1、第2讲函数与方程及函数的应用(建议用时：60分钟)一、选择题1(2013湖南卷)函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象的交点个数为()A3B2C1D0解析由已知g(x)(x2)21，所以其顶点为(2,1)，又f(2)2ln 2(1,2)，可知点(2,1)位于函数f(x)2ln x图象的下方，故函数f(x)2ln x的图象与函数g(x)x24x5的图象有2个交点答案B2“a3”是“函数f(x)ax3在(1,2)上存在零点”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析由于“函数f(x)ax3在(1,2)上存在零点”f(1)f(2)0(a3)(2a3
2、)0a3，则“a3”是“函数f(x)ax3在(1,2)上存在零点”的充分不必要条件答案A3已知函数f(x)则函数f(x)的零点为()A.，0B2,0CD0解析当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2 x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上，函数f(x)的零点只有0，故选D.答案D4函数f(x)xsin x在区间0,2上的零点个数为()A1B2C3D4解析在同一坐标系内作出函数yx及ysin x在0,2上的图象，发现它们有两个交点，即函数f(x)在0,2上有两个零点答案B5设函数f(x)xln x(x0)，则yf(x)()A在区间，(1，e)内均有零点B在区
3、间，(1，e)内均无零点C在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点D在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点解析法一因为fln10，f(1)ln 10，f(e)ln e10，f(1)f(e)0，故yf(x)在区间内无零点(f(x)在内根据其导函数判断可知单调递减)，在区间(1，e)内有零点法二在同一坐标系中分别画出yx与yln x的图象，如图所示由图象知零点存在区间(1，e)内答案D6若函数yf(x)(xR)满足f(x1)f(x)，且x1,1时f(x)1x2.函数g(x)则函数h(x)f(x)g(x)在区间5,4内的零点的个数为()A7B8C9D10解析由f(x1)f(x)，可得f(x2)f(
4、x1)f(x)，所以函数f(x)的周期为2，求h(x)f(x)g(x)在区间5,4内的零点，即求f(x)g(x)在区间5,4上图象交点的个数画出函数f(x)与g(x)的图象，如图，由图可知两图象在5,4之间有7个交点，所以所求函数有7个零点，选A.答案A7(2013重庆卷)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内解析由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象
5、是连续不断的曲线，因此函数f(x)的两零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案A二、填空题8一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为40 cm、60 cm，现要将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是_cm2.解析设直角边为40 cm和60 cm上的矩形边长分别为x cm、y cm，则，解得y60x.矩形的面积Sxyx(x20)2 600，当x20时矩形的面积最大，此时S600.答案6009已知x表示不超过实数x的最大整数，如1.81，1.22.x0是函数f(x)ln x的零点，则x0_.解析函数f(x)的定义域为(0，)，且易判断函数f(x)在
6、(0，)上单调递增由f(2)ln 210，知x0(2，e)，x02.答案210(2013新课标全国卷)已知函数f(x)若|f(x)|ax，则a的取值范围是_解析当x0时，f(x)x22x(x1)210，所以|f(x)|ax，化简为x22xax，即x2(a2)x，因为x0，所以a2x恒成立，所以a2；当x0时，f(x)ln(x1)0，所以|f(x)|ax化简为ln(x1)ax恒成立，由函数图象可知a0，综上，当2a0时，不等式|f(x)|ax恒成立，故填2,0答案2,011(2014福建卷)函数f(x)的零点个数是_解析分段函数分别在每一段上判断零点个数，单调函数的零点至多有一个当x0时，令x2
7、20，解得x(正根舍去)所以在(，0)上有一个零点当x0时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln 20，f(2)f(3)0)当a2时，函数f(x)的图象与函数y1a|x|的图象有3个交点故a2.当ya|x|(x0)与y|x25x4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与y1a|x|的图象有5个交点，此时，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，则当1a0恒成立，即对于任意bR，b24ab4a0恒成立，所以有(4a)24(4a)0a2a0，所以0a1.因此实数a的取值范围是(0,1)14(2014湖州调研)某工厂某种产品的年
8、固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足80千件时，C(x)x210x(万元)；当年产量不小于80千件时，C(x)51x1 450(万元)每件商品售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大？解(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x千件商品销售额为0.051 000x万元，依题意得，当0x80时，L(x)(0.051 000x)x210x250x240x250.当x80时，L(x)(0.051 000x)51x1 450
9、2501 200.所以L(x)(2)当0x80时，L(x)(x60)2950，此时，当x60时，L(x)取得最大值L(60)950万元当x80时，L(x)1 2001 20021 2002001 000.此时，当x，即x100时，L(x)取得最大值1 000万元因为9501 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这种商品的生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元15已知函数f(x)ln x2x6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过.(1)证明f(x)的定义域为(0，)，且f(x)是增函数f(2)ln 220，f(2)f(3)0.f(x)在(2,3)上至少有一个零点又因f(x)在(0，)上是增函数，从而f(x)在(0，)上有且只有一个零点(2)解由(1)知f(2)0.f(x)的零点x0(2,3)取x1，fln 1ln ln e0，ff(3)0，ff0.x0且，即为符合条件的区间
