1、河北省衡水中学高三上学期第四次联考【试卷综析】本试卷是高三文科试卷，以基础知识为载体，以基本能力测试为主导，重视学生科学素养的考查.知识考查注重基础、兼顾覆盖面.试题重点考查：集合、复数、导数、函数模型、函数的性质、三角函数，数列，概率，立体几何等；考查学生解决实际问题的综合能力，是份比较好的试卷.一、 选择题（ 本大题共1 2个小题, 每小题5分, 共6 0分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 ）【题文】1设集合 M= x | x 2+3 x+2-1 C x | x-1 D x | x -2【知识点】集合及其运算A1【答案】A【解析】集合M=x|x2+3x+20=x|-
2、2x-1，集合N=x|()x4=x|2-x22=x|-x2=x|x-2，MN=x|x-2，【思路点拨】根据题意先求出集合M和集合N，再求MN【题文】2若x（ e1, 1） , a= l n x, b=2 l n x, c= l n 3x, 则 （ ）Aabc Bcab Cbac Dbca【知识点】对数与对数函数B7【答案】C【解析】因为a=lnx在（0，+）上单调递增，故当x（e-1，1）时，a（-1，0），于是b-a=2lnx-lnx=lnx0，从而ba又a-c=lnx-ln3x=a（1+a）（1-a）0，从而ac综上所述，bac【思路点拨】根据函数的单调性，求a的范围，用比较法，比较a、b
3、和a、c的大小【题文】3抛物线y=4 x 2 关于直线x-y=0对称的抛物线的准线方程是 （ ）Ay=-1 By=-1Cx=-1 Dx=-1【知识点】抛物线及其几何性质H7【答案】D【解析】抛物线，准线y=-,关于x=y对称的直线x=-为所求。【思路点拨】先求出的准线方程，再根据对称性求出。【题文】4右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积为8的矩形, 则该几何体的表面积是 （ ）A2 0+8 B2 4+8 C8 D16【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】A【解析】此几何体是一个三棱柱，且其高为，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积
4、为22=2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）4=16+8，表面积为：22+16+8=20+8【思路点拨】由三视图及题设条件知，此几何体为一个三棱柱，底面是等腰直角三角形，且其高为，故先求出底面积，求解其表面积即可【题文】5若函数同时具有以下两个性质: 是偶函数; 对任意实数x, 都有 。则的解析式可以是 （ ）A =cos x B = C = D =cos 6 x【知识点】函数的奇偶性B4【答案】C【解析】由题意可得，函数f（x）是偶函数，且它的图象关于直线x=对称f（x）=cosx是偶函数，当x=时，函数f（x）=，不是最值，故不满足图象关于直线x= 对称，故排除A函数f（x
5、）=cos（2x+）=-sin2x，是奇函数，不满足条件，故排除B函数f（x）=sin（4x+）=cos4x是偶函数，当x=时，函数f（x）=-4，是最大值，故满足图象关于直线x=对称，故C满足条件函数f（x）=cos6x是偶函数，当x=时，函数f（x）=0，不是最值，故不满足图象关于直线x=对称，故排除D，【思路点拨】先判断三角函数的奇偶性，再考查三角函数的图象的对称性，从而得出结论【题文】6已知命题px0R, e xm x=0, qxR, x 2+m x+10, 若p（q） 为假命题,则实数 m 的取值范围是 （ ）A（-, 0） （ 2, +） B 0, 2CR D【知识点】导数的应用B
6、12【答案】B【解析】若p（q）为假命题，则p，q都为假命题，即p是假命题，q是真命题，由ex-mx=0得m=，设f（x）= ，则f（x）= =，当x1时，f（x）0，此时函数单调递增，当0x1时，f（x）0，此时函数单调递递减，当x0时，f（x）0，此时函数单调递递减，当x=1时，f（x）= 取得极小值f（1）=e，函数f（x）= 的值域为（-，0）e，+），若p是假命题，则0me；若q是真命题，则由x2+mx+10，则=m2-40，解得-2m2，综上，解得0m2【思路点拨】根据复合函数的真假关系，确定命题p，q的真假，利用函数的性质分别求出对应的取值范围即可得到结论【题文】7若实数x、 y
7、满足不等式组 则z=| x |+2 y的最大值是 （ ）A1 0 B1 1 C1 3 D1 4【知识点】简单的线性规划问题E5【答案】D【解析】当x时，2y=-x+z表示的是斜率为-1截距为z的平行直线系，当过点（1,5）时，截距最大，此时z最大，=1+2=11，当x0且sinx0,故0，所以函数在上单调递增取x= ,得f()=0可得函数在区间（0，）有唯一零点（2） 当x 时，且cos,故函数在区间上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间上有唯一零点。【思路点拨】根据余弦函数的最导致为1，可知函数在上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间上的零点的求解，利用导数讨论单调性即
