1、清江中学2015-2016学年高三数学阶段性测试 2015.12.19参考公式：第I卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.函数的周期为_.2.为了调查城市PM2.5的值，按地域把48个城市分为甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为10，18,20.若用分层抽样的方法抽取16个城市，则乙组中应抽取的城市数为_.3.半径为1的半球的表面积为_.4.若函数，则=_.5.若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的等于_.6. 若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是_.7. 已知，其中，则=_.8. 在中，角的对边分别是，且，则角的大小是_.9. 一
2、个幼儿园的母亲节联谊会上，有3个小孩分别给妈妈画了一幅画作为礼物，放在了3个相同的信封里，可是忘了做标记，现在妈妈们随机任取一个信封，则恰好有一个妈妈拿到了自己孩子的画的概率为_.10. 已知为常数，函数在区间上的最大值为2，则=_.11. 已知各项均为正数的等比数列满足：，若，则的最小值为_.12. 设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为_.13. 如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横坐标分别对应数列的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则=_.14. 已知正方形，过正方形中心的直线分别交正方形的边于点，则最小值
3、为_.二、解答题:本大题共6小题，共90分.16. （本小题满分14分）如图于，分别为的中点若（1） 求证：；（2） 求的长.17. （本小题满分14分）某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，长要超过4米（不含4米），为的中点，到的距离比的长小1米，（1） 若，将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段、和的长度之和）（2） 如何设计、的长，可使支架总长度最短. 18. （本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，方程为的圆的内接四边形的对角线互相垂直，且分别在轴和轴上.（1） 若四边形的面积为40，对角线的长为8，且为锐角，求圆的方程，并求出的坐标
4、；（2） 设四边形的一条边的中点为，且垂足为，试用平面解析几何的研究方法判断点是否共线，并说明理由.19. 已知数列的前项和为，点在直线上，数列满足：，且，前9项和为153.（1） 求数列的通项公式；（2） 设，数列的前项和为，求使不等式对一切都成立的最大正整数的值；（3） 设，问是否存在，使得是公比为5的等比数列中的两项，且.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.20. 给出定义在上的三个函数；，已知在处取最值.（1） 确定函数的单调性；（2） 求证：当时，恒有成立；（3） 把函数的图象向上平移6个单位得到函数，试确定函数的零点个数，并说明理由.第卷（附加题，共40分）请考生在22、23、
5、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.21.本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.A.（选修41：几何证明选讲）在中，过点的直线与其外接圆交于点，交延长线于点D，求证：B.（选修42：矩阵与变换）的顶点，求在矩阵对应的变换下所得图形的面积.C.（选修44：坐标系与参数方程）已知直线（为参数）和直线交于点.（1） 求点的坐标；（2） 求点与的距离.D.（选修45：不等式选讲）设是正数，证明：.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分22. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，点在棱上.（1） 若是的中点，求异面直
6、线与所成角的余弦值；（2） 若二面角的余弦值为，求的长度.23. 设为虚数单位，为正整数.（1） 证明：；（2） 结合等式“”证明：.清江中学2015-2016学年高三数学阶段性测试参考答案 2015.12.19一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1. 2. 6 3. 4. 0 5. 63 6. 7. 8. 9. 10. 1 11. 4 12. 13. 1007 14. 二、解答题： 15.（1）解：因为 3分所以. 6分（2） 解：当时，由正弦定理，解得.由得，8分由余弦定理，得解得（负舍）， 14分16. （1）证明：在中，又，故为等腰直角三角形，又， 7分（2） 取的中
7、点，连接，. 14分17. （1）由，则，设，则支架的总长度为，由，则 6分由题中条件得 7分（2） 设则原式 10分由基本不等式 有且仅当，即时成立，又由满足，当时，金属支架总长度最短.14分18. 解：（1）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为可得. 2分又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故，连接，求得，所以，故圆的方程为，6分令，求得8分（2） 证：设四边形四个顶点的坐标分别为.则可得点的坐标为，即12分又，且，故使共线，只需证即可而，且对于圆的一般方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于
8、是有，所以，即，故必定三点共线 16分19. 解：（1）点在直线上，.，数列是等差数列，它的前9项和为153，设公差为，则，解得 4分（2） 由（1）得，6分 8分 在上是单调递增的，的最小值为.不等式对一切都成立，最大正整数的值为8.10分（3） ， 当为奇数时，为偶数；当为偶数时，为奇数，又若成立，则有，或只能时，解得，所以当时，16分20. 解：（1）由题设，则，由已知， 2分于是，则，由所以在上是增函数，在上是减函数.5分（2） 当时，即，欲证，只需证，即证，8分设，则当时，所以在上为增函数.从而当时，即，故 11分（3） 由题设，令，则，设，12分，令得，当时，当时，所以，而时，时，故函数的图象与轴有且仅有两个交点，也就是说函数有两个零点.16分
