1、高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 1 页 共 10 页陕西省西安中学高 2022 届高三第一次仿真考试数学试题（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i 是虚数单位，若(12i)|34i|z，则 z 的共轭复数 z （）A 12i B 12i C 1 2iD 1i22设全集UR，集合2230Ax xx，10Bx x，则)(U ABU等于（）A 3x x B 3x x C 1x x 或3x D 3x x 或1x 3已知命题0:pxR，0sin1x ；命题:q 当0,2t 时，函数 231g xxtx 在0
2、,4 上存在最小值.则下列命题中的真命题是（）A pqB pqC pq D pq4已知函数()sin3cos3f xxx，xR，下列四个结论不正确的是（）A 函数 f x 的值域是2,2；B 函数 f x 的图像关于直线4x对称；C 函数4fx 为奇函数；D 若对任意 xR，都有12()f xf xf x成立，则12xx的最小值为 3 5已知实数 x，y 满足20234xyxyy，则 zxy的最小值为（）A 1B 12C 1D 46若1cos64x，则sin 26x（）高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 2 页 共 10 页A 158B 78C 158D 787斐波那契数列又称黄金分割数
3、列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列 na满足121aa，21nnnaaa，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）A 512B 14C 13D 7128下列结论正确的是（）A 当0 x 且1x 时，1lg2lgxxB 0 x 时，46xx的最小值是10C 2254xx的最小值是 52D 当0,x时，4sinsinxx的最小值为 4对于 D，当()0,x时，sin0,1x，令sin0,1tx，则4ytt 在0,1 上单调递减，所以当1t，即2x 时，min4151y，所以选项 D 不正确；故选：C.9已知非常数函数()f x 满足()()1fx f
4、x()xR，则下列函数中，不是奇函数的为（）A()1()1f xf xB()1()1f xf xC 1()()f xf xD 1()()f xf x10三棱柱111ABCA B C中，1AA 平面 ABC，1AB ，2AC，15BCAA，则异面直线1B C 与11AC 所成角的正弦值为（）A 22B 63C 155D 306高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 3 页 共 10 页11已知点 M 在椭圆221189xy 上运动，点 N 在圆22(1)1yx 上运动，则|MN 的最大值为（）A 119B 12 5C 5D 612已知函数3()ln(,)f xaxbxca b cR的定义域为(
5、3,)，其图像大致如图所示，则（）A bacB bcaC abcD acb二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量(1,2)a r，(2,1)b r，(3,)cr.若/(3)cabrrr，则 _.14已知抛物线24 2yx 的焦点到双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线的距离为55，则该双曲线的离心率为_.15在ABCV中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，若,b a c 成等差数列，212 cos 22Bcaab，且2a，则ABCV的面积为_.16某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面重合，该面所对的面的四个顶
6、点在圆锥侧面内在图中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为_（写出符合要求的一组答案即可）高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 4 页 共 10 页三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60 分17(本小题满分 12 分)中国射击队在东京奥运会上共夺得4金1银6铜11枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录现从某射击训练基地随机抽取了20 名学员（男女各10人）的射击环数，数据如下表所示：男生89797
7、6101086女生10986879788若射击环数大于或等于9环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异()分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；()完成 22 列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关男生女生总计成绩优异成绩不优异总计参考公式和数据：22n adbcKabcdacbd，nabcd 2P Kk0.100.050.010高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 5 页 共 10 页k2.7063.8416.63518(本小题满分 12 分)如图，长方体1111ACBDAC B D中，1BC ，12BDBB，M 是线段 AB 上的动点()当2 55CM 时，证明
