2.证明m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2
6、)即证m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20显然成立，故原不等式得证考点三反证法的应用【例3】 等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列(1)解由已知得d2，故an2n1，Snn(n)(2)证明由(1)得bnn.假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr.即(q)2(p)(r)(q2pr)(2qpr)0.p，q，rN*，2pr，(pr)20.pr，与pr矛盾数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列.学生
7、用书第204页规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的【训练3】 已知a1，求证三个方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一个方程有实数根证明假设三个方程都没有实数根，则a1.这与已知a1矛盾，所以假设不成立，故原结论成立1分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知2综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知3分析法和综合法各有优缺
8、点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来4利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的答题模板13反证法在证明题中的应用【典例】 (14分)(2013北京卷)直线ykxm(m0)与椭圆W：y21相交于A，C两点，O是坐标原点(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形规
9、范解答(1)解因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分 (2分)所以可设A，代入椭圆方程得1，即t.所以|AC|2. (5分)(2)证明假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且ACOB，所以k0.由消y并整理得(14k2)x28kmx4m240. (7分)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M. (9分)因为M为AC和OB的交点，且m0，k0，所以直线OB的斜率为.(11分)因为k1，所以AC与OB不垂直 (13分)所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形(14分)反思感悟 (1)掌握反证法的证明
10、思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去答题模板用反证法证明数学命题的答题模板：第一步：分清命题“pq”的条件和结论；第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.学生用书第205页【自主体验】设直线l1：yk1x1，l2：yk2x1，其中实数k
11、1，k2满足k1k220.(1)证明：l1与l2相交；(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2y21上证明(1)假设l1与l2不相交，则l1与l2平行或重合，有k1k2，代入k1k220，得k20.这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1k2，即l1与l2相交(2)由方程组解得交点P的坐标为.从而2x2y22221，所以l1与l2的交点P(x，y)在椭圆2x2y21上对应学生用书P381基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014安阳模拟)若ab0，则下列不等式中成立的是()A. BabCba D.解析(特值法)取a2，b1，验证C正确答案C2用反证法证明命题：“已知a，bN，若ab可
12、被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是()Aa，b都不能被5整除Ba，b都能被5整除Ca，b中有一个不能被5整除Da，b中有一个能被5整除解析由反证法的定义得，反设即否定结论答案A3(2014上海模拟)“a”是“对任意正数x，均有x1”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析当a时，x21，当且仅当x，即x时取等号；反之，显然不成立答案A4(2014张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设abc，且abc0，求证a”索的因应是()Aab0 Bac0C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)0解析由题意知ab2ac3a2(ac
13、)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.答案C5(2014天津模拟)p，q(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小为()Apq Bpq Cpq D不确定解析q p.答案B二、填空题6下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0且0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立答案37已知a，b，m均为正数，且ab，则与的大小关系是_解析，a，b，m0，且ab，ba0，.答案8设a，b是两个实数，给出下列条件：ab2；a2b22.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件的是_(填上序号)答案三、解答题9若a，b，
14、c是不全相等的正数，求证：lglglglg alg blg c.证明a，b，c(0，)，0，0，0.又上述三个不等式中等号不能同时成立abc成立上式两边同时取常用对数，得lglg abc，lglglglg alg blg c.10(2014鹤岗模拟)设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列(2)解当q1时，Snna1，故Sn是等差数列；当q1时，S
15、n不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a，b，c()A都大于2 B都小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2解析a0，b0，c0，6，当且仅当abc1时，“”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D2已知函数f(x)x，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()AABC BACBCBCA DCBA解析，又f(x)x在R上是减函数，f
16、f()f.答案A二、填空题3(2014株洲模拟)已知a，b，(0，)，且1，则使得ab恒成立的的取值范围是_解析a，b(0，)，且1，ab(ab)1010216，当且仅当a4，b12时，等号成立，ab的最小值为16.要使ab恒成立，需16，016.答案(0,16三、解答题4(2013江苏卷)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项的和记bn，nN*，其中c为实数(1)若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c0.证明由题意得，Snnad.(1)由c0，得bnad.又因为b1，b2，b4成等比数列，所以bb1b4
17、，即2a，化简得d22ad0.因为d0，所以d2a.因此，对于所有的mN*，有Smm2a.从而对于所有的k，nN*，有Snk(nk)2an2k2an2Sk.(2)设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对于所有的nN*，有An3Bn2cd1nD.(*)在(*)式中分别取n1,2,3,4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由可得A0，B0，从而cd10.即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又因为cd10，所以c0.学生用书第205页
