1、选修4-5 不等于选讲第1讲绝对值不等式(建议用时:60分钟)1设函数f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2;(2)求函数yf(x)的最小值解(1)法一令2x10,x40分别得x,x4.原不等式可化为:或或即或或x7或x.原不等式的解集为.法二f(x)|2x1|x4|画出f(x)的图像,如图所示求得y2与f(x)图像的交点为(7,2),.由图像知f(x)2的解集为.(2)由(1)的法二图像知:当x时,知:f(x)min.2(2017长沙一模)设,均为实数(1)证明:|cos()|cos |sin |,|sin()|cos |cos |;(2)若0,证明:|cos |cos |cos
2、 |1.证明(1)|cos()|cos cos sin sin |cos cos |sin sin |cos |sin |;|sin()|sin cos cos sin |sin cos |cos sin |cos |cos |.(2)由(1)知,|cos()|cos |sin()|cos |cos |cos |,而0,故|cos |cos |cos |1.3(2016镇江模拟)已知a和b是任意非零实数(1)求的最小值;(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立,求实数x的取值范围解(1)4,的最小值为4.(2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立,即|2x
3、|2x|恒成立,故|2x|2x|min.由(1)可知,的最小值为4.x的取值范围即为不等式|2x|2x|4的解集解不等式得2x2.故实数x的取值范围为2,24(2017广州二测)已知函数f(x)log2(|x1|x2|a)(1)当a7时,求函数f(x)的定义域;(2)若关于x的不等式f(x)3的解集是R,求实数a的最大值解(1)由题设知|x1|x2|7,当x2时,得x1x27,解得x4.当1x2时,得x12x7,无解当x1时,得x1x27,解得x3.函数f(x)的定义域为(,3)(4,)(2)不等式f(x)3,即|x1|x2|a8,当xR时,恒有|x1|x2|(x1)(x2)|3,又不等式|x
4、1|x2|a8的解集是R,a83,即a5,a的最大值为5.5设函数f(x)2|x1|x1,g(x)16x28x1.记f(x)1的解集为M,g(x)4的解集为N.(1)求M;(2)当x(MN)时,证明:x2f(x)xf(x)2.(1)解f(x)当x1时,由f(x)3x31,得x,故1x;当x1时,由f(x)1x1得x0,故0x1.所以f(x)1的解集为Mx|0x(2)证明由g(x)16x28x14得1624,解得x.因此N,故MN.当x(MN)时,f(x)1x,于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)2.6(2017郑州模拟)已知函数f(x)|2xa|2x3|,g(x)|x1|2.(1)解不等式:|g(x)|5;(2)若对任意的x1R,都有x2R,使得f(x1)g(x2)成立,求实数a的取值范围解(1)由|x1|2|5,得5|x1|25,所以7|x1|3,解不等式得2x4,所以原不等式的解集是x|2x4(2)因为对任意的x1R,都有x2R,使得f(x1)g(x2)成立,所以y|yf(x)y|yg(x),又f(x)|2xa|2x3|2xa(2x3)|a3|,g(x)|x1|22,所以|a3|2,解得a1或a5,所以实数a的取值范围是a|a1或a5.