8、可。【题文】11与向量的夹角相等, 且模为1的向量是 （ ）A B或CD 或【知识点】平面向量基本定理及向量坐标运算F2【答案】B【解析】设与向量的夹角相等, 且模为1的向量为（x，y），则解得或，【思路点拨】要求的向量与一对模相等的向量夹角相等，所以根据夹角相等列出等式，而已知的向量模是相等的，所以只要向量的数量积相等即可再根据模长为1，列出方程，解出坐标【题文】12在平面直角坐标系x O y中, 圆C 的方程为x2+y2-8 x+1 5=0, 若直线y=k x+2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 半径为1的圆与圆C 有公共点, 则k的最小值是 （ ）A B C D【知识点】直线与圆、圆
9、与圆的位置关系H4【答案】A【解析】圆C的方程为x2+y2-8x+15=0，整理得：（x-4）2+y2=1，即圆C是以（4，0）为圆心，1为半径的圆；又直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，只需圆C：（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可设圆心C（4，0）到直线y=kx+2的距离为d，则d=2，即3k2-4k，-k0k的最小值是【思路点拨】化圆C的方程为（x-4）2+y2=1，求出圆心与半径，由题意，只需（x-4）2+y2=4与直线y=kx+2有公共点即可【题文】第卷（非选择题,共9 0分）二、 填空题（ 本大题共4个小题, 每小题5分,
10、共2 0分, 请把正确的答案填写在各小题的横线上。 ）【题文】13 已知则的值为 。【知识点】对数与对数函数B7【答案】36【解析】由于，所以f(9-x)=9-=9-x-于是有f(x)+f(9-x)=9从而f(1)+f(8)=f(2)+f(7)=f(3)+f(6)=f(4)+f(5)=9,故原式的值为【思路点拨】根据函数的性质找出规律求出结果。【题文】14.已知底面边长为 , 各侧面均为直角三角形的正三棱锥P-A B C 的四个顶点都在同一球面上, 则此球的表面积为 。【知识点】单元综合G12【答案】3【解析】由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为，边长为1正
11、方体的体对角线是故外接球的直径是，半径是故其表面积是4()2=3【思路点拨】底面边长为，各侧面均为直角三角形的正三棱锥可以看作是正方体的一个角，故此正三棱锥的外接求即此正方体的外接球，由此求出正方体的体对角线即可得到球的直径，表面积易求【题文】15若在区间 0, 1 上存在实数x使2x（3 x+a）1成立, 则a的取值范围是 。【知识点】函数的单调性与最值B3【答案】（-，1）【解析】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，而2-x-3x在0，1上单调递减，2-x-3x的最大值为20-0=1，a1，故a的取值范
12、围是（-，1）.【思路点拨】2x（3x+a）1可化为a2-x-3x，则在区间0，1上存在实数x使2x（3x+a）1成立，等价于a（2-x-3x）max，利用函数的单调性可求最值【题文】16已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点, 且左、 右焦点分别为F1、 F2, 这两条曲线在第一象限的交点为P, P F1F2 是以P F1 为底边的等腰三角形。若| P F1|=1 0, 椭圆与双曲线的离心率分别为e1、 e2, 则e1e2 的取值范围为 。【知识点】单元综合H10【答案】【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2由题意知r1=10，r2=2c，且r1r2，2r2r1，2c
13、10，2c+2c10，14，e2= ；e1= e1e2= = 。【思路点拨】设椭圆与双曲线的半焦距为c，PF1=r1，PF2=r2利用三角形中边之间的关系得出c的取值范围，再根据椭圆或双曲线的性质求出各自的离心率，最后依据c的范围即可求出e1e2的取值范围是三、 解答题（ 本大题共6个小题, 共7 0分, 解答应写出文字说明、 证明或演算步骤。 ）【题文】17（12分） 在A B C 中, 角A、B、C 所对的边分别为a、b、c, 函数 在处取得最大值。（1） 当x（ 0, ） 时, 求函数的值域;（2） 若a=7且 , 求A B C 的面积。【知识点】单元综合C9【答案】（1）(-，1 （2
14、）10【解析】函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA=2cosxsinxcosA-2cosxcosxsinA+sinA=sin2xcosA-cos2xsinA=sin（2x-A）又函数f（x）=2cosxsin（x-A）+sinA（xR）在x=处取得最大值2-A=2k+，其中kz，即A=-2k，其中kz，（1）A（0，），A=x(0，)，2x-A(-，)-sin(2x-A)1，即函数f（x）的值域为：(-，1（2）由正弦定理得到，则sinB+sinC=sinA，即=，b+c=13由余弦定理得到a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-2bc-2bccosA即49=169-3b