8、：平面1B CM 平面11ABB A；()求点 M 到平面11A B C 的距离高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 6 页 共 10 页19(本小题满分 12 分)已知数列 na的前 n 项和是nS，且2nSn，数列 nb的前 n 项和是nT，且323nnbT.()求数列 na，nb的通项公式；()设nnnacb，证明：1231ncccc.高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 7 页 共 10 页20.(本小题满分 12 分)已知椭圆221109xy 的右焦点是抛物线:22ypx的焦点，直线l 与 相交于不同的两点1122()()A xyB xy，()求 的方程；()若直线l 经过点
9、(2 0)P，求 OAB的面积的最小值(O 为坐标原点)；()已知点(1 2)C，直线l 经过点(5 2)Q，D 为线段 AB 的中点，求证：2ABCD高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 8 页 共 10 页21(本小题满分 12 分)已知函数()elnexf xax.()当1a 时，讨论函数()()(e 1)g xf xx的单调性；()当1a 时，证明：当0 x 时，()2ef x.高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 9 页 共 10 页(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 1
10、0 分)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos6sin，圆C 与极轴交于点 A，点 B 为圆C 上异于坐标原点的动点()写出点 A 的极坐标及圆C 的参数方程；()求OC ABuuur uuur 的最大值高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 10 页 共 10 页23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)已知函数 32f xxxa.()当3a 时，求不等式 2f x 的解集；()若 10f xx 的解集为 A，且2,1A，求 a 的取值范围.高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 1 页 共 16 页陕西省西安中学高 2022 届高
11、三第一次仿真考试数学试题（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知i 是虚数单位，若(12i)|34i|z，则 z 的共轭复数 z （）A 12i B 12i C 1 2iD 1i2【正确答案】D详解：由题意(12)|34i|z，所以34i5(1 2i)1 2i12i(12i)(1 2i)z，则i12z .故选 D.2设全集UR，集合2230Ax xx，10Bx x，则)(U ABU等于（）A 3x x B 3x x C 1x x 或3x D 3x x 或1x【正确答案】B由题设，|31Axx，|1Bx x，UR
12、，|3ABx x U，故|3U ABx x U.故选：B3已知命题0:pxR，0sin1x ；命题:q 当0,2t 时，函数 231g xxtx 在0,4 上存在最小值.则下列命题中的真命题是（）A pqB pqC pq D pq【正确答案】A因为当22xkkZ时,sin1x，所以命题 p 为真命题；2223931124g xxtxxtt ，高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 2 页 共 16 页因为0,2t，所以30,32 t，则30,42t，所以当32xt时，g x 取得最小值，故命题q为真命题.所以 pq为真命题，pq，pq，pq均为假命题.故选：A.4已知函数()sin3cos3
13、f xxx，xR，下列四个结论不正确的是（）A 函数 f x 的值域是2,2；B 函数 f x 的图像关于直线4x对称；C 函数4fx 为奇函数；D 若对任意 xR，都有12()f xf xf x成立，则12xx的最小值为 3【正确答案】C()sin3cos32 sin 34f xxxx，由函数()2 sin 34f xx，则 22f x，故函数 f x 的值域是2,2，故 A 正确；，当4x时，32 sin2444f，所以函数 f x 的图像关于直线4x对称，故 B 正确；，sin3cos3444fxxx3333sin3 coscos3 sincos3 cossin3 sin2 cos344
14、44xxxxx，所以函数为偶函数，故 C 错误；，由题意可得12xx最小相差半个周期，因为23T，所以12xx的最小值为3，故 D 正确.故选：C高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 3 页 共 16 页5已知实数 x，y 满足20234xyxyy，则 zxy的最小值为（）A 1B 12C 1D 4【正确答案】B作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示，其中7,42A，8,4B，2,1C，作直线l：yx，平移直线l，当其经过点 A 时，直线 zxy的纵截距最大，z 有最小值，即min71422z，故选：B.6若1cos64x，则sin 26x（）A 158B 78C 158D 78【正
