1、第二章 圆锥曲线与方程2.3 抛物线2.3.1 抛物线及其标准方程A级基础巩固一、选择题1准线方程为y的抛物线的标准方程为()Ax2y Bx2yCy2x Dy2x解析：由准线方程为y，知抛物线焦点在y轴负半轴上，且，则p.故所求抛物线的标准方程为x2y.答案：B2已知抛物线y2 016x20，则它的焦点坐标是()A(504，0) B.C. D.解析：抛物线的标准方程为x2y，故其焦点为(0，)答案：C3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则x0()A1 B2 C4 D8解析：由题意知抛物线的准线为x.因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x0|AF|x0，
2、解得x01.答案：A4一动圆的圆心在抛物线y28x上，且动圆恒与直线x20相切，则动圆过定点()A(4，0) B(2，0)C(0，2) D(0，4)解析：由题意易知直线x20为抛物线y28x的准线，由抛物线的定义知动圆一定过抛物线的焦点答案：B5抛物线y22px(p0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是焦点，|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则()Ax1，x2，x3成等差数列Bx1，x3，x2成等差数列Cy1，y2，y3成等差数列Dy1，y3，y2成等差数列解析：由抛物线的定义知|AF|x1，|BF|x2，|CF|x3.因为|AF|，|BF|，|CF|成等
3、差数列，所以2，即2x2x1x3.故x1，x2，x3成等差数列故选A.答案：A二、填空题6抛物线y22x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB中点的横坐标是_解析：由抛物线的定义知点A，B到准线的距离之和是5，则AB的中点到准线的距离为，故AB中点的横坐标为x2.答案：27抛物线过原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程是_解析：由题意，知抛物线开口向上，且15，所以p8，即抛物线的标准方程是x216y.答案：x216y8如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米解析：以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立
4、直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2.答案：2三、解答题9分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3，4)；(2)焦点在直线x3y150上解：(1)方法一因为点(3，4)在第四象限，所以设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3，322p1(4)，即2p，2p1.所以所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.方法二因为点(3，4)在第四象限，所以抛物线的方程可设为y2ax(a0)或x2by(b0)把点(3，4)分
5、别代入，可得a，b.所以所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(2)令x0得y5；令y0得x15.所以抛物线的焦点为(0，5)或(15，0)所以所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.10动圆P与定圆A：(x2)2y21外切，且与直线l：x1相切，求动圆圆心P的轨迹方程解：设动圆圆心P(x，y)，过点P作PDl于点D，作直线l：x2，过点P作PDl于点D，连接PA.设圆A的半径为r，动圆P的半径为R，可知r1.因为圆P与圆A外切，所以|PA|RrR1.又因为圆P与直线l：x1相切，所以|PD|PD|DD|R1.因为|PA|PD|，即动点P到定点A与到定直线l距离相等，所以点P的轨迹是以A
6、为焦点，以l为准线的抛物线设抛物线的方程为y22px(p0)，可知p4，所以所求的轨迹方程为y28x.B级能力提升1点M(5，3)到抛物线yax2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是()Ay12x2By12x2或y36x2Cy36x2Dyx2或yx2解析：当a0时，抛物线开口向上，准线方程为y，则点M到准线的距离为36，解得a，抛物线方程为yx2.当a0时，开口向下，准线方程为y，点M到准线的距离为6，解得a，抛物线方程为yx2.答案：D2(2017山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1(a0，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双
7、曲线的渐近线方程为_解析：方法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.联立方程，得110.由根与系数的关系得y1y2b2p.所以pp，所以双曲线的渐近线方程为yx.方法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.kAB.由得kAB，则，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.答案：yx3.如图所示，一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口宽AB恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值解：以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系则点B的坐标为.设抛物线方程为x22py(p0)，因为点B在抛物线上，所以2p，解得p，所以抛物线方程为x2ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y.所以点E到拱底AB的距离为|y|3.解得a12.21.因为a取整数，所以a的最小整数值为13.
