1、【解析分类汇编系列四：北京2013高三（期末）文数】：专题7：立体几何一、选择题（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若，则B若，则 C若，则D若，则CC中，当，所以，或当，所以，所以正确。（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）ABCDB由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的
2、尺寸，可得这个几何体的体积为（）ABCDA根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直角梯形，ABAD， AB=AD=2，BC=4，即PA平面ABCD，PA=2。且底面梯形的面积为，所以.选A.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为1正视图正视图俯视图（）ABCD C 由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选C.（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在棱长为的正方体中，分别为线段，
3、（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是（）ABCDA过做底面于O,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选A. （北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（）ABC4D8A由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以，选A.（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平面则线段长度的取
4、值范围是（）ABCDB取的中点M,的中点N,连结，可以证明平面平面，所以点P 位于线段上，把三角形拿到平面上，则有,所以当点P位于时，最大，当P位于中点O时，最小，此时，所以，即，所以线段长度的取值范围是，选B. （北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）ABC8D4D由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为，选D.（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ） （）ABCDC由三视图可知，四棱锥的高为2，底面为
5、直角梯形ABCD.其中,所以四棱锥的体积为，选C.（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）ABCDD由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选D.二、填空题（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，所以该几何体的体积为。（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文
6、试题）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_. 取AC的中点，连结BE,DE由主视图可知.且.所以，即。三、解答题（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（文）试题）如图,四边形为矩形,平面,.()求证:;()设是线段的中点,试在线段上确定一点,使得平面.(共13分) 证明:(), , 平面, ,又, , 又, 平面, ()设的中点为,的中点为,连接, 又是的中点, ,. 平面,平面, 平面 同理可证平面, 又, 平面平面, 平面 所以,当为中点时,平面 （北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学文试题） 如图1，在Rt中，D、E分别是上的点
7、，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）求证： 平面；ABCDE图1图2A1BCDE（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 （）证明： 4分（）证明： 在中，.又.由. 9分（）设则由（）知，均为直角三角形 12分当时, 的最小值是 即当为中点时, 的长度最小,最小值为14分（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由解：（I）连接. 由是正方形可知,点为中点.又为的中点，所以.2分又所以平面.4分(II) 证明：由所以由是正方形
8、可知, 又所以.8分 又所以.9分(III) 在线段上存在点，使. 理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，所以.11分由（II）可知，而所以，因为所以. 13分故在线段上存在点，使.由为中点，得 14分（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学文试题）在长方体中，是棱上的一点（）求证：平面；（）求证：；（）若是棱的中点，在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由A1B1CBD1C1ADE解：（）在长方体中，因为面，所以 2分在矩形中，因为，所以4分所以面. 5分（）因为，所以面，由（）可知，面， 7分所以 8分（）当点是棱的中点时，有平面 9分理由如下：在上
9、取中点，连接A1B1CBD1C1ADEPM因为是棱的中点，是的中点，所以，且10分又，且所以，且，所以四边形是平行四边形，所以11分又面，面，所以平面 13分此时， 14分（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，在菱形中， 平面，且四边形是平行四边形（）求证：；（）当点在的什么位置时，使得平面，并加以证明.ABCDENM解：（）连结，则.由已知平面，因为，所以平面.又因为平面，所以. 6分ABCDENMF （）当为的中点时，有平面.7分与交于，连结.由已知可得四边形是平行四边形，是的中点，因为是的中点，所以.10分又平面，平面，所以平面.13分（北京市丰台区2013届高三
10、上学期期末考试数学文试题）如图，三棱柱中，平面ABC，ABBC , 点M , N分别为A1C1与A1B的中点.()求证：MN平面 BCC1B1;()求证：平面A1BC平面A1ABB1：()连结BC1点M , N分别为A1C1与A1B的中点，BC1.4分，MN平面BCC1B1. .6分()，平面，. 9分又ABBC，. 12分，平面A1BC平面A1ABB1. 13分（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在直三棱柱中，且是中点.（I）求证：平面；（）求证：平面.解：(I) 连接交于点，连接因为为正方形，所以为中点又为中点，所以为的中位线，所以 3分又平面，平面所以平面 6分(
11、)因为，又为中点，所以 8分又因为在直三棱柱中，底面，又底面, 所以, 又因为，所以平面， 又平面，所以 10分在矩形中, ,所以，所以，即 12分又，所以平面 14分（北京市通州区2013届高三上学期期末考试数学文试题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若M，N分别为CC1，AB的中点，求证：CN /平面AB1M证明：（）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1平面ABC，所以CC1BC 1分因为AC=BC=2， 所以由勾股定理的逆定理知BCAC 2分又因为ACCC1=C，所以BC平面ACC1A1 4分
12、因为AM平面ACC1A1，所以BCAM 6分（）过N作NPBB1交AB1于P，连结MP ，则NPCC1 8分因为M,N分别为CC1, AB中点，所以， 9分因为BB1=CC1，所以NP=CM 10分所以四边形MCNP是平行四边形11分所以CN/MP 12分因为CN平面AB1M，MP平面AB1M， 13分所以CN /平面AB1 M 14分（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学文科试题）如图，直三棱柱中，分别为，的中点（）求线段的长； （）求证：/ 平面； （）线段上是否存在点，使平面？说明理由（）证明：连接因为 是直三棱柱，所以 平面， 1分所以 2分因为 ， 所以 平面 3分因为 ，所
13、以 4分（）证明：取中点，连接， 5分在中，因为 为中点，所以， 在矩形中，因为 为中点，所以， 所以 ， 所以 四边形为平行四边形，所以 7分 因为 平面，平面， 8分 所以 / 平面 9分 （）解：线段上存在点，且为中点时，有平面 11分证明如下：连接在正方形中易证 又平面，所以 ，从而平面12分所以 13分同理可得 ，所以平面故线段上存在点，使得平面 14分（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学文科试题（解析版）（本小题满分14分）在长方体中， 为棱上一点.（）证明：；（）是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（本小题满分14） （）证明：连接是长方体，平面，1分又平面 2分在长方形中， 3分又 4分平面，5分而平面 6分 7分（）存在一点，使得平面，此时. 8分当时，为中点设交于点,则为中点连接,在三角形中, 10分平面,平面 13分平面 14分