15、确答案】D解：因为1cos64x，所以sin 2sin 2cos26626xxx22cos16x2121478 高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 4 页 共 16 页故选：D7斐波那契数列又称黄金分割数列，也叫“兔子数列”，在数学上，斐波那契数列被以下递推方法定义：数列 na满足121aa，21nnnaaa，先从该数列前12项中随机抽取1项，是质数的概率是（）A 512B 14C 13D 712【正确答案】A由斐波那契数列的递推关系可知，前12 项分别为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144，所以基本事件数共位12，其中满足能被 2 整除的有 2,3,5,13,
16、89，共5 种，故是质数的概率为512P.故选：A8下列结论正确的是（）A 当0 x 且1x 时，1lg2lgxxB 0 x 时，46xx的最小值是10C 2254xx的最小值是 52D 当0,x时，4sinsinxx的最小值为 4【正确答案】C对于 A：当0,1x时，lg0 x，此时1lg2lgxx，当且仅当110 x 时，等号成立，所以选项 A 不正确；对于 B 中，当0 x 时，4424xxxx ，所以444xxxx ，可得46642xx，当且仅当4xx 时，即2x 时等号成立，所以46xx的最大值是 2，无最小值，所以选项 B 不正确；对于 C，由222251444xxxx，令242,
17、tx，高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 5 页 共 16 页则1ytt 在2,上单调递增，所以当2t，即0 x 时，15222y 最小，所以2254xx的最小值是 52，所以选项 C 正确；对于 D，当()0,x时，sin0,1x，令sin0,1tx，则4ytt 在0,1 上单调递减，所以当1t，即2x 时，min4151y，所以选项 D 不正确；故选：C.9已知非常数函数()f x 满足()()1fx f x()xR，则下列函数中，不是奇函数的为（）A()1()1f xf xB()1()1f xf xC 1()()f xf xD 1()()f xf x【正确答案】D因为 1fx fx
18、 xR，所以()1()()1f xg xf x，则11()11()()()()1()11()1()fxf xf xgxg xfxf xf x，()g x 是奇函数，同理 1()1fxh xfx 也是奇函数，1()()()()()p xf xf xfxf x，则()()()()pxfxf xp x，是奇函数，1()()()()()q xf xf xfxf x，()()()()qxfxf xq x为偶函数，故选：D10三棱柱111ABCA B C中，1AA 平面 ABC，1AB ，2AC，15BCAA，则异面直线1B C 与11AC 所成角的正弦值为（）A 22B 63C 155D 306【正确答
19、案】C三棱柱111ABCA B C中，1AB，2AC，15BCAA，满足222ABACBC，高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 6 页 共 16 页2CAB，得 ACAB.1AA Q平面 ABC，1ACAA，且1AAABAI，AC 平面11ABB A，1AB Q平面11ABB A，1ACAB，12CAB.11/ACACQ，1ACB为异面直线1B C 与11AC 所成角或其补角.在1Rt CAB中，221122115615sin51055ABACBCB.故选：C11已知点 M 在椭圆221189xy 上运动，点 N 在圆22(1)1yx 上运动，则|MN 的最大值为（）A 119B 12
20、5C 5D 6【正确答案】B解：设圆22(1)1yx 的圆心为(0,1)C，则1MNMCrMC，设00(,)M xy则222200001189182xyxy 所以20222220000000(1)2118221MCxyxyyyyy 20200219(1)202 5yyy，当且仅当01y 时取得最大值，所以12 51MNMC.或者设(3 2 cos,3sin)M，则22222(3 2 cos)(3sin1)18cos9sin6sin1MN22218(1 sin)9sin6sin19sin6sin19 219(sin)203 高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 7 页 共 16 页当1sin
21、3 时，max2 5MC，所有12 51MNMC 故选：B.12已知函数3()ln(,)f xaxbxca b cR的定义域为(3,)，其图像大致如图所示，则（）A bacB bcaC abcD acb【正确答案】A设3()g xaxbxc，可得2()3g xaxb，由图像可知，函数 f x 先递增，再递减，最后递增，且当1x 时，g x 取得极小值，所以函数 g x 既有极大值，也有极小值，所以2()30g xaxb有两个根，即3axb，所以31ab，可得0,0ab且3ab，又由 0ln0fc，可得1c，由 1ln()0ln1fabc，可得1abc，所以11312cabaaaa ，所以cab
22、.故选：A.二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13已知向量(1,2)a r，(2,1)b r，(3,)cr.若/(3)cabrrr，则 _.【正确答案】15由(1,2)a r，(2,1)b r，所以31,5abrr，高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 8 页 共 16 页又因为/3cabrrr，(3,)cr所以3 50 ，解得15 .故答案为：1514已知抛物线24 2yx 的焦点到双曲线222210,0 xyabab的一条渐近线的距离为55，则该双曲线的离心率为_.【正确答案】103抛物线的焦点为2,0，双曲线的渐近线为0bxay，故222055bab，故10c
