1、专题05 数列一、选择题1(2018全国卷)记为等差数列的前项和，若，则A B C DB【解析】通解 设等差数列的公差为，解得，故选B优解 设等差数列的公差为，故选B2记为等差数列的前项和若，则 的公差为A1 B2 C4 D8C【解析】解法一 由，得，由，得，设公差为，即，所以选C解法二 设公差为，则有解得，故选C3等差数列的首项为1，公差不为0若，成等比数列，则前6项的和为A24 B3 C3 D8A【解析】设的公差为（），由，得，所以，选A4已知等差数列前9项的和为27，则A100 B99 C98 D97C【解析】设等差数列的公差为，因为为等差数列，且，所以又，解得，所以，所以，选C5在等差
2、数列中，若，则A1 B0 C1 D6B【解析】由等差数列的性质得，选B6已知是等差数列，公差不为零，前项和是若成等比数列，则A B C DB【解析】由成等比数列可得：，即，所以，所以又7(2018北京) “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A B C DD【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，第一个单音的频率为，由等比数列的概念可
3、知，这十三个单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为，则第八个单音频率为，故选D8(2018浙江)已知，成等比数列，且若，则A， B，C， D，B【解析】解法一 因为()，所以，所以，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以，与矛盾，所以，所以，所以，故选B解法二 因为，所以，则，又，所以等比数列的公比若，则，而，所以与矛盾，所以，所以，所以，故选B9我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A1盏 B3盏 C5盏 D9盏B【解析
4、】设塔顶共有灯盏，根据题意各层等数构成以为首项，2为公比的等比数列，解得选B10等比数列满足，则=A21 B42 C63 D84D【解析】由等比数列的性质得，因此一定成等比数列11已知数列满足，则的前10项和等于A B C D【解析】，是等比数列 又，故选C12设，在中，正数的个数是A25 B50 C75 D100D 【解析】由数列通项可知，当，时，当， 时，因为，都是正数；当，同理也都是正数，所以正数的个数是100.13几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，
5、1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推求满足如下条件的最小整数：且该数列的前项和为2的整数幂那么该款软件的激活码是A440 B330 C220 D110A【解析】对数列进行分组如图则该数列前组的项数和为由题意可知，即，解得，即出现在第13组之后又第组的和为前组的和为，设满足条件的的在第(,)组，且第项为第的第个数，第组的前项和为，要使该数列的前项和为2的整数幂，即与互为相反数，即，所以，由，所以，则，此时对应满足的最小条件为，故选A14定义“规范01数列”如下：共有项，其中项为0，项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数若
6、=4，则不同的“规范01数列”共有（A）18个 （B）16个 （C）14个 （D）12个C【解析】由题意可得，中有3个0、3个1，且满足对任意8，都有，中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列”有00001111,00010111, 00011011,00011101,00100111, 00101011,00101101,00110011,00110101,01000111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14个二、填空题15(2018北京)设是等差数列，且，则的通项公式为_【解析】解法一 设的公差为，首项为，则，解得，所以解法二
7、 ，所以故，故16(2018上海)记等差数列的前几项和为，若，则= 【解析】设等差数列的公差为，17等差数列的前项和为，则 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，所以18在等差数列中，若，则 10 【解析】 由得，所以，故19设等比数列满足，则 = _【解析】设的首项为，公比为，所以，解得 ，则20等比数列的各项均为实数，其前项的和为，已知，则= 32【解析】设的公比为，由题意，由，所以，由，得，所以21若等差数列和等比数列满足，则=_1【解析】设的公差为，的公比为，由题意，所以，所以22设等比数列满足，则的最大值为 .【解析】设的公比为，由，得，则，所以23设数列的前项和为若，
8、则= ，= 【解析】由于，解得，由，所以，所以是以为首项，3为公比的等比数列，所以，所以24(2018全国卷)记为数列的前项和，若，则_【解析】通解 因为，所以当时，解得；当时，解得；当时，解得；当时，解得；当时，解得；当时，解得所以优解 因为，所以当时，解得，当时，所以，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以，所以25等差数列的前项和为，则 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以，所以26(2018江苏)已知集合，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列记为数列的前项和，则使得成立的的最小值为 27【解析】所有的正奇数和()按照从小到大的顺序排列构成，在数列 中，前面有16
9、个正奇数，即，当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，不符合题意；当时，= 441 +62= 503=540，符合题意故使得成立的的最小值为2727中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为 5【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为28数列满足，=2，则=_【解析】将代入，可求得；再将代入，可求得；再将代入得；由此可知数列是一个周期数列，且周期为3，所以三、解答题29（2018全国卷）记为等差数列的前项和，已知，(1)求的通项公式；(2)求，并求的最小值【解析】(1)设的公差为d，由题意得由得d=2所以的通项公式为(2)由(1)
10、得所以当时，取得最小值，最小值为1630设和是两个等差数列，记，其中表示这个数中最大的数（）若，求的值，并证明是等差数列；（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列【解析】（）易知，且，所以，下面证明：对任意且，都有当且时，且因此对任意且，则又，故对均成立，从而是等差数列（）设数列和的公差分别为，下面我们考虑的取值对，考虑其中任意项且，下面分，三种情况进行讨论（1）若，则若，则则对于给定的正整数而言，此时，故是等差数列，则则对于给定的正整数而言，此时，故是等差数列此时取，则是等差数列，命题成立（2）若，则此时为一个关于的一次项系数为负数的一次函数故必存在，使得