15、c，bc=40故ABC的面积为：S=bcsinA=40=10【思路点拨】利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为sin（2x+A），由于函数在x=处取得最大值令2-A=2k+，其中kz，解得A的值，（1）由于A为三角形内角，可得A的值，再由x的范围可得函数的值域；（2）由正弦定理求得b+c=13，再由余弦定理求得bc的值，由ABC的面积等于bcsinA，算出即可【题文】18（1 2分） 若 an 是各项均不为零的等差数列, 公差为d, Sn 为其前n 项和, 且满足。数列 bn 满足 为数列 bn 的前n项和。（） 求an 和Tn;（） 是否存在正整数 m、 n（ 1m0) 的图像在点
16、( 1, f( 1) ) 处的切线方程为y=x-1。( 1) 用a表示出b、 c;( 2) 若在 1, +) 上恒成立, 求a的取值范围;( 3) 证明: 。【知识点】导数的应用B12【答案】（）( 2) ，+) ( 3)略【解析】（）f(x)=a-，则有得（）由（）知，f(x)=ax+1-2a，令g（x）=f（x）-lnx=ax+1-2a-lnx，x1，+）则g（1）=0，g(x)=a-= = （i）当0a，1若1x，则g（x）0，g（x）是减函数，所以g（x）g（1）=0，f（x）lnx，故f（x）lnx在1，+）上恒不成立（ii）a时，1若f（x）lnx，故当x1时，f（x）lnx综上所
17、述，所求a的取值范围为，+)( 3)由（2）知a 时，有f(x) lnx(x1)令a=,则f(x)=(x-)lnx,当x1时，总有(x-)lnx令x=,则ln(-)=(+)Ln(k+1)+lnk(+),k=1,2.,n将上述n个不等式累加得ln(n+1) +(+.+ )+整理得【思路点拨】（）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求得切线的斜率，以及切点在函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可；（）先构造函数g（x）=f（x）-lnx=ax+1-2a-lnx，x1，+），利用导数研究g（x）的最小值，讨论a的范围，分别进行求解即可求出a的取值范围( 3)利用累加证明结果。
18、请考生在第2 22 4三题中任选一题做答, 如果多做, 则按所做的第一题记分。【题文】22（1 0分） 【选修4-1几何证明选讲】如右图, A B 是O 的直径, A C 是弦, B A C 的平分线AD 交O 于点D, D EA C, 交A C 的延长线于点E, O E 交AD 于点F。（） 求证: D E 是O 的切线;（） 若, 求的值。【知识点】选修4-1 几何证明选讲N1【答案】（I）略（）【解析】（I）连接OD，可得ODA=OAD=DACODAE又AEDE， DEOD而OD为半径，DE是O的切线（II）过D作DHAB于H，则有DOH=CABcosDOH=cosCAB=设OD=5x，
19、则AB=10x，OH=2x，AH=7x，由AEDADH，AE= AH=7x， 又由AEFDOF，得AF：DF=AE：OD=，故【思路点拨】（I）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行CAD=ODA，推出ODAC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；（II）先由（I）得ODAE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案【题文】23（1 0分） 【 选修4-4坐标系与参数方程】已知在平面直角坐标系x O y中, 直线的参数方程是（t是参数） , 以原点O 为极点, O x为极轴建立极坐标系, 圆C 的极坐标方程为 。（1） 求圆心C 的直角坐标;（2） 由直线上的点向圆C 引切线, 求切线
20、长的最小值。【知识点】选修4-4 参数与参数方程N3【答案】（1）x2+y2-x+y=0（2）2【解析】（1）圆C的极坐标方程为=2cos（+），即2=2cos-2sin，化为普通方程是x2+y2-x+y=0；（2）圆C的直角坐标方程为x2+y2-x+y=0，圆心为（，-），半径R为1；直线l的参数方程为（t为参数），直线l上的点P（t，t+4）向圆C引切线长是=直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是2【思路点拨】（1）利用极坐标公式，把圆C的极坐标方程化为普通方程；（2）求出圆C的圆心与半径R，利用直线l的参数方程，计算直线l上的点P向圆C引切线长的最小值即可【题文】24（1 0分） 【 选
21、修4-5不等式选讲】已知 =| 2 x-1 |+a x-5（ a是常数, aR） 。（） 当a=1时求不等式0的解集;（） 如果函数y=恰有两个不同的零点, 求a的取值范围。【知识点】选修4-5 不等式选讲N4【答案】（）x|x2或x-4（）-2a2【解析】（）f（x）=|2x-1|+x-5=，f（x）=|2x-1|+x-50：化为或， 解得：x|x2或x-4（）由f（x）=0得，|2x-1|=-ax+5 令y=|2x-1|，y=-ax+5，作出它们的图象，可以知道，当-2a2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数y=f（x）有两个不同的零点 【思路点拨】（）当a=1时转化不等式f（x）0，去掉绝对值，然后求解不等式的解集即可（）函数y=f（x）恰有两个不同的零点，构造函数利用函数的图象推出a的取值范围