23、b，所以103cea，填103.15在ABCV中，内角,A B C 的对边分别为,a b c，若,b a c 成等差数列，212 cos 22Bcaab，且2a，则ABCV的面积为_.【正确答案】3在ABCV中，因212 cos 22Bcaab，则1 cos1222Bcaab，整理得 22 coscaBb，由余弦定理222cos2acbBac得：222222acbcabac，整理可得222bcabc，于是得2221cos222bcabcAbcbc，而(0,)A，则3A，又2a，,b a c 成等差数列，即24bca，则有2243163abcbcbc，解得4bc，113sin43222ABCSb
24、cA V，所以ABCV的面积为3.故答案为：316某零件的结构是在一个圆锥中挖去了一个正方体，且正方体的一个面与圆锥底面高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 9 页 共 16 页重合，该面所对的面的四个顶点在圆锥侧面内在图中选两个分别作为该零件的主视图和俯视图，则所选主视图和俯视图的编号依次可能为_（写出符合要求的一组答案即可）【正确答案】（或）若俯视图为图，则主视图为图，若俯视图为图，则主视图为图，故答案为：（或）三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答(一)必考题：共 60
25、 分17(本小题满分 12 分)中国射击队在东京奥运会上共夺得4金1银6铜11枚奖牌的成绩，创下了中国射击队奥运参赛史上奖牌数最多的新纪录现从某射击训练基地随机抽取了20 名学员（男女各10人）的射击环数，数据如下表所示：男生897976101086女生10986879788若射击环数大于或等于9环，则认为成绩优异；否则，认为成绩不优异高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 10 页 共 16 页()分别计算男生、女生射击环数的平均数和方差；()完成 22 列联表，并判断是否有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关男生女生总计成绩优异成绩不优异总计参考公式和数据：22n adbcKabcda
26、cbd，nabcd 2P Kk0.100.050.010k2.7063.8416.635【解】（1）根据题中所给数据，可得男生射击环数的平均数为11 897976 10 1086810 x ；女生射击环数的平均数为21 10986879788810 x 3 分男生射击环数的方差为222211889868210s；女生射击环数的方差为22222161089888105s6 分综上所述：男生射击环数的平均数为8，方差为2；女生射击环数的平均数为8，方差为 657 分（2）由已知数据可得 22列联表如下：男生女生总计成绩优异437成绩不优异6713总计1010209 分高 2022 届仿真一数学（文
27、科）试题第 11 页 共 16 页22204 73 60.21982.7067 13 10 10K ，11 分 没有90%的把握认为“成绩优异”与性别有关12 分18(本小题满分 12 分)如图，长方体1111ACBDAC B D中，1BC ，12BDBB，M 是线段 AB 上的动点()当2 55CM 时，证明：平面1B CM 平面11ABB A；()求点 M 到平面11A B C 的距离【解析】（1）证明：设 Rt BCAV的斜边 AB 上的高为 h，由1BC ，2ACBD，易得2 55h，而2 55CM，所以CMAB在长方体1111ACBDAC B D中，1AA 平面 ABC，因为CM 平
28、面 ABC，所以1CMAA，而1ABAAA，所以CM 平面11ABB A，因为CM 平面1B CM，所以平面1B CM 平面11ABB A 6 分（2）由1BC ，12BDBB，可得1115B CB A，12 2CA 易得11B CA中边1CA 上的高为3，11B MA中边11B A 上的高为 2，设点 M 到平面11A B C 的距离为 d，高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 12 页 共 16 页由1 111MA B CC B MAVV，得 11112 52 235232325d，解得63d 12 分19(本小题满分 12 分)已知数列 na的前 n 项和是nS，且2nSn，数列 n
29、b的前 n 项和是nT，且323nnbT.()求数列 na，nb的通项公式；()设nnnacb，证明：1231ncccc.【解析】:（1）由2nSn，得21(1)(2)nSnn，121nnnaSSn，当1n 时，111aS满足上式，所以21nan；由323nnbT可得11323nnbT，两式相减可得：11332nnnbbb，所以13nnbb，在323nnbT中令1n，可得11323bb，所以13b，所以 nb是以3 为首项，公比为3 的等比数列，13 33nnnb，故数列 na的通项公式为21nan，数列 nb的通项公式为3nnb；6 分（2）由（1）知2112133nnnncn，设123nn