11、当时，则当时，因此，当时，此时，故从第项开始为等差数列，命题成立（3），则此时为一个关于的一次项系数为正数的一次函数故必存在，使得当时，则当时，因此当时，此时令，下面证明对任意正数，存在正整数，使得当时，若，则取（表示不等于的最大整数）当时，此时命题成立若，则取当时此时命题成立因此，对任意正数，使得当时，综合以上三种情况，命题得证31已知数列 的前n项和，是等差数列，且 （）求数列的通项公式；（）令 求数列的前n项和Tn.【解析】()因为数列的前项和，所以，当时，又对也成立，所以又因为是等差数列，设公差为，则当时，；当时，解得，所以数列的通项公式为()由，于是，两边同乘以，得，两式相减，得32
12、已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的，是和的等差中项()设，求证：数列是等差数列；()设 ，求证：【解析】()由题意得，有，因此，所以数列是等差数列()所以33（2018全国卷）等比数列中，(1)求的通项公式；(2)记为的前项和若，求【解析】(1)设的公比为，由题设得由已知得，解得（舍去），或故或(2)若，则由得，此方程没有正整数解若，则由得，解得综上，34已知是各项均为正数的等比数列，且，（）求数列的通项公式；（）如图，在平面直角坐标系中，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线，所围成的区域的面积【解析】()设数列的公比为，由已知由题意得，所以，因为,所以，因此数列的通项公式为（）
13、过，向轴作垂线，垂足分别为，,由()得记梯形的面积为由题意，所以+=+ 又+ 得= 所以35已知数列的前项和，其中（）证明是等比数列，并求其通项公式；（）若，求【解析】（）由题意得，故，.由，得，即由，且得，所以.因此是首项为，公比为的等比数列，于是（）由（）得，由得，即，解得36（2018浙江）已知等比数列的公比，且，是，的等差中项数列满足，数列的前项和为(1)求的值；(2)求数列的通项公式【解析】(1)由是，的等差中项得，所以，解得由得，因为，所以(2)设，数列前项和为由，解得由(1)可知，所以，故，设，所以，因此，又，所以37(2018天津)设是等比数列，公比大于0，其前项和为，是等差数
14、列已知，(1)求和的通项公式；(2)设数列的前项和为，(i)求；(ii)证明【解析】(1)设等比数列的公比为q由可得因为，可得，故设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而 故 所以数列的通项公式为，数列的通项公式为(2)(i)由(1)，有，故(ii)证明：因为，所以，38对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数总成立，则称数列是“数列”（1）证明：等差数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列【解析】证明:（1）因为是等差数列，设其公差为，则，从而，当时，所以，因此等差数列是“数列”.（2）数列既是“数列”，又是“数列”，因此，当时，当时，.由知，将代入，得，
15、其中，所以是等差数列，设其公差为.在中，取，则，所以，在中，取，则，所以，所以数列是等差数列.39为等差数列的前n项和，且，记，其中表示不超过x的最大整数，如，（）求，；（）求数列的前项和【解析】（）设的公差为，（）记的前项和为，则当时，；当时，；当时，；当时，40(2018江苏)设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列(1)设，若对均成立，求的取值范围；(2)若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）【解析】(1)由条件知：,因为对=1，2，3，4均成立，即对=1，2，3，4均成立，即11，13，35，79，得因此，的取值范围为(2)由条件知：,若存在，使得(=2
16、，3，+1)成立，即(=2，3，+1)，即当时，满足因为，则，从而，对均成立因此，取=0时，对均成立下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）当时，当时，有，从而因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为设，当时，所以单调递减，从而当时，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为因此，的取值范围为41已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，,，（）求和的通项公式；（）求数列的前n项和【解析】（）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.由，可得 .由，可得 ，联立，解得，由此可得.所以，数列的通项公式为，数列的通项公式为.（）设数列的
17、前项和为，由，有，故，上述两式相减，得 得.所以，数列的前项和为.42已知数列满足：，证明：当时（）；（）；（）【解析】（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故因此所以因此（）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（）因为所以得由得所以 故综上， 43已知数列的首项为1，为数列的前n项和， ，其中q0， .（I）若 成等差数列，求的通项公式；()设双曲线的离心率为，且，证明：【解析】（）由已知， 两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等比数列，可得，即，则，由已知,，故 .所以.（）由（）可知，.所以双曲线的离心率
18、 .由解得.因为，所以.于是，故.44已知等差数列满足.（1）求数列的通项公式及前项和；（2）记数列的前项和为，若，求的最小值.【答案】（1），；（2）100【解析】（1）设等差数列的公差为.依题意有解得 所以. （2）因为所以.因为，即， 所以.所以的最小值为45已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等比数列；（2）已知曲线若为椭圆，求的值；（3）若，求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）或；（3）.【解析】（1）对任意的，则且，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，也适合上式，所以，.由于曲线是椭圆，则，即，解得或；（3），得，因此，.46已知数列满足，2，.求数列的通项；设，求【答案】； .【解析】解：，2，3，得，当n为奇数，当n为偶数，所以；，