30、Mcccc，23111111135232133333nnnMnn L，23411111111352321333333nnnMnn L高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 13 页 共 16 页两式相减可得234121111112213333333nnnMnL211111133112222211333313nnnnn 所以113nnnM，即1231113nnncccc；12 分20.(本小题满分 12 分)已知椭圆221109xy 的右焦点是抛物线:22ypx的焦点，直线l 与 相交于不同的两点1122()()A xyB xy，()求 的方程；()若直线l 经过点(2 0)P，求 OAB的面
31、积的最小值(O 为坐标原点)；()已知点(1 2)C，直线l 经过点(5 2)Q，D 为线段 AB 的中点，求证：2ABCD【解析】（1）椭圆221109xy的右焦点为(1,0)，2p，的方程为24yx3 分（2）（解法 1）显然直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为2xmy，由242yxxmy，得2480ymy，则124yym，128yy 221212121|()416324 22AOBSOPyyyyy ymV当0m，即直线l 垂直 x 轴时，OABV的面积取到最小值，最小值为4 2 7 分（解法 2）若直线l 的斜率不存在，由242yxx，得(2 2 2)(2 2 2)AB，OABV的面
32、积121|4 22SOPyy，若直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为(2)yk x，由24(2)yxyk x，得2480kyyk，0k，且124yyk，128yy 高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 14 页 共 16 页21212122116|()4324 22AOBSOPyyyyy ykV，即 OABV的面积的最小值为4 2 7 分（3）（解法 1）直线l 的斜率不可能为零，设直线l 方程为(2)5xm y，由2(2)54xm yyx得248200ymym，124yym，12820y ym 2124410 xxmm，212(25)x xm112212121212=(1,2)(1
33、,2)=()2()5AC BCxyxyx xxxy yyyuuur uuur22420254410820850mmmmmm，即 ACBC，在 RtABCV中，D 为斜边 AB 的中点，所以2ABCD12 分（解法 2）（前同解法 1）222121212=114ABmyymyyy y22432116328042625mmmmmmm线段 AB 的中点 D 的坐标为2225,2mmm，222432=(224)(22)22625CDmmmmmmm所以2ABCD12 分21(本小题满分 12 分)已知函数()elnexf xax.()当1a 时，讨论函数()()(e 1)g xf xx的单调性；()当1
34、a 时，证明：当0 x 时，()2ef x.【解析】（1）当1a 时，()elnexf xx，()elne(e 1)xg xxx，1()ee 1xg xx，令()()h xg x，21()e0 xh xx，故()g x 在(0,)上单调递增，且(1)0g，故(0,1)x时，()0g x，()g x 单调递减；高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 15 页 共 16 页当(1,)x 时，()0g x，()g x 单调递增.5 分（2）当1a ，0 x 时，eexxa，要证()2ef x，只需证elne2exx，即证ln2xex，令()eln2xp xx，则1()exp xx.由（1）知()p
35、 x单调递增，且在 1,13存在唯一零点0 x，即0010 xex.当00,xx时，()p x 单调递减，当0,x 时，()p x 单调递增.所以000000011()eln2eln220exxxp xp xxxx，故当1a ，0 x 时，()2ef x.12 分(二)选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos6sin，圆C 与极轴交于点 A，点 B 为圆C 上异于坐标原点的动点()写出点 A 的极坐标及圆C
36、 的参数方程；()求OC ABuuur uuur 的最大值【解析】（1）圆2:8 cos6 sinC 2286xyxy222(4)(3)5xy令20,(4)16yx8x 或 0（舍）,(8,0)A圆 C 的参数方程为45cos35sinxy（为参数）5 分（2）(0,0),(4,3)OC(4,3)OC uuur(8,0),(45cos,35sin)AB(5cos4,5sin3)ABuuur20cos16 15sin9OC ABuuur uuur5(3sin4cos)7高 2022 届仿真一数学（文科）试题第 16 页 共 16 页3425sincos75525sin()7（其中34cos,si
37、n55）OC ABuuur uuur的最大值为 18.10 分23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)已知函数 32f xxxa.()当3a 时，求不等式 2f x 的解集；()若 10f xx 的解集为 A，且2,1A，求 a 的取值范围.【解析】：（1）3a 时，9,332333,339,3xxf xxxxxxx ,2f x 3232xx392xx ,或33332xx,或392xx，即573x .所以不等式 2f x 的解集为5|73xx .5 分（2）2,1A3210 xxax 在2,1x 恒成立，3210 xxax 在2,1x 恒成立，2xa在2,1x 恒成立，2ax或2ax 在2,1x 恒成立，4a或1a .即 a 的取值范围为,14,10 分
